KINETYCZNA TEORIA GAZÓW

Kinetyczna teoria gazów to nauka o budowie i własnościach fizycznych gazów oparta na statystycznych metodach badania. (prawa mechaniki stosuje się tu statystycznie- liczba atomów czy cząsteczek w układach makroskopowych jest tak duża, że wielkości średnie dają wystarczająco dobre przybliżenie; wszystkie zmienne termodynamiczne dadzą się wyrazić jako średnie parametrów atomowych)

Opiera się na założeniach dla gazu doskonałego:

a) molekuły (drobiny) z których gaz się składa, zachowują się jak punkty matematyczne: nie posiadają objętości (w porównaniu z całkowitą objętością zajmowaną przez gaz, jest ona zaniedbywalna), a posiadają masę i prędkość, która

w każdym danym kierunku jest taka sama.

Statystycznie, w każdym kierunku porusza się taka sama liczba drobin.

b) poza chwilą, w której następuje zderzenie, molekuły nie oddziałują ze sobą,

c) zderzenia są doskonale sprężyste (spełnione są zasady zachowania energii, pędu i momentu pędu, czyli wszystkie te wielkości przed i po zderzeniu pozostają takie same) i ich czas trwania wynosi 0.

RÓWNANIE CIŚNIENIA GAZU W NACZYNIU

W ŚWIETLE TEORII KINETYCZNEJ

Molekuły gazu w naczyniu nieustannie zderzają się między sobą (charakter tych zderzeń jest całkowicie przypadkowy). Oprócz tego uderzają w ścianki naczynia; ciśnienie jest stosunkiem składowej normalnej siły, z jaką uderzają w ściankę do pola powierzchni tej ścianki. Ponieważ zakładamy, że gaz jest doskonały i cząsteczki między sobą zderzają się doskonale sprężyście, zderzenia te nie wpływają na wartość ciśnienia gazu (częstość czy siłę uderzeń w ścianki naczynia).

(Wyprowadzając podstawowe równanie dla ciśnienia gazu, dla uproszczenia obliczeń wybieramy naczynie w kształcie sześcianu.)

S- pole powierzchni ściany sześcianu

n₀- liczba cząsteczek w jednostce objętości

m- masa cząsteczki

V_x, V_y, V_z- składowe prędkości każdej cząsteczki

n₁, n₂..., n_i- liczba cząsteczek w jednostce objętości o składowej V_x1, V_x2..., V_xi

Zmiana pędu pojedynczej cząsteczki o składowej V_xi wskutek zderzenia ze ścianą wynosi 2mV_xi (po zderzeniu zmienia się zwrot prędkości, ale jej wartość i kierunek pozostają bez zmian).

W czasie ∆τ w ścianę uderza ½SVx_i∆τn_i cząsteczek o prędkości V_xi (w objętości SV_xi∆τ jest ich SV_xi∆τn_i; połowa cząsteczek porusza się jedną stronę, połowa w drugą).

Zmiana pędu tych cząsteczek = popędowi siły wywieranej na ścianę przez cząsteczki , czyli:

2mV_xi · ½SV_xi∆τn_i = F_i∆τ

ciśnienie wywierane przez te cząstki:

p_xi = F_i/S = n_imV²_xi

p_x = Σp_xi = Σn_imV²_xi = mΣn_iV²_xi,

średni kwadrat prędkości
²_x = Σn_iV²_xi/n₀

p_x = mn₀
²_x

Ze względu na dużą liczbę molekuł i ich bezładny ruch:

²_x =
²_y =
²_z

Ponieważ
² =
²_x +
²_y +
²_z

Więc
² = 3
²_x;

p_x = ⅓mn₀
²; ponieważ ρ = mn₀, to

p_x = ⅓ ρ
²

lub w innej postaci: pυ = ⅔W_k,

W_k - sumaryczna energia kinetyczna ruchu postępowego N znajdujących się w naczyniu cząsteczek,

