Imię i nazwisko:

Zespół:

Data:

Ćwiczenie nr 0: Szacowanie niepewności w pomiarach laboratoryjnych oraz opracowanie wyników pomiarów

Cel ćwiczenia

Zapoznanie się z metodami obliczania niepewności wielkości mierzonych
i wyliczanych w laboratorium fizycznym oraz sposobem opracowania wyników pomiarów.

• Literatura

• Guide to Expression of Uncertainty in Measurements, ISO 1995, Switzerland;

tłumaczenie: Wyrażanie niepewności pomiaru. Przewodnik, GUM, 1999.

2. J. Ostachowicz, Technika opracowania danych pomiarowych w ćwiczeniach laboratoryjnych z fizyki, OEN, Akademia Górniczo-Hutnicza im. St. Staszica, Kraków 1999.

3. N. Taylor, E. Kuyatt Guidelines for Evaluating and Expressing the Uncertainity of NIST Measurement Results.

http://physics.nist.gov/Document/tn1297.pdf

• Literatura uzupełniająca

• A. Zięba, [Author ID1: at Tue May 6 16:48:00 2003 ]Opracowanie danych pomiarowych [Author ID1: at Tue May 6 16:49:00 2003 ]http://www.ftj.agh.edu.pl/wfitj/dydaktyka/danepom.pdf[Author ID1: at Tue May 6 16:49:00 2003 ][Author ID-252: at Mon Dec 4 13:45:00 1899 ]

• J. Tarasiuk Wirtualne Vadem[Author ID1: at Tue May 6 16:50:00 2003 ]ecum Statystyki [Author ID1: at Tue May 6 16:50:00 2003 ]http://www.ftj.agh.edu.pl/%7Etarasiuk/wvs/index1.htm[Author ID1: at Tue May 6 16:50:00 2003 ]

• H. Szydłowski, Międzynarodowe normy oceny niepewności pomiaru, Postępy Fizyki, Tom 51, Zeszyt 2, 2000

Zagadnienia do opracowania		Ocena i podpis
1. Co to jest niepewność wyniku pomiaru(niepewność typu A i niepewność typu B)? Jak zapisujemy wynik pomiaru z niepewnością?
2. Jak szacujemy niepewność wyniku gdy wykonujemy pomiar jednokrotnie?
3. Omów rozkład normalny (Gaussa) i objaśnij pojęcie prawdopodobieństwa i gęstości prawdopodobieństwa
4. Jaka wielkość statystyczna jest miarą niepewności i jak ją szacujemy?
5. Omów prawo przenoszenia niepewności; kiedy wolno je stosować?
6. Podstawowe parametry statystyczne wielokrotnego pomiaru (wartość średnia, odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru i wartości średniej).
7.^*)Wyjaśnij pojęcia: poziom ufności i przedział ufności na przykładzie rozkładu normalnego
8.*) Jak szacuje się niepewność w przypadku niewielkiej liczby powtórzeń pomiaru, np. dla 2-3 pomiarów? Wyjaśnij pojęcie niepewności rozszerzonej.
9. Podaj zasady opracowania graficznego i rachunkowego wyników pomiarów, gdy badamy zależność dwóch wielkości fizycznych.
10. Omów metodę najmniejszych kwadratów i regresję liniową.
11. Omów zasady wykonywania histogramów.
Ocena z odpowiedzi:

Opracowanie ćwiczenia

Opracuj i opisz zagadnienia nr		i
						podpis

• Wprowadzenie

Niniejsze ćwiczenie przewidziano jako ćwiczenie wstępne, zapoznające z szacowaniem niepewności w pomiarach laboratoryjnych oraz z zasadami poprawnego opracowania wyników pomiarowych zależności funkcyjnych. Jest ono realizowane przez każdego studenta poza pracownią, jako praca domowa, której zakres ustala prowadzący. Istotne zmiany nomenklatury i pojęć w technice opracowania wyników pomiaru, wprowadzane od lat dziewięćdziesiątych w świecie, a obecnie również w Polsce, zachęciły do poprzedzenia części praktycznej wprowadzeniem ułatwiającym realizację tego ćwiczenia.

Kilka pozycji literatury uzupełniającej daje szansę przyswojenia sobie podstawowych wiadomości ze statystyki i ułatwi opracowanie wyników pomiaru w ćwiczeniach laboratoryjnych z fizyki.

CZĘŚĆ A. SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI W POMIARACH LABORATORYJNYCH

• Pomiar i zapis wyniku pomiaru

Pomiar. Aby cokolwiek zmierzyć, musimy znać definicję mierzonej wielkości (np. co to jest długość?) oraz jej jednostkę (np. metr), musimy dysponować sprawnym przyrządem pomiarowym (np. liniałem czy taśmą metalową, suwmiarką, śrubą mikrometryczną) wyskalowanym według wzorca. Porównując wielkość mierzoną (np. długość stołu) z jednostkową długością (np. 1 mm na przymiarze metalowym) - uzyskamy wynik pomiaru, to jest liczbę wraz z jednostką (np. 1522 mm). Podobna jest procedura pomiaru wielkości fizycznych wyznaczanych metodami pośrednimi, na przykład pomiar temperatury za pomocą termometru spirytusowego z wykorzystaniem zjawiska rozszerzalności objętościowej cieczy.

Wynik pomiaru i jego zapis. Liczba otrzymana w wyniku procedury pomiarowej wraz z jednostką, np. przytoczony powyżej rezultat pomiaru długości stołu 1522 mm, nie jest pełną informacją o mierzonej wielkości. Potrzebna jest również ocena wiarygodności uzyskanego rezultatu polegająca na oszacowaniu tzw. niepewności wyniku. Rozróżniamy dwie metody obliczeń niepewności pomiaru: metodę typu A (stosowaną dla serii pomiarów) lub metodę typu B (np. dla pojedynczego pomiaru niepewność szacowana jest z niepewności wzorcowania przyrządu lub w oparciu o tzw. działkę elementarną stosowanego miernika). Najczęściej wykorzystuje się pojęcie niepewności standardowej (u). W istocie niepewność typu A szacuje się metodą statystyczną podczas gdy niepewność typu B jest oszacowana na podstawie innych źródeł informacji o możliwych rozrzutach danych pomiarowych. Przyjęto umowę, że wynikiem pomiaru jest uzyskany liczbowy rezultat pomiaru wraz z wartością liczbową oszacowanej niepewności standardowej. Niepewność standardową zaokrągla się do maksymalnie dwóch cyfr znaczących, a wynik pomiaru zaokrągla się i podaje z miejscami znaczącymi zgodnymi co do pozycji z niepewnością. Na przykład, zapisujemy wynik: 1522,0 z niepewnością 1,0, ale nie 1522 z niepewnością 0,9. Albo 1,00061 (u = 0,00027), czy zaokrąglony 1,0006 (u = 0,0003), ale nie 1,0006 (u = 0,00027). Karygodnym jest podawanie wszystkich cyfr wynikających z obliczeń numerycznych przy użyciu kalkulatora, np.: 1522,79346214 (u = 1,35791622).

Nazewnictwo. W języku potocznym, a także w wielu dotychczasowych opracowaniach naukowych i technicznych stosuje się pojęcie błędu i uściślenia tego pojęcia przydatne do opisu efektów spowodowanych różnymi przyczynami (źródłami) różnic wyniku pomiaru wielkości mierzonej i jej wartości prawdziwej. Przez błąd rozumie się różnicę wyniku pomiaru i wartości prawdziwej, zazwyczaj nieznanej.

• Ocena niepewności typu B (pomiar jednokrotny)

• Dość często w życiu codziennym, w technice i nauce uznajemy za wystarczające jednokrotne wykonanie pomiaru. W zależności od potrzeby dobieramy wówczas przyrząd pomiarowy odpowiedniej jakości (dokładności). Na przykład, w pomiarach długości czy grubości jest to liniał metalowy z najmniejszą działką pomiarową 1 mm albo suwmiarka (z działką 0,1 mm lub 0,005 mm) czy też śruba mikrometryczną z działką 0,01 mm. Do każdego przyrządu pomiarowego powinna być dostarczona informacja producenta o dokładności z jaką mierzy dany przyrząd (często sprowadza si[Author ID1: at Tue May 6 14:37:00 2003 ]ę ona do podania [Author ID1: at Tue May 6 14:37:00 2003 ]tzw. błędu maksymalnego - [Author ID1: at Mon May 5 13:04:00 2003 ]maksymalnej różnicy między wynikiem poprawnego odczytu ze skali przyrządu a wartością prawdziwą). W przypadku braku takiej informacji przyjmuje się, że dokładność, z jaką mierzy dany przyrząd jest równa wartości działki elementarnej (np. 0,01 mm dla śruby mikrometrycznej, czy też 1 mm dla przymiaru metrowego). Zdarzają się jednak przypadki, że na przyrządzie zaznaczone są drobniejsze działki, niż to wynika z jego rzeczywistej dokładności (np. działki jednomilimetrowe na kilkunastometrowej taśmie mierniczej powszechnego użytku). Wtedy to należy kierować się własnym doświadczeniem i przyjąć rozsądną wartość dokładności z jaką mierzy dany przyrząd, równą wielokrotności działki elementarnej (np. 1 cm dla wspomnianej wyżej taśmy mierniczej, o ile mierzona długość przekracza kilka metrów). Podobnie, wykorzystując przyrząd analogowy, np. woltomierz wychyłowy magnetoelektryczny, możemy oszacować dokładność wyniku pomiaru na podstawie tzw. klasy przyrządu. Klasa przyrządu to liczba[Author ID2: at Mon May 5 18:35:00 2003 ], która określa jaki procent używanego w pomiarze zakresu przyrządu może być utożsamiany z dokładnością[Author ID2: at Mon May 5 18:36:00 2003 ] pomiarową, a dokładnie - błędem maksymalnym. [Author ID2: at Mon May 5 18:37:00 2003 ]I tak, pomiar napięcia 12,5 V przy zakresie 30 V, przyrządem klasy "1", wykonany jest z dokładnością wynoszącą 1% z 30 V = 0,3 V.[Author ID2: at Mon May 5 18:37:00 2003 ]
  [Author ID2: at Mon May 5 18:37:00 2003 ](tj. odpowiedni procent z zakresu pomiarowego).[Author ID2: at Mon May 5 18:38:00 2003 ] [Author ID2: at Mon May 5 18:37:00 2003 ]Mierzone napięcie zawiera się wię[Author ID1: at Mon May 5 12:45:00 2003 ]c w przedziale (12,2 V[Author ID1: at Mon May 5 12:45:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 12:45:00 2003 ] 12,8 V). [Author ID1: at Mon May 5 12:45:00 2003 ] W[Author ID1: at Mon May 5 12:45:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:37:00 2003 ]tym przypadku wartość 0,3 V[Author ID1: at Mon May 5 12:46:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:37:00 2003 ] to błąd maksymalny[Author ID1: at Mon May 5 13:03:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:37:00 2003 ], ale w dalszych rachunkach odgrywa rolę wspomnianej wyżej dokładności[Author ID1: at Mon May 5 13:04:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:37:00 2003 ].[Author ID1: at Mon May 5 13:04:00 2003 ][Author ID3: at Thu May 8 13:46:00 2003 ]

