PYTANIE 9 Kształtowanie pojęcia ułamka zwykłego

Wielkościami ułamkowymi (połowa, ćwierć, półtora) dzieci posługują się praktycznie już
w wieku przedszkolnym. Wiedzą jak wygląda, umieją pokazać. Brak im natomiast pojęcia ułamka jako liczby wyrażającej stosunek ilościowy między danymi wielkościami.

Ponieważ kształtowanie pojęcia ułamka jest procesem złożonym, jego nauczanie zostało rozłożone w czasie. Spiralny układ treści nauczania wprowadza te tematy propedeutycznie. Doprowadzanie uczniów do zrozumienia tego, że ułamek jest liczbą wymaga nie tylko wykonywania czynności konkretnych, ale także czynności wyobrażanych, a przede wszystkim umiejętności stopniowego abstrahowania i uogólniania. W kształtowaniu pojęcia ułamka możemy w tym procesie przewidzieć następujące etapy: (5)

1. Przedstawienie ułamka na konkretach, powstałego w wyniku podziału całości na równe części (rozsypywanie, ważenie, składanie, zakreskowywanie)

2. Ujmowanie czynności konkretnych w słowne określenia oraz zapis tych czynności
   i określeń za pomocą symboli (1/2, ¼)

3. Wprowadzenie formuły ukazującej stosunki ilościowe zachodzące między liczbami,
   np. 1= 1/2 + ½, 1- ½= ½

4. Zastosowanie ułamków w zadaniach tekstowych do działań na ułamkach

5. Wyrażanie za pomocą ułamków jednej lub kilku równych części kilku jednakowych wielkości

W programie klasy I w zasadzie nie mówi się o nauczaniu ułamków. Wspomina się tylko
w uwagach o realizacji, że na lekcjach dotyczących dzielenia w zakresie 20 można rozwiązywać proste zadania z użyciem słowa „połowa” (ale bez symbolu ½).

Dla uczniów klas niższych najważniejsze są dwie interpretacje ułamka: ułamek jako funkcja przekształcająca dowolną wielkość i ułamek jako miara. W pierwszym przypadku najpierw polecamy coś podzielić (pasek papieru, odcinek), a później wybieramy z tego jedną lub więcej części.
Drugą interpretacją jest ułamek jako miara.

Wprowadzając ułamki należy pamiętać, aby nie zaczynać kształtowania tego pojęcia
od podziału takich przedmiotów, które bywają różnej wielkości, a każda strona ma jeszcze inną objętość i jest niesymetryczna. Powstaje wtedy błędne skojarzenie i pojawia się termin „większa-mniejsza połowa”. Na lekcjach z zakresu ułamków należy posługiwać się różnorodnymi środkami poglądowymi po to, aby dziecko nie kojarzyło liczby ½ tylko z połową konkretnego przedmiotu: koła, kwadratu, czekolady itp.

Posługiwanie się prostym podziałem, mierzeniem, ważeniem i przelewaniem podczas wyznaczania połowy i czwartych części wyjaśnia dzieciom, że ułamek oznacza jedną lub kilka równych części. Należy, więc stosować najpierw koła, kwadraty, prostokąty, paski papieru, odcinki itd. A także dobrze dobrane przedmioty naturalne, np. pół kostki masła, pół kg cukru itd.
Uczniowie spostrzegają wtedy, że niezależnie od kształtu połowa-ćwierć powstała z podziału jakiejś wielkości na dwie (cztery) równe części. Do zapisu czy do użycia wzięliśmy jedną taką część
i zapisujemy to symbolem ½, ¼. Dokonując podziału całości na połowy lub czwarte części należałoby na pierwszych lekcjach również dobierać takie przykłady i do nich czynności, aby uczniowie
nie oddzielali części od całości. Połowa i ćwierć odcięta i oddzielona stanowi już nową całość.
Stąd nie powinniśmy na początku ciąć na połowy wstążek, sznurków, pasków papieru. W miejsce tych czynności należy zginać, składać, zaznaczać kreską, zakreskowywać.

Doniosłą rolę odgrywają czynności mierzenia i ważenia. Uczniowie składają miary, rysują odcinki na kartkach, mierzą je i pokazują, gdzie na linijce jest 1 cm, ½ cm, itp. Po złożeniu paska metrowego (miary) na pół odczytują, że ½ m to 50 cm, ¼ m to 25 cm.

