Ćwiczenie nr 12

BADANIE RUCHU HARMONICZNEGO TŁUMIONEGO

1. Cel ćwiczenia

Wyznaczenie współczynnika tłumienia i logarytmicznego dekrementu tłumienia kamertonu.

2. Wprowadzenie

W ruchu harmonicznym prostym amplituda drgań pozostaje stała. W układach rzeczywistych, jeżeli nie będziemy dostarczać z zewnątrz energii, drgania po pewnym czasie ustaną. Jeżeli uwzględnimy siły oporu F_o skierowane przeciwnie do ruchu i proporcjonalne do prędkości v: F_o= -bv to równanie ruchu dla oscylatora harmonicznego tłumionego przyjmie następującą postać:

	(12.1)
		(12.2)
		(12.3)

gdzie:

m - masa oscylatora,

v i a - prędkość i przyspieszenie,

b - współczynnik oporu,

k - współczynnik sprężystości,

β - współczynnik tłumienia, 2β = b/m,

ω_o - częstość (częstotliwość kątowa) drgań własnych.

Rozwiązanie ostatniego równania można przedstawić w postaci:

	(12.4)
		(12.5)
		(12.6)

gdzie:

A_o - amplituda początkowa w chwili t_o = 0,

A(t) - malejąca w czasie amplituda ruchu tłumionego.

Częstość drgań tłumionych ω jest mniejsza od częstości drgań własnych (swobodnych) oscylatora harmonicznego i spełnia warunek:

(12.7)

Miarą efektywności tłumienia jest stała tłumienia β i logarytmiczny dekrement tłumienia λ. Logarytmiczny dekrement tłumienia λ definiujemy jako logarytm naturalny ilorazu dwóch kolejnych amplitud po czasie T równym okresowi drgań oscylatora:

	(12.8)
		(12.9)

gdzie f - oznacza częstotliwość drgań tłumionych f = 1/T.

Wprowadzono także pojęcia dobroci układu Q i czasu relaksacji τ:

(12.10)

3. Opis stanowiska laboratoryjnego

Układ pomiarowy składa się z kamertonu o częstotliwości drgań f, pręta do wzbudzania kamertonu, przetwornika piezoelektrycznego, statywu do umocowania przetwornika, oscyloskopu i stopera.

Rys 12.1 Układ do pomiaru stałej tłumienia kamertonu

4. Program ćwiczenia

A

1. Włączyć oscyloskop, dobrać parametry przy oscyloskopu tak, aby plamka przebiegała przez środek ekranu i była odpowiednio widoczna.

2. Dobrać podstawę czasu tak, aby bez trudu można zmierzyć czas pomiędzy kolejnymi przejściami plamki przez środek ekranu.

3. Zmierzyć czas 10 kolejnych przebiegów plamki przez środek ekranu t₁₀. Obliczyć czas jednego przejścia t₀ , t₀ = t₁₀/10, oszacować niepewności pomiarowe Δt₁₀ i Δt₀.Należy pamiętać, że wyznaczony czas t₀ nie jest okresem drgań kamertonu

(1/t₀<f )

4. Pobudzić kamerton do drgań i dobrać wzmocnienie sygnału na ekranie oscyloskopu tak, aby amplituda sygnału była porównywalna z wysokością ekranu.

5. Pobudzić kamerton do drgań i zmierzyć wysokość plamki podczas kolejnych n przejść przez środek ekranu (n >8).Wysokość sygnału jest proporcjonalna do amplitudy drgań kamertonu. Zaleca się zaznaczać kolejne wysokości plamki na papierze milimetrowym przyłożonym do ekranu oscyloskopu. Oszacować niepewności pomiarowe wyznaczenia amplitudy sygnału ΔA. Zapisać wyniki pomiarów w tabeli 12.1.

6. Czynności z punktu 5 powtórzyć przynajmniej 3 razy. Do dalszych obliczeń wziąć średnie arytmetyczne mierzonych wielkości.

Tabela 12.1.

Lp.	A [mm]	Δ A [mm]	t[s]	Δt [s]
1	A1 A2 A3 …..		t0 2t0 3t0 ….

B

Uwaga: można zmodyfikować przebieg pomiarów.