Oszacowanie niepewności pomiaru jednokrotnego dokonujemy [Author ID2: at Mon May 5 18:38:00 2003 ]metodą typu B, u[Author ID3: at Thu May 8 13:48:00 2003 ]_B[Author ID3: at Thu May 8 13:48:00 2003 ],[Author ID3: at Thu May 8 13:48:00 2003 ] dokonujemy [Author ID2: at Mon May 5 18:38:00 2003 ]w oparciu o analizę a priori (przed pomiarem) wszystkich znanych źródeł niepewności, w szczególności o informacje o danym typie przyrządu i metodzie pomiaru. Korzystamy tu z danych producenta przyrządu oraz analizujemy warunki, w jakich pomiar został wykonany. Oznaczmy dokładność pomiaru przez [Author ID1: at Mon May 5 13:06:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:06:00 2003 ] - jest to zwykle [Author ID1: at Mon May 5 13:06:00 2003 ]jest to[Author ID1: at Mon May 5 13:06:00 2003 ][Author ID3: at Thu May 8 13:49:00 2003 ] najmniejsza działka używanego przyrządu[Author ID1: at Mon May 5 13:06:00 2003 ] (ew. błąd maksymalny)[Author ID1: at Mon May 5 13:07:00 2003 ]. Przyjmujemy [Author ID1: at Mon May 5 13:06:00 2003 ]zazwyczaj[Author ID1: at Mon May 5 13:07:00 2003 ], że [Author ID1: at Mon May 5 13:06:00 2003 ]z równym prawdopodobieństwem [Author ID3: at Thu May 8 13:49:00 2003 ]nieco różne [Author ID3: at Mon May 12 08:25:00 2003 ]wartości mierzone[Author ID3: at Mon May 12 08:24:00 2003 ]j wielkości[Author ID3: at Mon May 12 09:32:00 2003 ] [Author ID3: at Mon May 12 08:24:00 2003 ]mogą się [Author ID3: at Thu May 8 13:49:00 2003 ]zawierać w[Author ID3: at Mon May 12 08:25:00 2003 ] przedzia[Author ID3: at Thu May 8 13:49:00 2003 ]le[Author ID3: at Mon May 12 08:25:00 2003 ] ([Author ID3: at Thu May 8 13:51:00 2003 ][Author ID3: at Thu May 8 13:51:00 2003 ])[Author ID3: at Thu May 8 13:51:00 2003 ]wyniki pomiarów są przyjmowane z takim samym prawdopodobieństwem z przedziału ([Author ID1: at Mon May 5 13:06:00 2003 ][Author ID3: at Thu May 8 13:51:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:06:00 2003 ][Author ID3: at Thu May 8 13:51:00 2003 ]) [Author ID1: at Mon May 5 13:06:00 2003 ][Author ID3: at Thu May 8 13:51:00 2003 ]- gdzie przez [Author ID1: at Mon May 5 13:06:00 2003 ][Author ID1: at Tue May 6 14:38:00 2003 ] [Author ID1: at Tue May 6 14:38:00 2003 ]oznaczamy tzw. [Author ID1: at Mon May 5 13:06:00 2003 ]wartość oczekiwaną zmiennej losowej, [Author ID1: at Mon May 5 13:06:00 2003 ]którą reprezentuje mierzona wielkość. Wartość oczekiwana może być utożsamiana ze wspomnianą wcześniej „prawdziwą” wartością mierzonej wielkości (np. uzyskaną - z bardzo dobrym przybliżeniem - w pomiarach o wyjątkowo wysokim stopniu dokładności). Z rozważań statystycznych [Author ID1: at Mon May 5 13:06:00 2003 ]tego postulowanego tzw. równomiernego rozkładu zmiennej losowej [Author ID3: at Thu May 8 13:52:00 2003 ](posługujemy się tzw. równomiernym rozkładem zmiennej losowej) [Author ID1: at Mon May 5 13:06:00 2003 ][Author ID3: at Thu May 8 13:53:00 2003 ]wynika, że [Author ID1: at Mon May 5 13:06:00 2003 ]Na przykład, jeżeli przyrząd mierzy z dokładnością [Author ID1: at Mon May 5 13:08:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:08:00 2003 ] i przyjmiemy, że wyniki kolejnych pomiarów są równo prawdopodobne w zakresie [Author ID1: at Mon May 5 13:08:00 2003 ]
[Author ID1: at Mon May 5 13:08:00 2003 ], tzn. zakładamy prostokątny rozkład prawdopodobieństwa uzyskania wyników, to [Author ID1: at Mon May 5 13:08:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:08:00 2003 ]

niepewność standardowa typu B, u[Author ID3: at Thu May 8 13:53:00 2003 ]_B[Author ID3: at Thu May 8 13:54:00 2003 ], [Author ID3: at Thu May 8 13:54:00 2003 ] [Author ID3: at Thu May 8 13:53:00 2003 ]pomiaru tym przyrządem w tym przypadku [Author ID1: at Tue May 6 14:38:00 2003 ]wyraża się wzorem[Author ID1: at Tue May 6 14:38:00 2003 ][Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

wzorem[Author ID1: at Tue May 6 14:39:00 2003 ]

[Author ID1: at Tue May 6 14:39:00 2003 ][Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

u[Author ID3: at Thu May 8 13:54:00 2003 ]_B[Author ID3: at Thu May 8 13:54:00 2003 ] [Author ID3: at Thu May 8 13:54:00 2003 ]u[Author ID1: at Tue May 6 14:38:00 2003 ] =  /
 0.58  (1)

Przykład 1.Zmierzono suwmiarką grubość płyty stalowej i odczytano wynik 24,8 mm. Zapiszemy wynik pomiaru: 24,8 mm ( = 0,1 mm) zaznaczając, że na podstawie informacji o przyrządzie przyjęliśmy wartość działki elementarnej równą 0,1 mm. Pomiarowi temu przypiszemy niepewność standardową, u, równą 0,06 mm (wzór 1), zaznaczając, że uwzględniliśmy tylko informacje o jakości przyrządu (suwmiarki).

Ocena niepewności typu A (pomiar wielokrotny)

Jeżeli oceniamy, że zmienne warunki pomiaru lub zmiany mierzonego obiektu mogą powodować nieco różne wyniki pomiaru, często decydujemy się na wielokrotne powtarzanie pomiaru. Na przykład, wyniki pomiaru średnicy dość długiego, metalowego drutu o przekroju kołowym, wykonywane śrubą mikrometryczną w różnych miejscach drutu mogą znacząco się różnić. Oznaczmy kolejne wyniki n-krotnie powtórzonego pomiaru przez x_i, gdzie indeks i oznacza numer pomiaru (i = 1, ..., n). Wówczas średnia arytmetyczna
z wyników pomiarów jest dobrym oszacowaniem (w statystyce używamy terminu: [Author ID1: at Mon May 5 13:09:00 2003 ]estymatorem) wartości oczekiw[Author ID1: at Tue May 6 14:40:00 2003 ]anej [Author ID1: at Tue May 6 14:40:00 2003 ]ocz[Author ID1: at Tue May 6 14:39:00 2003 ]ekiwanej[Author ID1: at Tue May 6 14:40:00 2003 ] [Author ID1: at Tue May 6 14:39:00 2003 ] [Author ID1: at Tue May 6 14:39:00 2003 ](oznaczanej symbolem [Author ID1: at Tue May 6 14:39:00 2003 ][Author ID1: at Tue May 6 14:39:00 2003 ]): [Author ID1: at Tue May 6 14:39:00 2003 ]


(2)

[Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

(Z powyższego wzoru wynika, że dla liczby pomiarów rosnącej nieograniczenie średnia arytmetyczna staje się [Author ID1: at Mon May 5 13:10:00 2003 ]dokładnie [Author ID1: at Mon May 5 13:10:00 2003 ]wartością oczekiwaną).[Author ID1: at Mon May 5 13:10:00 2003 ]