υ - objętość właściwa

M = Nm - masa gazu

Stosując równanie stanu gazu można napisać, że

RT = ⅔ ⋅ ½ ⋅ M
²

RT = ⅓ M
²

Stąd wniosek, że ponieważ średni kwadrat prędkości jest wprost proporcjonalny do temperatury bezwzględnej i odwrotnie do masy gazu (a więc i do masy cząsteczki),

to im wyższa temperatura, tym szybciej cząsteczki się poruszają, a cięższe cząsteczki poruszają się wolniej niż lżejsze; w temperaturze zera bezwzględnego ruch drobin ustałby.

Według teorii kinetyczno - molekularnej materii (dotyczącej wszystkich stanów skupienia, nie tylko gazów), wszystkie drobiny materii nieustannie się poruszają ruchem cieplnym (termicznym).

Ciśnienie gazu w naczyniu jest więc makroskopowym przejawem tego ruchu.

ROZKŁAD MAXWELLA

Dotyczy najbardziej prawdopodobnego rozkładu prędkości w dużej liczbie cząsteczek gazu.

Jest to rozkład stacjonarny (dla gazów znajdujących się w stanie równowagi termodynamicznej). Zakładając całkowitą bezładność ruchu molekuł:

ƒ(V) = dN_v/dV

ƒ(V) = 4πN(m/2πkT)^3/2 V² exp(- mV²/2kT)

ƒ (V)- określa, jaka liczba molekuł gazu z ogólnej liczby jego molekuł w jednostce objętości ma w danej temperaturze prędkości zawarte w przedziale (V, V+dV).

N_v - liczba molekuł o prędkości V

Rys.1. Krzywe rozkładu prędkości molekuł dla różnych temperatur T₁ <T₂ <T₃

V_pr - prędkość najbardziej prawdopodobna

(krzywa nie jest symetryczna względem V_pr, ponieważ najniższa prędkość może wynosić 0, a najwyższa prędkość, jaką może osiągnąć cząsteczka nie jest ograniczona).

Wraz ze wzrostem temperatury bezwzględnej rośnie najbardziej prawdopodobna prędkość cząsteczek, a liczba cząsteczek poruszających się z tą prędkością maleje.

Gdy V = V_pr, to ƒ = ƒ_max, czyli
= 0

(V² exp(-mV²/2kT)) = 0

V = V_pr =
kT/m

ROZKŁAD CZĄSTECZEK W POTENCJALNYM POLU SIŁ (rozkład Boltzmanna)

1. Zwykle gaz znajduje się w potencjalnym polu przyciągania Ziemi. Gdyby tego pola nie było, powietrze atmosferyczne rozproszyłoby się po Wszechświecie. Z drugiej strony, jeśliby ruch cieplny nie istniał, to cząsteczki powietrza atmosferycznego spadłyby na powierzchnię Ziemi. Przyciąganie ziemskie i ruch cieplny prowadzą do stanu stacjonarnego gazu, przy którym ze wzrostem wysokości nad powierzchnią Ziemi maleje koncentracja i ciśnienie gazu.

2. Jeśli gaz (lub inny układ cząsteczek) znajduje się w zewnętrznym potencjalnym polu sił, to rozkład cząstek w objętości opisuje prawo rozkładu Boltzmanna. Rozkład Boltzmanna ustala liczbę cząstek dn (x, y, z), których współrzędne znajdują się w przedziałach od

x do x + dx, od y do y + dy, od z do z + dz; dn(x, y, z) jest więc liczbą cząstek znajdujących się w elementarnej objętości dV = dxdydz.

