30.01.2006 ECW Chemia, 3 semestr

Egzamin ze statystyki

Zestaw 1.

Zad 1 (14 pkt)

Teoria - Twierdzenia graniczne

Dana jest funkcja

a) dobrać stałą c, tak by funkcja ta była gęstością zmiennej losowej X

b) znaleźć dystrybuantę tej zmiennej losowej

c) obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję X

d) obliczyć
, gdzie X_i jest to ciąg zmiennych losowych (niezależnych, o jednakowym rozkładzie takim jak podany na początku zadania).

Zad 2. (15 pkt)

Teoria - Testowanie hipotez nieparametrycznych

Przeprowadzono n = 5 pomiarów pewnej wielkości o rozkładzie normalnym N(m;2).

X₁ = 8,02 ; X₂ == 8,01 ; X₃ == 7,99 ; X₄ = 8,03 ; X₅ = 8,00 .

a) znaleźć przedział ufności dla wartości średniej , przyjmując poziom ufności 1-α = 0,99

b) na poziomie istotności α = 0,05 zweryfikować hipotezę H₀(σ² = 0,6).

(Uwaga: na początku zadania założono, że odchylenie standardowe σ w populacji jest znane; z kolei w punkcie b należy przyjąć, że σ jest nieznane, bo w przeciwnym przypadku nie byłoby sensu testować hipotezy o wariancji.)

Zad 3. (7 pkt)

Przeprowadzono n = 6 pomiarów zmiennych X i Y:

X	2	4	6	9	14	25
Y	30	45	50	60	75	100

Na poziomie α = 0,10 sprawdzić hipotezę, że zmienne X, Y są nieskorelowane, tzn. H₀(ρ =0).

30.01.2006 ECW Chemia 3 sem. 30.01.2006

Egzamin ze statystyki

Zestaw 2.

Zad 1. (14 pkt)

Teoria - Charakterystyki zmiennych losowych i ich własności

Zmienna losowa X ma rozkład:

x	0	]	2	3	4
P	2/6	1/6	1/6	1/6	1/6

a) obliczyć jej wartość oczekiwaną i wariancję

b) obliczyć
,

gdzie X_i jest to ciąg zmiennych losowych (niezależnych, o jednakowym rozkładzie takim, jak podany na początku tego zadania). (Uwaga: w zasadzie przybliżenie związane z treścią centralnego twierdzenia granicznego można wykorzystywać, jeżeli n≥30; tutaj umawiamy się, że należy policzyć tak, jakby n było rzeczywiście ≥30.)

Podać sformułowanie twierdzenia, z którego się korzysta.

Zad 2.(15 pkt)

Teoria - Przedziały ufności dla wartości średniej i wariancji

Badając wytrzymałość elementu konstrukcyjnego, przeprowadzono n = 4 pomiary i otrzymano następujące wyniki:

X₁= 104 ; X₂= 105 ; X₃= 101 ; X₄ = 106.

a) Przyjmując współczynnik ufności 1-α = 0,96, zbudować przedział ufności dla wariancji i odchylenia standardowego wytrzymałości tego elementu - zakładając, że rozkład jest normalny.

b) Na poziomie istotności α = 0,05 ustalić liczebność próby przy dopuszczalnym błędzie d = 1,2.

Zad 3. (7 pkt)

Teoria - Regresja liniowa

Badając zależność między czasem podgrzewania substancji X a ilością końcową tej substancji Y dla próby n = 6 obserwacji uzyskano wyniki:

X	2	4	6	8	10	12
Y	8	13	14	17	18	20

Oszacować funkcję regresji pomiędzy X,Y.

30.01.2006 ECW Chemia 3 sem. 30.01.2006

Egzamin ze statystyki

Zestaw 3.

Zad l. (14pkt)

Teoria - Zmienne losowe skokowe i ciągłe

Zmienna losowa X określona jest za pomocą funkcji

a) Czy jest to funkcja gęstości?

b) Obliczyć wartość oczekiwaną E(X) i wariancję V(X).

c) Obliczyć
, gdzie X_i jest ciągiem zmiennych losowych (niezależnych, o jednakowym rozkładzie takim, jak podany na początku tego zadania.

Podać sformułowanie twierdzenia, z którego się korzysta.

Zad2. (15pkt)

Teoria - Testowanie hipotez parametrycznych

Przeprowadzono n = 6 pomiarów czasu trwania reakcji o rozkładzie normalnym N (m, σ). Otrzymano następujące wyniki :

X₁= 12,0 ; X₂= 11,2 ; X₃= 11,8 ; X₄= 14 ; X₅=11; X₆=12.

a) Przyjmując współczynnik ufności 1-α = 0,99, zbudować przedział ufności dla wartości średniej czasu reakcji m.

b) Na poziomie α = 0,05, zweryfikować hipotezę H₀(m = 11).

Zad 3. (7 pkt)

Teoria - Korelacja liniowa

Przeprowadzono n = 6 pomiarów zmiennych X i Y:

X	]	2	3	5	6	7
Y	15	10	18	16	17	20

Obliczyć współczynnik korelacji.

---