Z kolei [Author ID2: at Mon May 5 18:41:00 2003 ]Niepewność standardową [Author ID2: at Mon May 5 18:41:00 2003 ]typu A, [Author ID3: at Thu May 8 13:56:00 2003 ]u[Author ID3: at Thu May 8 13:57:00 2003 ]_A[Author ID3: at Thu May 8 13:57:00 2003 ],[Author ID3: at Thu May 8 13:57:00 2003 ] [Author ID3: at Thu May 8 13:56:00 2003 ]mierzonej wielkości [Author ID2: at Mon May 5 18:41:00 2003 ]x [Author ID2: at Mon May 5 18:42:00 2003 ] utożsamiamy w tym przypadku z [Author ID2: at Mon May 5 18:42:00 2003 ]odchyleniem standardowym [Author ID3: at Thu May 8 14:20:00 2003 ]średniej [Author ID3: at Thu May 8 14:21:00 2003 ]S[Author ID3: at Thu May 8 14:21:00 2003 ]([Author ID3: at Thu May 8 14:21:00 2003 ]
[Author ID3: at Thu May 8 14:21:00 2003 ]):[Author ID3: at Thu May 8 14:21:00 2003 ] czyli: [Author ID3: at Mon May 12 09:35:00 2003 ] [Author ID3: at Thu May 8 14:21:00 2003 ]niepewnośćć[Author ID2: at Mon May 5 18:42:00 2003 ] [Author ID2: at Mon May 5 18:42:00 2003 ] [Author ID2: at Mon May 5 18:42:00 2003 ]standardowa [Author ID3: at Mon May 12 09:36:00 2003 ]u[Author ID3: at Mon May 12 09:36:00 2003 ]_A[Author ID3: at Mon May 12 09:36:00 2003 ] opisana jest wzorem[Author ID3: at Mon May 12 09:36:00 2003 ] [Author ID2: at Mon May 5 18:42:00 2003 ]a[Author ID2: at Mon May 5 18:42:00 2003 ] średniej [Author ID2: at Mon May 5 18:42:00 2003 ][Author ID3: at Mon May 12 08:28:00 2003 ] [Author ID2: at Mon May 5 18:43:00 2003 ][Author ID3: at Mon May 12 08:28:00 2003 ]S[Author ID2: at Mon May 5 19:25:00 2003 ][Author ID3: at Mon May 12 08:28:00 2003 ]([Author ID2: at Mon May 5 19:25:00 2003 ][Author ID3: at Mon May 12 08:28:00 2003 ]
[Author ID2: at Mon May 5 18:43:00 2003 ][Author ID3: at Mon May 12 08:28:00 2003 ])[Author ID2: at Mon May 5 19:25:00 2003 ]: [Author ID2: at Mon May 5 18:43:00 2003 ]wyraża się wzorem [Author ID2: at Mon May 5 18:43:00 2003 ][Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

u[Author ID3: at Mon May 12 09:34:00 2003 ]_A[Author ID3: at Mon May 12 09:34:00 2003 ] ₌[Author ID3: at Mon May 12 09:34:00 2003 ] [Author ID3: at Mon May 12 09:33:00 2003 ]
[Author ID3: at Mon May 12 08:27:00 2003 ] [Author ID3: at Mon May 12 08:27:00 2003 ](3)[Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

[Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

Określając niepewność standardową obowiązani jesteśmy do wyeliminowania w praktyce błędu systematycznego. Zakładamy, że poprawne obliczenie wyniku i jego niepewności jest poprzedzone eliminacją tzw. błędów grubych (pomyłek) i korektą wpływu znanych źródeł błędów systematycznych na wynik pomiaru.[Author ID3: at Mon May 12 08:27:00 2003 ]

Miarą rozproszenia wyników w serii pomiarowej jest tzw. odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru [Author ID3: at Mon May 12 08:27:00 2003 ]S[Author ID3: at Mon May 12 08:27:00 2003 ]([Author ID3: at Mon May 12 08:27:00 2003 ]x[Author ID3: at Mon May 12 08:27:00 2003 ])[Author ID3: at Mon May 12 08:27:00 2003 ], ([Author ID3: at Mon May 12 08:27:00 2003 ]estymator[Author ID3: at Mon May 12 08:27:00 2003 ] [Author ID3: at Mon May 12 08:27:00 2003 ]odchylenia standardowego[Author ID3: at Mon May 12 08:27:00 2003 ] [Author ID3: at Mon May 12 08:27:00 2003 ]σ[Author ID3: at Mon May 12 08:27:00 2003 ]) wyraż[Author ID3: at Mon May 12 08:27:00 2003 ]one wzorem[Author ID3: at Mon May 12 08:27:00 2003 ]:[Author ID3: at Mon May 12 08:34:00 2003 ]


[Author ID3: at Mon May 12 08:27:00 2003 ] [Author ID3: at Mon May 12 08:27:00 2003 ](4)[Author ID3: at Mon May 12 08:27:00 2003 ]

[Author ID1: at Mon May 5 13:14:00 2003 ]


[Author ID1: at Mon May 5 13:12:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:12:00 2003 ]

Występująca w[Author ID1: at Mon May 5 13:11:00 2003 ]e wzorze (4)[Author ID3: at Mon May 12 08:32:00 2003 ] powyższym wzorze wielkość[Author ID1: at Mon May 5 13:11:00 2003 ][Author ID3: at Mon May 12 08:32:00 2003 ]wielkość S(x)[Author ID1: at Mon May 5 13:11:00 2003 ], zwana często średnią odchyłką kwadratową (od średniej), jest estymatorem (oszacowaniem) tzw. o[Author ID1: at Mon May 5 13:11:00 2003 ]dchylenia standardowego [Author ID1: at Mon May 5 13:11:00 2003 ]pojedynczego pomiaru, [Author ID1: at Mon May 5 13:11:00 2003 ]σ[Author ID1: at Mon May 5 13:11:00 2003 ], [Author ID1: at Mon May 5 13:11:00 2003 ]a więc[Author ID2: at Mon May 5 18:43:00 2003 ] [Author ID2: at Mon May 5 18:43:00 2003 ]miary rozproszenia zmiennej losowej (mierzonej wielkości) wokół jej wartości oczekiwanej. Z powyższego wzoru wynika zasadność wielokrotnego powtarzania pomiaru - o ile średnia arytmetyczna każdej[Author ID1: at Mon May 5 13:11:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:11:00 2003 ]ser[Author ID1: at Mon May 5 13:11:00 2003 ]ii pomiarów stanowi „takie sam[Author ID1: at Mon May 5 13:11:00 2003 ]o” oszacowani[Author ID1: at Mon May 5 13:11:00 2003 ]e[Author ID2: at Mon May 5 18:44:00 2003 ]a[Author ID1: at Mon May 5 13:11:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:44:00 2003 ] wartości oczekiwanej, to związana z tym szacunkiem niepewność maleje ze wzrostem liczebności serii. W granicy - analogicznie jak w przypadku wzoru (2) - dla liczby pomiarów rosnącej nieograniczenie [Author ID1: at Mon May 5 13:11:00 2003 ]S(x[Author ID1: at Mon May 5 13:11:00 2003 ]) staje się dokładnie odchyleniem standardowym[Author ID1: at Mon May 5 13:11:00 2003 ].[Author ID2: at Mon May 5 18:44:00 2003 ]:[Author ID1: at Mon May 5 13:11:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:44:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:45:00 2003 ]

Wielkość [Author ID2: at Mon May 5 18:45:00 2003 ]
[Author ID2: at Mon May 5 18:45:00 2003 ] [Author ID2: at Mon May 5 18:45:00 2003 ]nazywa się odchyleniem standardowym wartości średniej[Author ID2: at Mon May 5 18:45:00 2003 ].[Author ID2: at Mon May 5 19:25:00 2003 ]

Jeżeli wyniki pomiarów w serii [Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ]x[Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ]₁ ... x[Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ]_n [Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ] są otrzymywane w sposób (a) niezależny i (b) [Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ]w warunkach zapewniających taką samą dokładność [Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ]każdego pomiaru, a także jeżeli liczba pomiarów ([Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ]n[Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ]) staje się znacząco duża (teoretycznie powinniśmy rozpatrywać przypadek [Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ]n[Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ] zdążającego do nieskończoności; w praktyce wystarcza zwykle [Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ]n [Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ]ok. 20-30) to zmienna losowa jaką jest [Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ]wynik po[Author ID3: at Thu May 8 14:35:00 2003 ]miaru x [Author ID3: at Thu May 8 14:35:00 2003 ]wartość średnia [Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ][Author ID3: at Thu May 8 14:36:00 2003 ]
[Author ID2: at Mon May 5 18:45:00 2003 ][Author ID3: at Thu May 8 14:36:00 2003 ]z serii [Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ][Author ID3: at Thu May 8 14:36:00 2003 ]n[Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ][Author ID3: at Thu May 8 14:36:00 2003 ] pomiarów [Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ][Author ID3: at Thu May 8 14:36:00 2003 ]podlega tzw. rozkładowi Gaussa (rozkładowi normalnemu) o wartości oczekiwanej [Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ]i odchyleniu standardowym [Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ]σ[Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ]. Rozkład ten określa [Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ]funkcja gęstości prawdopodobieństwa [Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ]f(x)[Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ], [Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ]dana wz[Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ]orem[Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ]

f(x)= [Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:46:00 2003 ]
[Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

[Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

Funkcja [Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ]f(x) [Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ]określa prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową [Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ] X [Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ]wartości z określonego przedziału zmiennej [Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ]([Author ID2: at Mon May 5 18:48:00 2003 ]x[Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ],[Author ID2: at Mon May 5 18:48:00 2003 ]x+dx)[Author ID2: at Mon May 5 18:49:00 2003 ]; konkretnie [Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ]

Prawdopodobieństwo ( X in (x, x+[Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:46:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:46:00 2003 ]x[Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:46:00 2003 ]) ) = [Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:46:00 2003 ]f(x)[Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:46:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:46:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:46:00 2003 ]x.[Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:46:00 2003 ]


[Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ][Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

Wartość oczekiwana [Author ID2: at Mon May 5 18:50:00 2003 ][Author ID1: at Tue May 6 14:43:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:50:00 2003 ][Author ID1: at Tue May 6 14:43:00 2003 ] [Author ID2: at Mon May 5 18:50:00 2003 ][Author ID1: at Tue May 6 14:43:00 2003 ]jest, dla tego rozkładu, również wartością najbardziej prawdopodobną.[Author ID2: at Mon May 5 18:50:00 2003 ][Author ID1: at Tue May 6 14:43:00 2003 ][Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

Na rys.1 przedstawiona jest funkcja Gaussa dla tzw. zestandaryzowanej zmiennej losowej [Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

[Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ]

U = (X - \mu)/\sigma[Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:49:00 2003 ]


[Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ]