3. Rozkład Boltzmanna ma postać: dn (x, y, z) = const · exp ( -w_p(x, y, z)/kT )dxdydz,

w_p (x, y, z) - energia potencjalna cząstki w zewnętrznym polu sił,

k - stała Boltzmanna; k = R/N_A

Wartość const wyznaczamy z warunku normowania

∫ dn = n₀

Gęstość gazu, równa ρ = m
maleje więc wykładniczo wraz z wysokością:

ρ = const∙ exp (-mgh/kT)

Wartość const można wyznaczyć z warunku ρ = ρ₀ = const dla h = 0.

Zmiany gęstości gazu lub jego ciśnienia w zależności od wysokości h wyraża wzór barometryczny:

ρ = ρ₀exp (-mgh/kT)

p = p₀exp (-mgh/kT)

ŚREDNIA DROGA SWOBODNA CZĄSTECZEK GAZU, ZASADA EKWIPARTYCJI ENERGII, ENERGIA WEWN. GAZU DOSKONAŁEGO

1. Średnia liczba zderzeń
   

=
πd²n₀
, gdzie d- efektywna średnica cząsteczki,

n₀ - liczba molekuł w jednostce objętości gazu,

- prędkość średnia

2. Średnią drogą swobodną
   nazywamy średnią odległość, którą cząsteczka pokonuje bez zderzenia. Wielkość ta charakteryzuje cały zbiór molekuł gazu przy zadanych p i T.

Gdyby cząsteczki były punktowe, nie zderzałyby się w ogóle, a
byłaby nieskończona. Gdyby cząsteczek niepunktowych było tak wiele, że wypełniałyby całą przestrzeń,
wynosiłaby 0; zatem
musi zależeć zarówno od rozmiarów cząsteczek, jak ich liczby w jednostce objętości.

Wartość średnia drogi, jaką cząsteczka pokonuje w jednostce czasu, jest liczbowo równa
, dlatego
=
⋅
.

=
/
=

3. Kinetyczna teoria gazów zakłada, że jedyny wkład do energii całkowitej cząsteczki pochodzi od E_K.

Zasada ekwipartycji energii: na każdy stopień swobody cząsteczki (stopień swobody to niezależny sposób absorpcji energii; inaczej, jest to liczba niezależnych ruchów, jakie może wykonywać cząsteczka jako układ mechaniczny) przypada średnio taka sama ilość energii kinetycznej równa kT/2. Jeśli cząsteczka ma i stopni swobody, jej średnia energia kinetyczna jest równa
= ikT/2

Zasada ekwipartycji energii oznacza równoprawność wszystkich stopni swobody cząsteczek- wszystkie wnoszą jednakowy wkład do średniej energii molekuły.

1. Cząsteczka gazu jednoatomowego ma 3 stopnie swobody (związane z jej ruchem postępowym wzdłuż trzech wyróżnionych w przestrzeni kierunków), czyli jej średnia energia wynosi

=
kT

2. Cząsteczka gazu dwuatomowego ma 5 stopni swobody (oprócz 3 stopni swobody ruchu postępowego ma jeszcze 2 stopnie swobody ruchu obrotowego, wokół dwóch osi. Moment bezwładności cząsteczki liczony przy obrocie wokół trzeciej osi jest znikomo mały i obrót taki nie daje znaczącego wkładu do energii całkowitej).

3. Cząsteczki składające się z trzech i więcej atomów mają 6 stopni swobody.

4. Energia wewnętrzna gazu wieloatomowego jest energią kinetyczną wszystkich rodzajów ruchu jego cząsteczek. Dla jednego mola takiego gazu jest ona równa:

U =
N_A = ½ikN_AT = ½iRT

Jest zatem funkcją tylko temperatury bezwzględnej, do której jest wprost proporcjonalna.

Wychodząc z równania na ciśnienie gazu i wykorzystując zależności dotyczące energii kinetycznej cząsteczki gazu

p =
/ თ ၵ

pၵ =

pၵ =
W_K

pၵ =

თ N

pၵ =
თ
kT თ N

pၵ =
თ N

pၵ = nRT

w wyniku prostych przekształceń dojść możemy do równania stanu gazu doskonałego.

---