Rozkładem
z k - stopniami swobody nazywamy rozkład następującej sumy:

gdzie x₁, aż do x_k są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N(0,1). Ponadto wartość oczekiwana jest równa
, a wariancja

Rozkładem t - Studenta z k - stopniami swobody nazywamy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej T_k określonej następująco:

, gdzie
i
są niezależnymi zmiennymi losowymi. T ma rozkład normalny N(0,1), zaś zmienna
ma rozkład
z k - stopniami swobody. Ponadto wartość oczekiwana tego rozkładu jest równa
, a wariancja

1. Czas obsługi w kasie studenckiej jest zmienną o rozkładzie T-Studenta z 60 stopniami swobody. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany student będzie obsługiwany przy kasie dłużej niż dwie minuty?

2. Przy sprawdzaniu prawdziwości pewnej opinii zastosowano zmienną losową o rozkładzie chi-kwadrat o 5 stopniach swobody. Przyjęto założenie, że opinia jest fałszywa, jeśli wartość tej zmiennej wyniesie, co najmniej 20,515.. Określ prawdopodobieństwo ocenianej opinii.

3. Niech zmienna losowa
   ma rozkład chi-kwadrat z 13 stopniami swobody. Znaleźć prawdopodobieństwo:

4. Niech zmienna losowa
   ma rozkład chi-kwadrat z 24 stopniami swobody. Znaleźć prawdopodobieństwo:

5. Niech zmienna losowa T ma rozkład T-Studenta z 40 stopniami swobody. Znaleźć prawdopodobieństwo:

6. Niech zmienna losowa T ma rozkład T-Studenta z 28 stopniami swobody. Znaleźć prawdopodobieństwo:

Elementy teorii estymacji - przedział ufności dla średniej.

Model I.

Populacja generalna ma rozkład normalny
. Wartość średnia m jest nieznana, a odchylenie standardowe
jest znane w populacji. Przy takich założeniach wylosowano próbę o liczebności n - elementów wylosowanych niezależnie.

Wzór na przedział ufności dla średniej m populacji jest następujący:

- średnia arytmetyczna obliczona z wyników próby

- jest prawdopodobieństwem przyjętym i nazywanym współczynnikiem (poziomem) ufności.

- wartości zmiennej losowej u mającej rozkład normalny standaryzowany

Model II (n<=30)

Populacja generalna ma rozkład
, a wartość średniej jest nieznana jak i też odchylenie standardowe.
Z populacji wylosowano niezależnie małą próbę o liczebności n - elementów.

Wzór na przedział ufności dla średniej m populacji jest następujący:

- jest wartością zmiennej t, t - Studenta odczytaną z tablicy tego rozkładu dla n-1 stopni swobody.

Model III (n>120)

Populacja generalna ma rozkład normalny lub dowolny inny o średniej m i skończonej nieznanej wariancji równej
. Z populacji wylosowano próbę o dużej liczebności n elementów wylosowanych niezależnie, przy czym liczebność próby jest duża.

Wzór na przedział ufności dla średniej:

1. Dla oszacowania średniego stażu pracy pracowników pewnej firmy, wylosowano 12 osób, dla których odchylenie standardowe stażu pracy wynosi s= 5 lat a średnia arytmetyczna jest równa 8,4. Zakładając, że rozkład stażu jest normalny, oszacować średni staż pracy pracowników tej firmy. Przyjąć współczynnik ufności l - α = 0,9.

2. W pewnym eksperymencie chemicznym bada się ilość czystej substancji wydzielającej się w toku doświadczenia. Przeprowadzono n=20 niezależnych doświadczeń i otrzymano w nich następujące wyniki (w mg):

343	308	342	387	257	293	359	348	383	385
387	384	309	293	346	322	322	354	301	239

Przyjmując rozkład ilości wydzielonej substancji za normalny z odchyleniem standardowym 90 mg, oszacować za pomocą przedziału ufności ze współczynnikiem ufności 0,999 średnią ilość wydzielonej w tym doświadczeniu substancji.

3. Z pewnej populacji o rozkładzie normalnym
   wylosowano 16-elementową próbę prostą otrzymując z niej średnią równą 60. Należy podać przedziałowe oszacowanie nieznanej średniej wartości m populacji, przyjmując współczynnik ufności równy 0,99.

4. W celu sprawdzenia średnich zarobków w pewnej firmie pobrano losowo próbkę 200. pracowników i otrzymano średnie zarobki w wysokości 1000 złotych oraz odchylenie standardowe 200 złotych. Na poziomie ufności 0,95 oszacuj metodą przedziałową średnie zarobki w tej firmie.

Uwaga,
Najczęściej w zadaniach korzysta się z następujących wartości współczynników ufności:



Metody prognozowania

Zestaw 1A

---