Jest to zmienna, której „naturalnym” zerem jest jej wartość oczekiwana, a „naturalną” jednostką - jej odchylenie standardowe.[Author ID1: at Mon May 5 13:16:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:18:00 2003 ]Wartość oczekiwana [Author ID1: at Mon May 5 13:18:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:50:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:18:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:50:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:18:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:50:00 2003 ]jest, dla tego rozkładu, również wartością najbardziej prawdopodobną. [Author ID1: at Mon May 5 13:18:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:50:00 2003 ]Rozkład Gaussa - funkcja [Author ID1: at Mon May 5 13:18:00 2003 ]f(x) - [Author ID1: at Mon May 5 13:18:00 2003 ]ma kształt kształt dzwonowy, przy czym szerokość rozkładu jest proporcjonalna do odchylenia standardowego [Author ID1: at Mon May 5 13:18:00 2003 ]σ[Author ID1: at Mon May 5 13:18:00 2003 ].[Author ID1: at Mon May 5 13:18:00 2003 ] Wartość oczekiwana [Author ID1: at Tue May 6 14:44:00 2003 ][Author ID1: at Tue May 6 14:44:00 2003 ] [Author ID1: at Tue May 6 14:44:00 2003 ]jest, dla tego rozkładu, również wartością najbardziej prawdopodobną.[Author ID1: at Tue May 6 14:44:00 2003 ]


Całka tej funkcji liczona od [Author ID1: at Mon May 5 13:18:00 2003 ]x[Author ID1: at Mon May 5 13:18:00 2003 ]₁ [Author ID1: at Mon May 5 13:18:00 2003 ]do [Author ID1: at Mon May 5 13:18:00 2003 ]x[Author ID1: at Mon May 5 13:18:00 2003 ]₂ [Author ID1: at Mon May 5 13:18:00 2003 ]określa[Author ID1: at Mon May 5 13:18:00 2003 ] prawdopodobieńst[Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ]wo uzyskania wyników [Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ] pomiaru w przedziale ([Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ]x[Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ]₁[Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ], [Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ]x[Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ]₂[Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ]). I tak, prawdopodobieństwo uzyskania wyników [Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ]I tak, prawdopodobieństwo uzyskania wyników[Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:51:00 2003 ][Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

w przedziale ([Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ]σ[Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ], [Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ]+ [Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ]σ[Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ]) wynosi ok. 68,3%, [Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

w przedziale ([Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ] 2[Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ]σ[Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ], [Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ]+ 2[Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ]σ[Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ]) wynosi ok. 95,5%,[Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

w [Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ]przedziale ([Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ] 3[Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ]σ[Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ], [Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ]+ 3[Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ]σ[Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ]) wynosi ok. 99,7%.[Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ]

Na rysunku 1 przedstawiono funkcję Gaussa dla znormalizowanej zmiennej[Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:51:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:51:00 2003 ]([Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:51:00 2003 ]x-[Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:51:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:51:00 2003 ])[Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:51:00 2003 ]/[Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:51:00 2003 ]σ[Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:51:00 2003 ]. [Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:51:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ]

[Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

Rys. 1. Rozkład normalny (Gaussa). Zależność gęstości prawdopodobieństwa [Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ]f(u) [Author ID1: at Mon May 5 13:20:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ]zestandaryzowanej zmiennej [Author ID1: at Mon May 5 13:20:00 2003 ]([Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ]x-[Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ])[Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ]/[Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ]σ[Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ] , gdzie[Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ]x[Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ] oznacza wynik pomiaru, [Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ] - wartość oczekiwaną,[Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ] a[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ]σ[Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ] -odchylenie standardowe rozkładu.[Author ID1: at Mon May 5 13:19:00 2003 ]

Doświadczalny rozkład zbliżony do rozkładu normalnego można uzyskać wykonując około 100 pomiarów np. jednej rezystacji (oporu elektrycznego) mostkiem Wheatstone'a (ćwiczenie nr 32) lub okresu drgań wahadła (ćwiczenie nr 2). Zgodność rozkładu doświadczalnego z postulowanym, np.. normalnym, sprawdzamy tzw. testem ² , np.[2, 6].

Przy założeniu, że wyniki kolejnych pomiarów podlegają rozkładowi normalnemu (Gaussa), prawdopodobieństwo znalezienia wartości oczekiwanej [Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ]w przedziale [Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ]
[Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ] wynosi 67%. W przypadku, gdy rozkład wyników nie jest normalny nie znamy tego prawdopodobieństwa i poprzestajemy na podaniu wyniku w formie dwóch liczb: [Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ]
[Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ]i[Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ] u.[Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ][Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

Miarą rozproszenia wyników w serii pomiarowej jest tzw. odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru [Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ]S[Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ]([Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ]x[Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ])[Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ], ([Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ]estymator[Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ]odchylenia standardowego[Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ]σ[Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ]) wyrażone wzorem[Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ]


[Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ](4)[Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ]

[Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

Jeżeli liczba pomi[Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ]arów ([Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ]n[Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ]) dąży do nieskończoności,[Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ]to wartość średnia ([Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ]
[Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ]) dąży do wartości oczekiwanej ([Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ]), a średnia odchyłka kwadratowa [Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ]S[Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ]([Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ]x[Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ]) dąży do odchylenia standardowego [Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ]σ[Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ] rozkładu normalnego. Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu normalnego (Gaussa) wyraża się wzorem[Author ID1: at Mon May 5 13:17:00 2003 ][Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

[Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]
[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ], (5)[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]

gdzie wartość oczekiwana [Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ] jest, dla tego rozkładu, również wartością najbardziej prawdopodobną, a [Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]σ[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ] jest odchyleniem standardowym. Funkcja Gaussa jest symetryczna względem [Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]. Ma ona kształt dzwonowy, przy czym szerokość rozkładu jest proporcjonalna do odchylenia standardowego [Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]σ[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]. Całka tej funkcji liczona od x[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]₁ [Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]do x[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]₂ [Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]określa prawdopodobieństwo uzyskania wyników pomiaru w przedziale (x[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]₁[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ], x[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]₂[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]). I tak, prawdopodobieństwo uzyskania[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ] wyników[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]

w przedziale ([Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]σ[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ], [Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]+ [Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]σ[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]) wynosi ok. 67%, [Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

w przedziale ([Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ] 2[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]σ[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ], [Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]+ 2[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]σ[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]) wynosi ok. 95%,[Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

w przedziale ([Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ] 3[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]σ[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ], [Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]+ 3[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]σ[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]) wynosi ok. 99,7%.[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]

Na rysunku 1 przedstawiono funkcję Gaussa dla znormalizowanej zmiennej (x-[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ])/[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]σ[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]. [Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]


Rys. 1. Rozkład normalny (Gaussa). Zależność gęstości prawdopodobieństwa [Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]P[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ] od względnej odchyłki ([Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]x-[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ])[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]/[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]σ[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ] , gdzie [Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]x[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ] oznacza wynik pomiaru, [Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ] - wartość oczekiwaną (dla rozkładu Gaussa jest to również wartość najbardziej prawdopodobna), [Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]σ[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ] -odchylenie standardowe rozkładu.[Author ID1: at Mon May 5 13:21:00 2003 ]

Przykład 2 (patrz Tabela 2).

Zmierzono śrubą mikrometryczną średnicę drutu miedzianego. Oceniono, że z uwagi na jakość powierzchni, możliwe błędy przy wytwarzaniu drutu oraz stopień jego zużycia, niezbędne jest wykonanie pomiarów w różnych miejscach. Wykonano 10 pomiarów średnicy d i uzyskano kolejno wyniki (w mm): 2,46 ; 2.49 ; 2.52 ; 2,47 ; 2,50 ; 2,51 ; 2,48 ; 2,49 ; 2,45 ; 2,50. Jaka jest średnica tego drutu (jej wartość najlepiej ją charakteryzująca) i z jaką niepewnością została określona?


;
= 0,02214 mm  0,023 mm

S(d) jest estymatą [Author ID2: at Mon May 5 18:52:00 2003 ]estymatorem [Author ID2: at Mon May 5 18:52:00 2003 ]odchylenia standardowego σ (wzór 4), [Author ID2: at Mon May 5 18:53:00 2003 ] charakteryzującym [Author ID2: at Mon May 5 18:53:00 2003 ]cą[Author ID2: at Mon May 5 18:53:00 2003 ] [Author ID2: at Mon May 5 18:53:00 2003 ]rozrzut wyników wokół wartości średniej. Niepewność standardowa obliczona metodą typu A (u_A(d)) wynosi


.

Czy jednak poprawnie zanalizowaliśmy dostępne dane?[Author ID1: at Mon May 5 13:23:00 2003 ].. [Author ID1: at Mon May 5 13:22:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:53:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:22:00 2003 ]Rzut oka na serię wyników pozwala zauważyć, że poszczególne wartości różnią się znacz[Author ID1: at Mon May 5 13:22:00 2003 ]nie[Author ID1: at Mon May 5 13:22:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:54:00 2003 ]ąco[Author ID2: at Mon May 5 18:54:00 2003 ] między sobą i różnice te sięgają 0,05 mm, a więc pięciu działek użytej w pomiarze śruby mikrometrycznej. Świadczy to o odstępstwie „modelu pomiarowego” naszego drutu (jednorodny cylinder, o stałej - wzdłuż całej długości - średnicy) od sytuacji rzeczywistej, a obliczona niepewność pomiarowa [Author ID1: at Mon May 5 13:22:00 2003 ]u[Author ID1: at Mon May 5 13:22:00 2003 ]_A(d) [Author ID1: at Mon May 5 13:22:00 2003 ] jest miarą rozproszenia wyników, wynikającego (głównie) z tego właśnie odstępstwa. Rozproszenie wyników może jednak wynikać także ze skończonej dokładności narzędzia, a w tej sytuacji jego miarą będzie ocena niepewności standardowej typ[Author ID1: at Mon May 5 13:22:00 2003 ]u B[Author ID1: at Mon May 5 13:22:00 2003 ]


[Author ID2: at Mon May 5 18:57:00 2003 ]mm[Author ID2: at Mon May 5 18:57:00 2003 ][Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ][Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

wzór[Author ID1: at Mon May 5 13:22:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:54:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:22:00 2003 ]

[Author ID1: at Mon May 5 13:22:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:57:00 2003 ]

Obie niepewności są tego samego rzędu; w takiej sytuacji można zastosować wzór na tzw. [Author ID1: at Mon May 5 13:22:00 2003 ]całkowitą (złożoną) [Author ID1: at Mon May 5 13:22:00 2003 ]niepewność [Author ID1: at Mon May 5 13:22:00 2003 ]

[Author ID1: at Mon May 5 13:25:00 2003 ]
(6)[Author ID1: at Mon May 5 13:25:00 2003 ][Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

u[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]_C[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]([Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]d[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]) = (0,007[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]²[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ] +0,006[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]²[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ])[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]^1/2[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ] mm = 0,0085 mm [Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ] 0,01 mm.[Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

