2. Badanie okresu drgań wahadła o różnej masie i amplitudzie drgań

1. Część teoretyczna

Wahadło proste jest najlepszym odwzorowaniem wahadła matematycznego, którego w praktyce nigdy nie da się zrealizować.

Wahadłem prostym nazywamy mały ciężarek (kulkę) zawieszoną na nierozciągliwej nici. Ciężar nici jest tak mały, że można go pominąć. Zakładamy, że na ruch wahadła nie wpływa opór powietrza. Kulka odchylona o mały kąt od położenia równowagi porusza się ruchem harmonicznym. Można pokazać, że przy tych założeniach, okres ruchu wahadła zależy tylko od długości nici i przyśpieszenia ziemskiego.

Niech długość wahadła będzie L, a masa kulki - m. Przypuśćmy, że wahadło jest odchylone o mały ( 4^o ) kąt α od pionu (patrz rys.). Na kulkę działa pionowo siła przyciągania ziemskiego o wartości F=mg. Składowa F₁ siły ciążenia prostopadła do nici jest siłą nadającą ruch wahadłu w kierunku położenia równowagi. Dla małych kątów α:

F₁ = -Fsinα = -mgsinα = - mgα

Znak minus oznacza, że siła F₁ jest skierowana w kierunku przeciwnym niż ten, w którym odkłada się dodatnie kąty.

Przyspieszenie styczne do toru ciężarka jest równe

α= L

gdzie
jest przyspieszeniem kątowym.

Ponieważ składowa F₁ jest siłą przyspieszającą masę, to zgodnie z drugą zasadą dynamiki

F₁ = ma. Mamy więc:

mL =
= -mgα , czyli
= -

Jest to równanie różniczkowe określające ruch wahadła matematycznego. Ponieważ obie wielkości g i L są dodatnie, to można przyjąć, że ich stosunek równa się kwadratowi pewnej wielkości:

g

- = ω²

L

i równanie różniczkowe przyjmuje postać:

= -ω²α

Rozwiązaniem tego równania jest wyrażenie określające ruch harmoniczny:

α(t)= Asin(ωt+ϕ_o)

gdzie A - amplituda kąta,

ϕ_o - faza początkowa drgania,

ω - częstość kołowa drgania, która wiąże się z okresem T zależnością:

ω =
.

Stąd mamy

T =

czyli T = 2π

Z tego wzoru możemy znaleźć wartość przyspieszenia ziemskiego

g jeżeli znamy długość wahadła L i okres T:

g = 4π²
(2)

W przypadku, gdy pomiar długości wahadła jest niemożliwy albo

utrudniony, przyspieszenie ziemskie można obliczyć według wzoru:

g = 4π²
(3)

gdzie l₁, l₂ poziomy zawieszenia kulki przy różnych długościach wahadła,

T₁ , T₂ - okresy drgań przy odpowiednich długościach wahadła.

2. Przebieg ćwiczenia

1. Przy ustalonej długości wahadła l zmieniamy masę wahadła oraz amplitudę. Wyniki zapisujemy do tabeli.

2. Aby zwiększyć dokładność pomiarów mierzymy stoperem czas trwania n okresów (n = 10). Pomiary powtarzamy trzykrotnie.

	Masa / Amplituda	mała amplituda	duża amplituda
mała masa		- 19,07 - 19,91 - 19,98	- 20,38 - 20,30 - 20,25
duża masa		- 20,28 - 20,10 - 20,25	- 20,50 - 20,16 - 20,56

3. Ocena błędów :

Porównujemy średnie okresy dla małej masy, przy różnych amplitudach :

xi [s]	(xi - x1)	(xi - x1)^2
1,997	0,002	0,000004
1,991	-0,004	0,000016
1,998	0,003	0,000009
5,986		0,000029

xi [s]	(xi - x2)	(xi - x2)^2
2,028	0,007	0,000049
2,010	-0,011	0,000121
2,026	0,004	0,000016
6,063		0,000186

X₁ = 5,986 / 3 = 1,995 s

N₁ = 3

S₁ = √0,000029/3 = 0,003 s

X₂ = 6,063 / 3 = 2,021 s

N₂ = 3

S₂ = √0,000186/3 = 0,008 s

Hipoteza zerowa :

X₁ = X₂

1,995 s = 2,021 s

Hipoteza alternatywna :

X₁ ≠ X₂

1,995 s ≠ 2,021 s

£ = 0,05

1 - £ = 0,95

K = N₁ + N₂ - 2

K = 3 + 3 - 2

K = 4

t_£/2 = ± 2,78

Wniosek : Jesteśmy w obszarze krytycznym,

więc hipotezę zerową należy odrzucić.

---