Przedziały liczbowe

W zbiorze liczb rzeczywistych można wyróżnić szczególne podzbiory, zwane przedziałami. Ich obrazem na osi liczbowej jest odcinek lub półprosta. Wyróżniamy następujące rodzaje przedziałów :

1. domknięty obustronnie lub jednostronnie

2. otwarty

3. nieograniczony.

Przedział domknięty <a;b> jest to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek a ≤ x ≤ b

tzn.

<a;b> = { x : x∈ R i a ≤ x ≤ b }.

Np. <2;5> = { x : x ∈ R i 2 ≤ x ≤ 5 }

•



•

• 5

Do takiego przedziału należą wszystkie liczby pomiędzy 2 i 5 oraz końce przedziału, czyli 2 i 5 (przynależność końców zaznaczamy na rysunku zamalowanym kółkiem).

Przedział domknięty lewostronnie <a;b) jest to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek a ≤ x < b

tzn.

<a;b) = { x : x∈ R i a ≤ x < b }.

Np. <-3;7) = { x : x ∈ R i -3 ≤ x < 7 }

•

-3 7

Do tego przedziału należą wszystkie liczby zaczynając od -3 do 7, ale bez 7.

Przedział domknięty prawostronnie (a;b> jest to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek a < x ≤ b

tzn.

(a;b> = { x : x∈ R i a < x ≤ b }.

Np. (-3;7> = { x : x ∈ R i -3 < x ≤ 7 }

W tego typu zbiorach „otwarte” końce przedziałów oznaczają, że ten kraniec nie należy do przedziału - na rysunku oznaczamy to „pustym” kółkiem.

•

-3 7

Przedział otwarty (a;b) jest to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek

a < x < b

tzn.

(a;b) = { x : x∈ R i a < x < b }.

Np. (-3;7) = { x : x ∈ R i -3 < x < 7 }

° °

-3 7

Przedział nieograniczony (a;∞) jest to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniających warunek a < x

(a;∞) = { x : x∈ R i a < x }.

Np. (-3;∞) = { x : x ∈ R i -3 < x }

-3

Mogą być jeszcze przedziały nieograniczone

<a;∞)

•

a

(-∞;a)

a

(-∞;a>

•

a

Ćwiczenie 1

Rozwiąż ćwiczenie A i B str. 80 oraz ćwiczenie C a) str. 81w podręczniku.

Przedziały liczbowe to zbiory liczbowe, więc można wyznaczyć ich sumę, iloczyn i różnicę.

Najłatwiej znaleźć te zbiory zaznaczając oba dane przedziały na jednej osi liczbowej ( każdy przedział zaznaczamy inaczej, tzn. jeden np. zamalowując na niebiesko, a drugi na zielono).

Sumą danych przedziałów jest zbiór, którego lewym końcem jest punkt najdalej wysunięty na osi w lewo, należący do jednego z przedziałów, a prawym końcem punkt najbardziej wysunięty w prawo . Częścią wspólną przedziałów jest ten zbiór, który na rysunku jest zamalowany jednocześnie dwoma kolorami. Różnicą przedziałów jest ta część rysunku, która należy do pierwszego z przedziałów, ale nie pokrywa się z żadną częścią drugiego przedziału.

Np.

Wyznacz sumę, iloczyn i różnicą przedziałów (1;4) i <0;3>

• •

0 1 3 4

(1;4) ∪ <0;3> = <0;4)

(1;4) ∩ <0;3> = (1;3>

(1;4) \ <0;3> = (3;4)

<0;3> \ (1;4) = <0;1>

Ćwiczenie 2

Rozwiąż zadania: 1, 3, 4 str. 82, 7,12 str. 83 w podręczniku.

Rozwiąż zadania: 3, 5 str. 78, 9 str. 79 w podręczniku.

Proszę również dokładnie zapoznać się z przykładami zawartymi w podręczniku.

---