Ostatecznie wynik pomiaru średnicy drutu możemy zapisać w postaci: [Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]d[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ] = 2,49 (0,01) mm .[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]

Gdyby w analogicznym pomiarze wyniki serii pomiarów były zawarte w przedziale [Author ID1: at Mon May 5 13:22:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:22:00 2003 ]0,01 mm, to - jak łatwo sprawdzić - wartość[Author ID1: at Mon May 5 13:22:00 2003 ] [Author ID2: at Mon May 5 18:58:00 2003 ]
[Author ID2: at Mon May 5 18:58:00 2003 ] [Author ID2: at Mon May 5 18:58:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:22:00 2003 ]_A[Author ID1: at Mon May 5 13:22:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:58:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:22:00 2003 ]byłaby o rząd wielkości mniejsza od [Author ID1: at Mon May 5 13:22:00 2003 ]u_B[Author ID1: at Mon May 5 13:22:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:58:00 2003 ] .[Author ID1: at Mon May 5 13:22:00 2003 ][Author ID2: at Mon May 5 18:58:00 2003 ] [Author ID2: at Mon May 5 18:58:00 2003 ]
. [Author ID2: at Mon May 5 18:59:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:22:00 2003 ]

W tej sytuacji przyczynek od „odstępstwa od modelu” jest do zaniedbania w stosunku do przyczynku „narzędziowego”. Analogicznie, możemy mieć do czynienia z sytuacją kiedy przyczynek „narzędziowy” będzie zaniedbywalny w stosunku do przyczynku „modelowego”.[Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

[Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

Decyzja o tym, czy dla danej serii pomiarowej stosować ocenę typu A, B czy C może być w wielu przypadkach praktycznych trudna i zależeć od subiektywnej oceny sytuacji przez eksperymentatora (kierującego się zwykle pewnym doświadczeniem praktycznym[Author ID1: at Mon May 5 13:22:00 2003 ]). O ile - co jest[Author ID1: at Mon May 5 13:24:00 2003 ] zupełnie [Author ID1: at Mon May 5 13:25:00 2003 ]zrozumiałe - nie [Author ID1: at Mon May 5 13:24:00 2003 ]masz w tym przypadku własnego zdania, [Author ID1: at Mon May 5 13:25:00 2003 ]należy zapyta[Author ID1: at Mon May 5 13:25:00 2003 ]ć o radę prowadzącego ćwiczenia[Author ID1: at Mon May 5 13:25:00 2003 ].[Author ID1: at Mon May 5 13:25:00 2003 ]Czy jednak poprawnie zanalizowaliśmy dostępne dane? Nie uwzględniliśmy informacji o zastosowanej metodzie i przyrządzie pomiarowym, które są podstawą oszacowania niepewności standardowej typu B. Przyjmując, że metoda pomiarowa jest bezbłędna, nie możemy zaniedbać informacji, że najmniejsza działka użytej śruby mikrometrycznej to[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ] = 0,01 mm i ta liczba jest podstawą do oceny niepewność standardowej typu B, [Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]u[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]_B[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]([Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]d[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ])[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]:[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]


[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ].[Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

[Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

Ponieważ niepewności standardowe [Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]u[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]_A[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]([Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]d[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]) i [Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]u[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]_B[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]([Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]d[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ])[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ] [Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ] nie są skorelowane, możemy przyjąć, że całkowita (złożona) niepewność standardowa [Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]u[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]_C[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]([Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]d[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]) wynosi[Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

[Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]
[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ] (6)[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ][Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

u[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]_C[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]([Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]d[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]) = (0,007[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]²[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ] +0,006[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]²[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ])[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]^1/2[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ] mm = 0,0085 mm [Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ][Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ] 0,01 mm.[Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

Ostatecznie wynik pomiaru średnicy drutu możemy zapisać w postaci: [Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]d[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ] = 2,49 (0,01) mm . Dodajemy komentarz, że jest to wynik obliczony na podstawie 10 pomiarów śrubą mikrometryczną, że niepewność standardowa typu A została obliczona ze wzoru (3) oraz, że niepewność standardową typu B wyliczono według wzoru (1), przy dostępnych wiadomościach o metodzie pomiarowej i przyrządzie. [Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]

Zauważmy, że zwiększając liczbę pomiarów [Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]n[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ] zmniejszamy wartość [Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]u[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]_A[Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]. [Author ID1: at Mon May 5 13:26:00 2003 ]

[Author ID1: at Mon May 5 15:18:00 2003 ]

Przykład 3.

Planujemy wykonanie pomiaru znaną metodą i przyrządem. Z opisu wynika, że odchylenie standardowe tej metody i przyrządu wynosi dla jednego pomiaru σ = 3 (jednostki pominięto). Ile razy należy powtórzyć pomiar by niepewność standardowa wyniku była mniejsza niż 1? Przyjąć, że niepewność standardowa typu B, u_B, związana z dokładnością przyrządu jest pomijalnie mała.

Szukaną liczbę powtórzeń n pomiaru znajdujemy z relacji:


; stąd n = (3/1)² = 9.

Odpowiedź: pomiar należy powtórzyć co najmniej 9 razy.

Obliczanie niepewności złożonej w pomiarach pośrednich

W przypadku, gdy mierzymy kilka wielkości fizycznych, np. x, y, z ..., i na ich podstawie obliczamy wielkość fizyczną t, będącą funkcją wielkości mierzonych, niepewność obliczenia wielkości t wyznaczamy ze wzoru


(7)

Wzór ten można stosować przy założeniu, że nie występują korelacjepomiędzy [Author ID2: at Mon May 5 19:00:00 2003 ]wielkościami[Author ID2: at Mon May 5 19:00:00 2003 ] mierzone[Author ID2: at Mon May 5 19:00:00 2003 ], x, y, z, ..., są wielkościami statystycznie niezależnymi, [Author ID2: at Mon May 5 19:01:00 2003 ]a także[Author ID2: at Mon May 5 19:01:00 2003 ] [Author ID2: at Mon May 5 19:01:00 2003 ]oraz,[Author ID2: at Mon May 5 19:01:00 2003 ] że niepewności względne [Author ID2: at Mon May 5 19:01:00 2003 ] u(x)/x[Author ID2: at Mon May 5 19:01:00 2003 ], u(y)/y[Author ID2: at Mon May 5 19:01:00 2003 ], u(z)/[Author ID2: at Mon May 5 19:01:00 2003 ]y[Author ID2: at Mon May 5 19:01:00 2003 ][Author ID1: at Tue May 6 14:45:00 2003 ]z[Author ID1: at Tue May 6 14:45:00 2003 ] [Author ID2: at Mon May 5 19:01:00 2003 ], ... są dostatecznie[Author ID2: at Mon May 5 19:01:00 2003 ] małe (rzędu kilku procent[Author ID2: at Mon May 5 19:01:00 2003 ] lub mniejsze[Author ID2: at Mon May 5 19:02:00 2003 ])[Author ID2: at Mon May 5 19:01:00 2003 ]. Wzór ten wyraża znane w literaturze prawo przenoszenia odchyłek przypadkowych.

Jeżeli stwierdzamy korelację mierzonych wartości x,y,z, to musimy stosować inny wzór do obliczenia niepewności złożonej, uwzględniający fakt wystąpienia zależności pomiędzy tymi zmiennymi (ich skorelowania) [3],[6](np. tabela 2A)

Przykład 4.

Wykonano pomiar grubości pozornej płytki szklanej przez odczyty położeń, x₁ = 4,68 mm
i x₂ = 2,16 mm, dolnej i górnej powierzchni płytki obserwowanej przy użyciu mikroskopu. Do odczytu położenia użyto czujnika mikrometrycznego. Ile wynosi grubość pozorna tej płytki?

Grubość pozorna płytki: a = x₁ - x₂ = 2,42 mm[Author ID3: at Mon May 12 08:39:00 2003 ] 2[Author ID3: at Wed May 7 09:52:00 2003 ],52 mm[Author ID3: at Wed May 7 09:52:00 2003 ]

Dla czujnika mikrometrycznego działka elementarna wynosi 0,01 mm, a zatem

u(x₁) = u(x₂) = u = 0,01mm / 1,73 = 0,0058 mm

Z prawa przenoszenia niepewności




Tak więc grubość pozorna płytki szklanej wyznaczona powyższą metodą wynosi
2,52(0,01) mm

Przykład 5.

Pomiar czasu trwania 15 oddechów człowieka w spoczynku dał wynik t = 58 s. Niepewność u_t oszacowano na 1 s. Ile wynosi przeciętny czas trwania T jednego oddechu?

T= t / 15, a zatem u(T) = u(t) / 15  0,067 s.

Ostatecznie T = 3,867 s z niepewnością 0,067 s.

Przykład 6.

Zmierzony stoperem czas trwania 20 wahnięć wahadła wynosił t = 25,32 s. Ile wynosił okres T badanego wahadła ?

Przyjmujemy za niepewność pomiaru czasu wartość tzw. czasu reakcji człowieka szacowaną na 0,2 s. W porównaniu z nim niepewność związana z dokładnością [Author ID2: at Mon May 5 19:03:00 2003 ]stopera elektronicznego, rzędu 0,01 s, jest pomijalnie mała.

Zatem T = (25,32 s) / 20 = 1,266 s   1,27 s.

u(T) = u(t) / 20 = 0,2 s / 20 = 0,01 s

Pomiary kilkakrotne (n < 10)

Bardzo często w praktyce przemysłowej i laboratoryjnej, w pomiarach rutynowych (np. w analizach chemicznych), powtarzamy pomiar nie 10 i więcej razy, a zaledwie 3, rzadziej 5  7 razy. Taki, np. 3-krotny pomiar nie pozwala na zbyt wiarygodne oszacowanie niepewności typu A - to znaczy niepewność samego stosowanego estymatora jest duża (rzędu 20 procent estymowanej wielkości). Niekiedy poprzestajemy na oszacowaniu niepewności standardowej typu B, albo korzystamy z niepewności standardowej typu A (ewentualnie typu C) mając świadomość związanego z tym marginesem niepewności.