Następuje w sposób naturalny zamiana jednostek długości na ułamki. Podobnie w czasie ważenia uczniowie zauważają, że dłuższe kreski na skali wagi oznaczają całkowite wartości - a krótsze połówki. Szczególnie cenne są także ćwiczenia polegające na zamianie jednostek ciężaru, np. ½ kg
to 50 dag, ¼ kg to 25 dag. Daje to naturalną okazję do przedstawiania ułamków na osi liczbowej. Ponieważ uczeń widzi, że ½ m to 50 cm i że 50 cm leży w środku pomiędzy 0 a 100. łatwiej przyswaja fakt, że ½ leży w środku pomiędzy 0 a 1. Przy przedstawianiu ułamków na osi liczbowej jest wprawdzie niebezpieczeństwo tego, iż nie wiadomo dokładnie, który ułamek jest sąsiadem danego, tak jak to wiadomo jest w liczbach całkowitych.

W klasie II uczniowie w sposób naturalny dodają i odejmują ułamki oraz jednocześnie porównują same ułamki, działania i wyniki. Czynności łączenia po połowie ujmują słowami
i zapisują działaniem ½ + ½ = 1. Wykonują również czynności odwrotne i zapisują wtedy 1-1/2= ½. Działania te mogą następnie porównywać.

Czynności dodawania i odejmowania utrwalamy i rozszerzamy w trakcie rozwiązywania zadań tekstowych, gdzie obok w sposób naturalny występują inne ułamki o mianownikach
2 i 4 oraz liczby mieszane, a ponadto odpowiednie dla nich terminy: półtora, dwa i pół itp. Porównywanie za każdym razem tych wielkości, działań i wyników na konkretach, na osi liczbowej
i za pomocą znaków nierówności w sposób pełny doprowadza do właściwego pojmowania ułamka jako liczby.

Dobór ważniejszych ćwiczeń:

Każde ćwiczenie na ułamkach jest potrzebne dla lepszego zrozumienia ich istoty. Stąd warto organizować je przy każdej okazji i w każdym momencie lekcji. Propozycją może być następujące zestawienie:

1. Podział różnych przedmiotów na równe części

2. Ważenie ½ i ¼ kg różnych produktów (kaszy, cukru, jabłek)

3. Mierzenie płynów: wody, soku, mleka w naczyniach 1 l, ½ l, ¼ l. Pokaz miarek 1 l, ½ l, ¼ l.

4. Praktyczne ćwiczenia w tworzeniu ułamków przez wlewanie, mierzenie, określanie części figur geometrycznych

5. Dzielenie arkusza papieru pakowego przez składanie

6. Dzielenie wstążki, sznurka na równe części poprzez składanie

7. Składanie paska papieru, koła i innych figur na dwie (cztery) części, przykładanie innych pasków

8. Dzielenie pasków papieru na równe części przez zginanie oraz mierzenie
   i odmierzanie części

9. Sprawdzanie czy pasek jest podzielony na pół, ćwierć

10. Dzielenie kilku całości na połowy i określanie ile jest w nich połówek

11. Uporządkowanie danych ułamków w kolejności malejącej przez zakreskowanie na modelu podanych ułamków

12. Szukanie kartoników z ułamkami o mianowniku 2, 4, 8 itp. i uporządkowanie ich malejąco i wzrastająco z przykładaniem na osi liczbowej

13. Porównywanie ułamków o tych samych licznikach na osi liczbowej i wstawianie znaków nierówności pomiędzy nimi

Nauczanie ułamków wymaga dużej liczby środków dydaktycznych. Środki, jakie powinny zostać wykorzystane przy nauczaniu ułamków to: klocki Dienesa, tablica magnetyczna i flanelowa, liczydło ułamkowe, tarcze zegarowe, banknoty z papieru, diagramy, drzewka, ilustracje do zadań. Innymi ważnymi są::

• Konkrety i liczmany (kartoniki, guziki, monety, żetony)

• Koła, kwadraty, prostokąty z kartonu i papieru

• Paski papieru

• Kartoniki z ułamkami

• Kolorowe układanki

• Liczby w kolorach

• Tarcze zegarowe z podziałem na różne części

• Miary metrowe

• Grafy strzałkowe

• Naczynia pół i ćwierć litrowe oraz litrowe

• Waga i odważniki

• Różne osie liczbowe

• Geoplany

• Domino ułamkowe

• Gry i zabawy, np. ułamki geometryczne, droga z mostami i znakami drogowymi
  w postaci ułamków

Przykładowe zadania:

1. Narysuj prostokąt o bokach 4 cm i 2 cm i podziel go na dwie równe części. Zakreskuj jedną część i napisz jaki to ułamek?

2. Narysuj dowolny kwadrat i podziel go na 4 części. Zakreskuj 3 części i napisz jaki to ułamek?

3. Otocz pętlą ½ trójkątów i ¼ kół

4. na osi liczbowej ułamki

5. Wstaw między liczbami odpowiednie znaki >, <, =

6. Uzupełnij zamiany jednostek

50 cm to….m 12 godz. to ….doby

¼ m to….cm 30 min to ….godz.

….kg to 50 dag ¼ godz. to….min

¼ kg to….dag

---