W niektórych ćwiczeniach, np. nr 7, 85, 125, zaleca się zastosowanie poprawnej metody oszacowania przedziału ufności z wykorzystaniem tzw. współczynnika t Studenta [6,2], którego wartość zależy od liczby n powtórzeń pomiaru oraz od założonego poziomu ufności p. Wartości współczynników t(n,p) zestawiono w tabeli poniżej dla trzech typowych poziomów ufności p=0,6827, p=0,9545 i p=0,9973.

Przedziałem ufności jest przedział: (wartość średnia  t(n,p) niepewność standardowa):

(
 t(n,p)  u_A ,
 t(n,p)  u_A ), (8)

gdzie niepewność standardową oblicza się według wzoru (3), str. 6.

Tabela 1. Współczynniki t Studenta, według [6]

n	2	3	4	5	6	7	8	9	10
p=0,6827	1,837	1,321	1,197	1,142	1,111	1,091	1,077	1,067	1,059
p=0,9545	13,968	4,527	3,307	2,869	2,649	2,517	2,429	2,366	2,320
p=0,9973	235,777	19,206	9,219	6,620	5,507	4,904	4,530	4,277	4,094

Niepewność rozszerzona

W zastosowaniach technicznych, komercyjnych, istotne jest takie określenie przedziału liczbowego uznanego za wynik pomiaru, aby (na wysokim poziomie ufności) można było uznać, że zawarta w nim wartość jest prawdziwa W dotychczas stosowanej nomenklaturze oznaczało to podanie przedziału ufności, np.
, na zadanym poziomie ufności równym 95% (odpowiada to w dobrym przybliżeniu przypadkowi rozkładu normalnego). Obecnie używana jest nazwa niepewności rozszerzonej U = k u_C. Współczynnik k dobierany jest do założonego poziomu ufności, np. 95%, i uwzględnia informacje o przyjętym i doświadczalnym rozkładzie odchyłek pomiarowych dla wybranego przyrządu i metody pomiarowej. Na przykład w przypadku niewielkiej liczby powtórzeń pomiaru współczynnik k określamy z tablic współczynnika „t” Studenta, co przedstawiono powyżej. Bliższe omówienie tego problemu można znaleźć w pracach [2, 3, 5, 6](wzór 8).

CZĘŚĆ B. OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW

Badanie funkcyjnych zależności (skorelowania) zbiorów danych to podstawowa działalność badawcza w nauce i technice, dlatego warto zapoznać się ze stosowaną do tego techniką.

Stwierdzamy zależność Y=f(X) jednej wielkości fizycznej Y od innej wielkości X poprzez pomiary zmian wartości Y_i gdy wymuszamy zmiany wartości X_i. Na przykład obserwujemy:

1. zmianę drogi s w ruchu po prostej od czasu t.

2. zależność rezystancji R (oporu elektrycznego) termometru wykonanego z drutu platynowego od temperatury T.

3. zmianę okresu wahadła od jego długości i amplitudy drgań.

4. zmiany indukcji magnetycznej B w środku pętli kołowej od natężenia prądu i płynącego w tej pętli i liczby zwojów.

Poprawne opracowanie wyników takich pomiarów przedstawiono poniżej na bardzo prostym przykładzie obserwacji zależności drogi ciała w ruchu jednostajnym po prostej w funkcji czasu. Jeżeli chcemy wykonać pomiar prędkości kuli w ruchu jednostajnym, to planujemy eksperyment, w którym mierzymy drogę S (odległość między dwoma punktami bieżni) oraz czas t toczenia się kuli od jednego do drugiego punktu bieżni. Prędkość określimy jako

v=S/t. Niech : S = 10,00 m z niepewnością oszacowaną na 0,01 m (pomiar taśmą mierniczą geodezyjną) oraz t = 8,0 s z niepewnością oszacowaną na 0,1s (pomiar ręcznym stoperem - stoper: 0,01 s [działka!], ale refleks człowieka - niepewność rzędu 0,1 s). Prędkości wyliczymy jako równą 1,250 m/s z niepewnością równą 0,015 m/s, obliczoną ze wzoru (7).

Jeżeli chcemy określić funkcyjną zależność drogi od czasu w przedstawionym eksperymencie, to wykonamy np. szereg pomiarów przebytej drogi s_i od czasu t_i . Np.: bieżnia, po której porusza się kula zaopatrzona jest w taśmę mierniczą i dysponujemy zespołem pomiarowym z wieloma stoperami. Wykonujemy szereg pomiarów i otrzymujemy pary wyników (s_i , t_i), gdzie i=1..n. Przykładowe wyniki zestawiono w Tabeli 2, dla dziesięciu pomiarów (n=10). Ponieważ nie zmieniliśmy metody pomiarowej, oszacowujemy, że niepewność pomiaru s jest w przybliżeniu stała i wynosi u_s= 0,01m, a niepewność pomiaru t też jest w przybliżeniu stała i wynosi u_t=0,1s.

Tabela 2. Wyniki pomiaru prędkości kuli; u_s  0,01 m, u_t  0,1 s;

Nr pomiaru	Wynik s [m]	Wynik t [s]	Nr pomiaru	Wynik s [m]	Wynik t [s]
1	0,10	0,20	6	7,00	5,40
2	1,00	1,00	7	7,50	6,05
3	3,00	2,11	8	8,00	6,50
4	4,00	3,12	9	9,00	7,00
5	6,00	5,02	10	10,00	8,22

[Zauważmy, że w tabeli odnotowano wyniki pomiaru czasu jako odczyty ze stoperów, choć wiemy, że odchyłkę pomiaru czasu powoduje głównie zmienny czas reakcji człowieka].

Otrzymaliśmy zbiór n=10 punktów pomiarowych, to jest par liczb (s_i , t_i). Ich graficznym obrazem jest zbiór punktów na płaszczyźnie s-t (odpowiedniku płaszczyzny y-x w matematyce). Jeżeli łączy je (lub sądzimy, że łączy je) zależność funkcyjna s = f(t) , to zazwyczaj chcemy ją ustalić graficznie i rachunkowo.

Poniżej przedstawiono kolejne kroki poprawnego i kompletnego opracowania takich wyników: wstępne opracowanie graficzne, opracowanie rachunkowe i sporządzenie wykresu końcowego.

1. Wstępne, graficzne, opracowanie wyników

Polega ono na sporządzeniu w czasie pomiarów lub bezpośrednio po nich rysunku (wykresu), wykonanego zgodnie z określonymi zasadami. Należy podać numer rysunku i jego tytuł, opis osi wykresu, opis dodatkowy, np. parametrów. Bardzo istotne jest właściwe dobranie skali na osiach, tak aby w pełni wykorzystać przestrzeń rysunku(np. gdy wykresem ma być linia prosta to należy tak dobrać skale aby była ona nachylona pod kątem około 45 stopni do każdej z osi) , wyraźnie oznaczone punkty pomiarowe z zaznaczonymi oszacowaniami ich niepewności w postaci tzw. „wąsów". Rysunek 2 prezentuje graficznie wyniki pomiarów ujęte w tabeli 1 powyżej.

Taki rysunek pozwala na: a) stwierdzenie, że zależność s=f(t) jest liniowa (z dobrym przybliżeniem), b) narysowanie w przybliżeniu najlepszej prostej wg punktów na wykresie , c) oszacowanie z nachylenia tej prostej [w jednostkach s/t !] prędkości średniej dla badanego ruchu.




Rysunek 2. Zależność przebytej drogi od czasu. Niepewność pomiaru czasu  0,1 s (widoczna na rysunku). Niepewność pomiaru drogi  0,01 m (niewidoczna w skali rysunku).

2. Opracowanie rachunkowe serii wyników pomiaru

Polega ono na tzw. dopasowaniu najlepszej zależności funkcyjnej do danych pomiarowych. Do jakiej zależności?

Zależności teoretycznej jeśli ją znamy z teorii zjawiska, lub zależności sugerowanej rysunkiem (w naszym przykładzie - zależności liniowej: s = s_o+ v t ).

Metodą dopasowania jest tzw. metoda najmniejszych kwadratów opisana warunkiem dopasowania: suma kwadratów odchyłek pomiędzy punktem pomiarowym i wykresem dopasowanej funkcji obliczona dla wszystkich punktów ma być minimalna.

Zastosowanie tej metody dopasowania do zależności liniowej (y= ax + b) nosi nazwę: „regresja liniowa”. Wówczas warunek dopasowania ma postać:

 [ y_i - (ax_i + b)]² = minimum (9)

Rozwiązaniem są dwa równania do obliczenia współczynników dopasowania ”a” i ”b” oraz dwa równania do określenia odchyleń standardowych (niepewności standardowych) ”sa” i ”sb” współczynników a i b, wyliczonych na podstawie rozproszenia punktów wokół dopasowanej prostej. [Zapoznaj się z odpowiednimi równaniami, ew. sam je wyprowadź z warunku minimum funkcji (warunku dopasowania )].

O jakości dopasowania świadczą odchylenia standardowe sa i sb współczynników a i b dopasowania. Kryterium uogólnionym jakości dopasowania jest tzw. „współczynnik korelacji” . Wartości współczynnika korelacji rzędu 0,95 - 1,00 wskazują na poprawność doboru dopasowywanej zależności ( tu: liniowej) i względnie niewielkie rozrzuty punktów pomiarowych wokół dopasowanej (tu) prostej. W niektórych pracach z zakresu opracowania wyników pomiarów znaleźć można ścisłe, statystyczne kryteria oceny siły korelacji dwu zmiennych.

Do dyspozycji obecnie mamy liczne komputerowe programy opracowania danych pomiarowych. Wbudowane mają one moduł „regresji liniowej” i po wprowadzeniu tablicy danych wykonują odpowiednie obliczenia i ich wydruk na żądanie.

(Na końcu tego punktu zamieszczono  Komentarz oraz Dodatek, ułatwiający studentowi pracę własną dopasowania danych metodą regresji liniowej)

Przykład opracowania danych z tabeli 1, rysunku 2 :

współczynniki równania s = a t + b obliczone z wykorzystaniem komputerowego programu regresji liniowej (dostępnego w katalogu `programy/regresja' na komputerach w pracowni fizycznej) :

a = 1,247665 oraz odchyl. stand. współczynnika a: sa = 0,031366; ( wymiar: m/s)

b= -0,00708 oraz ” ” b: sb = 0,161467; ( wymiar: m)

odchylenie standardowe s = 0,254648 (wymiar: m - bo „s” jest to odchylenie standardowe obliczone z rozrzutu wyników doświadczalnych drogi s względem dopasowanej prostej);

współczynnik korelacji R= 0,997

A więc po odpowiednim zaokrągleniu[patrz str 4]: wyniki eksperymentu opisuje równanie:

s = (1,248  0,031) m/s * t + ( - 0,007  0,162 ) m ; gdzie t -czas w sekundach, s -droga w metrach; użyto tu zapisu przedziałowego z wykorzystaniem wartości niepewności standardowych (sa, sb) ;

rozrzut punktów doświadczalnych wokół dopasowanej prostej charakteryzuje obliczona wartość odchylenia standardowego zmiennej s s_s = 0,26 m;

wysoka wartość współczynnika korelacji R potwierdza naszą tezę, że obserwowaliśmy ruch jednostajny kuli; (s = vt + s_o ), przy czym wartość s_o jest w praktyce zerowa (-0,007 m z niepewnością 0,162 m)

współczynnik „a” równania interpretujemy jako średnią prędkość kuli w tym eksperymencie:

v_śr =(a) =1,248 m/s z niepewnością 0,031 m/s.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------Komentarz:

*Przed użyciem programu spróbuj ręcznie przeliczyć dane techniką regresji liniowej (patrz Dodatek poniżej). Jeśli użyjesz programu - nie zapomnij sprawdzić czy wyniki są wiarygodne (popatrz na rysunek), nie zapomnij, że w fizyce współczynniki mają wymiary, których program często „nie widzi”.*

*Zauważ, że wzory na dopasowane współczynniki są wyprowadzone przy założeniu takich samych błędów pomiaru każdego punktu [ jednakowe „wagi” punktów pomiarowych].

Jeżeli wagi (odwrotności kwadratów błędów pomiaru punktów) nie są identyczne - trzeba stosować odpowiednio zmodyfikowane kryterium i wzory w obliczeniach.*

*Jeżeli zależność funkcyjna jest nieliniowa -np. potęgowa, logarytmiczna, - to poprzez odpowiednie podstawienia można zlinearyzować funkcję i zastosować regresję liniową. Opracowanie zbioru danych pomiarowych wielu zmiennych wymaga zastosowania metody najmniejszych kwadratów z odpowiednim uogólnieniem „odległości” punktu w przestrzeni wielowymiarowej od wartości obliczonej z zależności funkcyjnej dopasowanej. Dla liniowej funkcji wielu zmiennych technika obliczeniowa nazywa się w tym przypadku „regresją wielokrotną”. Rozwiązanie problemu dla nieliniowych funkcji wielu zmiennych wymaga stosowania iteracyjnych metod komputerowych.*

Dodatek - równania do wyliczenia współczynników a i b:

Regresja liniowa (metoda najmniejszych kwadratów); wagi identyczne

wyrównanie do prostej y = ax + b , n -liczba punktów pomiarowych (x_i, y_i),

obliczanych parametrów m=2 ( współczynniki a, b)

rozwiązanie: a = ^-1 [ x_i y_i - n x_iy_i ] ; = (x_i )² - n (x_i)²

b =^-1 [ x_i x_iy_i - y_i (x_i)² ]

odchylenia standardowe sa i sb dane są zależnościami:

(sa)² = n _H [ (n - m) ² ] ^-1 (sb)² = _H (x_i)² [ (n - m) ² ] ^-1,

gdzie _H - wartość wyznacznika utworzonego z wyrazów:

(y_i)² y_i x_iy_i

y_i n x_i

x_iy_i x_i (x_i)² **

Uwaga: jeżeli liczba stopni swobody (n - m) jest niska, co znaczy, że budujemy prostą korelacji y - x z niewielkiej liczby danych (punktów pomiarowych) to zmuszeni jesteśmy stosować korektę obliczonych sa, sb współczynnikiem t_kryt Studenta dla tej niskiej liczby stopni swobody. (Podobnie jak przy szacowaniu odchylenia standardowego jednej zmiennej z niewielkiej liczby pomiarów).

3. Sporządzenie wykresu końcowego

Wykonujemy go ręcznie na papierze milimetrowym lub innym kalibrowanym lub jako wydruk z wykorzystaniem odpowiedniego programu komputerowego. Wykres ten jest zbliżony do wstępnego (por. rys.2) - ale zawierać powinien istotne uzupełnienia: linię regresji obrazującą dopasowaną zależność funkcyjną (krzywą gładką), jej zapis rachunkowy (to jest równanie ze współczynnikami i niepewnościami ich określenia), współczynnik korelacji (jeżeli go obliczano).




Rysunek 3. Zależność przebytej drogi od czasu. Niepewność pomiaru czasu  0,1 s (widoczna na rysunku). Niepewność pomiaru drogi  0,01 m (niewidoczna w skali rysunku). Na rysunku wpisano równanie dopasowanej prostej wyliczone metodą najmnieszych kwadratów oraz współczynnik korelacji.

d) Histogram

W niektórych ćwiczeniach niezbędne jest sporządzenie tzw. histogramu, na przykład graficznej prezentacji doświadczalnego rozkładu prawdopodobieństwa uzyskanych wyników pomiaru.

Przykład : Wykonano doświadczalne sprawdzenie rozkładu wyników pomiaru rezystancji za pomocą mostka Wheatstone'a. Wykonano N=123 pomiary; ich średnia R_śr wyniosła 132,2 ; odchylenie standardowe rozkładu s oszacowane wg wzoru (4) [dlaczego?] wynosi 5,2 .

Posortowano 123 wyniki pomiarów na klasy o szerokości s = 5,2 . uzyskując wyniki zestawione poniżej w tabeli, odpowiednio:

Przedział	Ndośw	Pteor	Nteor
(116,6 ; 121,8)	2	0,022	2,7
(121,8 ; 127 )	18	0,136	16,7
(127 ; 132,2)	38	0,341	41,9
(132,2 ; 137,4)	48	0,341	41,9
(137,4 ; 142,6)	12	0,136	16,7
(142,6 ; 147,8)	5	0,022	2,7

N_dośw - liczba zliczeń zakwalifikowana do danego przedziału na podstawie wyników dośw.,

P_teor - prawdopodobieństwo teoretyczne znalezienie się wyniku w danym przedziale przy założeniu rozkładu normalnego,

N_teor - liczba wyników jakie powinny się znaleźć teoretycznie w danym przedziale,

N_teor = N  P_teor.

Poniżej przedstawiono rezultat sortowania rezultatów pomiaru zestawionych w tabeli, w formie tzw. histogramu.




Rysunek 4. Histogram. Jest to wykres słupkowy przedstawiający częstość występowania wyników w określonych przez nas przedziałach. Czarne kropki reprezentują wartości teoretyczne dla rozkładu normalnego.

Histogram jest bardzo pomocnym narzędziem, dzięki któremu niemal natychmiast widzimy z jakim rozkładem mamy do czynienia. W naszym przykładzie spodziewaliśmy się uzyskać rozkład normalny (naniesione czarne kropki to są właśnie wartości oczekiwane dla tego rozkładu). Jak widac z rysunku otrzymane wartości dość dobrze zgadzają się z teorią. Zastosowanie tzw. testu ² [2, 6] umożliwia liczbowe zweryfikowanie hipotezy o zgodności rozkładu obserwowanego z postulowanym, np. w tym przykładzie rozkładem normalnym.

ZADANIA POMIAROWE

I. Pomiar jednokrotny

Zmierz jednokrotnie wielkości trzech wybranych przez siebie przedmiotów, np.:

• szerokość kartki papieru z zeszytu, długość ołówka, wysokość szpalty w gazecie, odległość dwóch kropek na kartce, długość jaja kurzego - dłuższej osi tej w przybliżeniu elipsoidy obrotowej (rys. 2), odległość 20 własnych kroków (wykorzystując, na przykład, informację o długości płyty chodnikowej), itp.

• jeden kąt w szkolnej ekierce,

• czas opadania piórka z wysokości 1 m, czas trwania 10 oddechów (w stanie spoczynku),

• masę torebki cukru, mąki, soli, kostki masła, butelki soku itp.,

• średnicę rury przy pomocy kawałka sznurka i przymiaru liniowego,

• wymyśl sam interesującą Ciebie wielkość fizyczną, którą jesteś w stanie zmierzyć:

.............................................................................................................................................

1. Dobierz dostępny i Twoim zdaniem właściwy przyrząd pomiarowy: liniał, taśmę mierniczą, suwmiarkę, śrubę mikrometryczną, wagę kuchenną, wagę laboratoryjną, zegar, stoper, itd.

2. Wykonaj jednokrotnie pomiary odpowiednich wielkości wybranych obiektów nr 1, nr 2, nr 3 i wyniki pomiaru wpisz w tabelę 1.

3. Określ niepewność standardową u_B każdego pomiaru w oparciu o jakość użytego przyrządu pomiarowego (wzór 1).

4. Przeanalizuj, czy w Twoim pomiarze nie występowały inne przyczyny niepewności wyniku, spróbuj je opisać.

Tabela 1. Wyniki pomiarów jednokrotnych dla trzech różnych przedmiotów.

Nr	Przedmiot mierzony	Przyrząd pomiarowy, jakość przyrządu	(Wynik  ) jednostka	Niepewność standardowa uB (wzór 1)	Uwagi* uB
0.	Szerokość kartki (przykład)	Liniał; =1 mm	(2091) mm	0,6 mm	uB1 mm
1.
2.
3.

*0) Znaczącym źródłem niepewności pomiaru jest ewentualne lekko skośne ustawienie liniału względem kartki. Na podstawie kilku prób szacuję niepewność u_B na około 1 mm.

*1) ...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

*2) ...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

*3) ...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

II. Pomiary wielokrotne (n ≥ 10)

Wykonaj pomiar 10-ciokrotny i opracuj jego wynik:

• wybierz 10 Twoim zdaniem prawie identycznych przedmiotów, np.: 10 kurzych jaj, 10 jednakowych bułek, 10 jednakowych owoców, 10 zużytych kulek łożyskowych o średnicy rzędu 5-10 mm, itp., i wykonaj dziesięć pomiarów, każdy dla innego przedmiotu,

• albo wykonaj 10-krotnie pomiar „tego samego", np. czasu 15 oddechów w spoczynku, czy szerokości pokoju w 10-ciu różnych miejscach, obwodu pnia drzewa w różnych miejscach, średnicy Księżyca przy pomocy monety i twierdzenia Talesa, itp.

• ............................................................................................................................................

1. Ustal co i czym będziesz mierzył, np.: jaja, oś długa tej niemal elipsoidy - suwmiarka lub papier milimetrowy i dwie ekierki (rys. 2); kulki albo drut, ich średnica - śruba mikrometryczna; bułki, średnica podstawy - liniał z działką 1mm; czas trwania 15 oddechów - stoper, zegarek z sekundnikiem.

2. Wykonaj 10 razy pomiar wybranego (wybranych) obiektu (-ów) zachowując należytą staranność i wyniki wpisz odpowiednio do tabeli 2.

3. Oblicz średnią arytmetyczną
   (wzór 2) i odchylenie standardowe średniej
   (wzór 3), to jest niepewność standardową u_A, i wyniki obliczeń wpisz do odpowiedniej kolumny Tabeli 2

4. Zastanów się, czy w Twoim pomiarze niepewność typu B (u_B) związana z jakością przyrządu i warunkami pomiaru nie jest znacząca i postaraj się ją oszacować.

5. Zapisz końcowy wynik pomiaru to jest
   i niepewność złożoną u_C i dodaj komentarz.







Rys. 2. Pomiar długości jaja (propozycja).


x_i














a) b)












x_i




START KONIEC POMIARU

Rys. 3. Pomiar pośredni czasu reakcji. Jedna osoba przytrzymuje gładki liniał (ok. 50 cm) na gładkiej, pionowej powierzchni i puszcza go bez ostrzeżenia. Druga osoba, której czas reakcji bada się, stara się jak najszybciej unieruchomić liniał. Droga x_i przebyta przez liniał od chwili puszczenia do momentu zatrzymania (½ gt_r²) pozwala określić czas reakcji t_r.






Tabela 2. Wyniki pomiarów wielokrotnych. Wykonaj zadania nr ............................... /podpis

	Przykład II.1	Przykład II.2	Zadanie II.1	Zadanie II.2	Przykład II.3		Zadanie II.3		Zadanie II.4
	Średnica drutu ^x)	Średnica drutu	Czas trwania 20 T	Czas spadku swobodnego	Grubość płytki		Szerokość i długość płytki		Średnica pręta
Nr	xi				d1	d2	a	b
	[mm]	[mm]	[s]	[s]	[mm]	[mm]	[cm]	[cm]	[mm]
1	2,46
2	2,49
3	2,52
4	2,47
5	2,50
6	2,51
7	2,48
8	2,49
9	2,45
10	2,50
	2,487
S(x)	0,022				1[Author ID0: at Thu Nov 30 00:00:00 1899 ]	00935[Author ID2: at Mon May 5 19:07:00 2003 ]
uA	0,007					295[Author ID2: at Mon May 5 19:03:00 2003 ]0[Author ID2: at Mon May 5 19:03:00 2003 ][Author ID3: at Mon May 12 08:40:00 2003 ]
uB	0,006
uC	0,0092 0,01
uA	2,487 0,007
uC	2,49 mm 0.01 mm

^x) patrz Przykład 2 na stronie 8,

^*) u_B  1 s oszacowano z niepewności ustalenia momentów start-stop na zegarku (porównaj z
przykładami dotyczącymi prawa przenoszenia niepewności)

^**) t_i obliczamy z zależności : t_i = (2x_i/g)^1/2; g = 9,81 m/s²

^***) u_B= 5 mm oszacowano z niepewności odczytu każdego wyniku

⁺ ,⁺⁺ - patrz komentarz w obliczeniach do przykładu II.3 na str 22

Tabela 2A. Wyniki pomiarów wielokrotnych i wielkości pośrednich.

	Przykład II.4. Objętość (V) jaj kurzych, x- oś długa, y, z - osie krótkie; y  z				Zadanie II.5 Objętość (V) pudełka a,b,c
Nr	xi	yi	zi	Vi^*)	a	b	c	V
	[mm]	[mm]	[mm]	[cm^3]	[cm]	[cm]	[cm]	[cm^3]
1	55	41	42	49,57
2	57	42	43	53,87
3	52	40	42	45,72
4	54	41	43	49,82
5	55	44	44	55,72
6	53	43	41	48,90
7	52	41	43	47,98
8	55	42	43	51,98
9	57	42	42	52,62
10	58	43	43	56,12
				51,23
S(V)			-	3,41
uA(V)				1.08[Author ID2: at Mon May 5 19:04:00 2003 ]1,1[Author ID2: at Mon May 5 19:04:00 2003 ]
uB(V)				
uC(V)				
u(V)				51,2 1,1

^*)Objętość elipsoidy V_i = 1/8  4/3 x_i y_i z_i  = 1/6 x_i y_i z_i,

Uwaga: mierzone [Author ID2: at Mon May 5 19:04:00 2003 ]x_i, y_i, z_i są w znacznym stopniu skorelowane[Author ID2: at Mon May 5 19:04:00 2003 ] zależne[Author ID2: at Mon May 5 19:04:00 2003 ](tzn skorelowane) ;[Author ID2: at Mon May 5 19:04:00 2003 ],[Author ID2: at Mon May 5 19:05:00 2003 ] stąd[Author ID2: at Mon May 5 19:05:00 2003 ] dlatego [Author ID2: at Mon May 5 19:05:00 2003 ] nie korzystamy z prawa przenoszenia niepewności zmiennych pośrednich (6), a niepewność u(V) obliczamy wprost z relacji (3), to jest z rozrzutu wartości V_i. Miara rozrzutu objętości to S(V)  3,4 cm³, estymator odchylenia standardowego σ rozkładu Gaussa, któremu zapewne podlegają wymiary dużej populacji jaj tej klasy. W przedziale
, tj. w przedziale 47,854,6) cm³ mieści się 7 jaj na 10 (czyli blisko wartości 67[Author ID2: at Mon May 5 19:05:00 2003 ]8[Author ID2: at Mon May 5 19:05:00 2003 ]% oczekiwanej z rozkładu Gaussa).

III. Pomiary wielkości pośrednich.

Wykonaj 10-ciokrotnie pomiar pośredni i oszacuj jego niepewność z prawa przenoszenia niepewności

1. Wybierz problem pomiarowy (lub ustal go sam), np.:

• określenie czasu trwania jednego oddechu metodą pomiaru czasu trwania 15 oddechów;

• pomiar średniego czasu reakcji z wykorzystaniem swobodnego spadku ciał - (rys.3)

• pomiar przeciętnej objętości kulki stalowej na podstawie pomiaru jej średnicy (10 kulek);

• pomiar gęstości prostopadłościanu (walca, stożka ściętego) z wyznaczenia jego objętości i masy (zapisz wyniki w dodatkowej tabeli lub wykorzystaj np. tabelę 2A);

• wymyśl sam interesujący Ciebie pomiar metodą pośrednią, który jesteś w stanie wykonać

................................................................................................................................................

2. Wyniki 10 krotnego pomiaru wpisz w tabelę 2 lub 2A i oblicz odpowiednie wartości

• średnią arytmetyczną,

• z rozrzutu wyników  niepewność typu A (wzór 3)

• z innych informacji - niepewność typu B (wzór 1)

• całkowitą niepewność u_C (wzór 6)

3. Zapisz wyniki wielkości mierzonych.

4. Wylicz wielkość pochodną (np. czas reakcji) oraz wylicz z prawa przenoszenia niepewności (wzór 7) jej niepewność, wyniki wpisz do tabeli.

5. Objaśnij jak uzyskano wynik; na przykład:
   zmierzony czas reakcji wynosi 0,211 s, a niepewność standardową jego określenia oszacowano na 0,004 s; niepewność oszacowano z wyników 10-krotnego powtórzenia pomiaru i niepewności typu B związanej z niedokładnościami ustalenia i odczytu położenia punktu startu i zatrzymania liniału.

Obliczenia do przykładu II.2 (Tabela 2)


,00386[Author ID3: at Mon May 12 10:08:00 2003 ]

Wstawiając za S(
) odpowiednio oszacowanie niepewności S(
) średniej odległości z powtórzeń pomiaru to jest u_A =6,1 mm oraz oszacowanie S(
) łączne z powtórzeń pomiaru oraz oszacowania niepewności u_B odczytów kolejnych wyników odległości - to jest u_C =7,9 mm - otrzymamy odpowiednio oszacowania niepewności czasu reakcji u(t_r ):

u_A 0,003 s ⁺ oraz u_C 0,004 s. ⁺⁺

Tabela 3. Opracuj graficznie i rachunkowo poniższe wyniki:

1. doświadczalna zależność wydłużenia sprężyny x od siły rozciągającej F,

2. doświadczalna zależność................................................................(własne dane)

1. zależność długości sprężyny od siły rozciągającej: (F=mg)

m [g]	0	20	51	66	101	120	151	171	250	401
F [N]	0
x [cm]	14,1	14,8	15,8	16,2	17,4	18	18,9	19,6	22,1	27

b) zależność............................................(x- zmienna niezależna, y- zmienna zależna)

x [ ]
y [ ]

Uwaga: wyniki opracowania załącz do niniejszego protokołu w formie osobnych, zatytułowanych i ponumerowanych kartek formatu A4.

Wnioski:

Uwagi prowadzącego:

Ocena z opracowania wyników:
	ocena			podpis

Załączniki: dodatkowe wykresy, obliczenia, ewentualna poprawa

Opracowali: P. Stach, J. Ostachowicz,E. Rulikowska







1

21

---