1. Włączyć oscyloskop, dobrać parametry pracy oscyloskopu tak , aby plamka przebiegała przez środek ekranu i była odpowiednio widoczna. Podczas przejścia plamki przez środek ekranu wyłączyć generator podstawy czasu (sygnał powinien pozostać na środku ekranu).

2. Pobudzić kamerton do drgań i dobrać wzmocnienie sygnału na ekranie oscyloskopu tak ,aby amplituda sygnału była równe całkowitej wysokości ekranu .Wykorzystując skalę na ekranie oscyloskopu lub przykładając papier milimetrowy do ekranu podzielić wysokość ekranu na 8 równych części.

3. Pobudzić kamerton do drgań i włączyć stoper w momencie, gdy wysokość plamki pokryje się z maksymalną wysokością ekranu. Mierzyć kolejno przedziały czasu kiedy wysokość sygnału zmniejsza się o 1/8 wysokości, następnie 2/8 i tak kolejno do zaniknięcia sygnału. Wysokości sygnałów są proporcjonalne ( a nie równe ) do aktualnej amplitudy drgań kamertonu .

4. Czynności z punktu 2. powtórzyć przynajmniej 3 razy. Do dalszych obliczeń wziąć średnie arytmetyczne.

5. Przyjąć, że przy pełnym wychyleniu plamki stosunek A/A₀ = 1 (moment włączenia stopera) i kolejno po spadku wysokości sygnału o 1/8 A/A₀=1-1/8 = 7/8 i kolejno:

Tabela 12.2.

lp.	A/A0	t1 [s]	t2 [s]	t3 [s]	tśr [s]	Δt [s]
	A1/A0 A2 /A0 A3 / A0 ….. An / A0

5. Sprawozdanie

A

1. Korzystając z programu „regresja liniowa” lub z arkusza kalkulacyjnego Excel sprawdzić liniowość wykresu lnA = f(t) oraz zapisać wyliczone przez program współczynniki regresji a, b, Sa, Sb, r.

2. Odczytać częstotliwość drgań kamertonu i na podstawie otrzymanej w punkcie 7 wartości współczynnika tłumienia β obliczyć wartość logarytmicznego dekrementu tłumienia λ i czasu relaksacji τ.

3. W celu wykonania wykresu lnA=f(t) na papierze milimetrowym należy nanieść punkty pomiarowe, zaznaczyć prostokąty niepewności pomiarowych ΔlnA i Δt i poprzez maksymalną ilość prostokątów poprowadzić prostą.

4. Z wykresu wyznaczyć współczynnik kierunkowy prostej i podać jego sens fizyczny. Obliczyć wartość logarytmicznego dekrementu tłumienia λ i czasu relaksacji τ i porównać je z wartościami otrzymanymi w punkcie 2.
   Uwaga: niepewności ΔlnA obliczyć ze wzoru : ΔlnA = ΔA/A dla kolejnych amplitud.

5. Przeprowadzić dyskusję otrzymanych wyników.

B

1. Korzystając z programu „regresja liniowa „ lub z arkusza kalkulacyjnego Excel sprawdzić liniowość wykresu lnA/A₀ = f(t) oraz zapisać wyliczone przez program współczynniki regresji a, b, Sa, Sb, r.

2. Odczytać częstotliwość drgań kamertonu i na podstawie otrzymanej w punkcie 1. wartości współczynnika tłumienia β obliczyć wartość logarytmicznego dekrementu tłumienia λ i czasu relaksacji τ.

3. W celu wykonania wykresu ln(A/A₀)= f(t) na papierze milimetrowym należy nanieść punkty pomiarowe, zaznaczyć prostokąty niepewności pomiarowych Δln(A/A₀) i Δt i poprzez maksymalną ilość prostokątów poprowadzić prostą.

4. Z wykresu wyznaczyć współczynnik kierunkowy prostej i podać jego sens fizyczny. Obliczyć wartość logarytmicznego dekrementu tłumienia λ i czasu relaksacji τ i porównać je z wartościami otrzymanymi w punkcie 2.
   Uwaga: niepewności ΔlnA/A₀ obliczyć ze wzoru

(12.11)

5. Przeprowadzić dyskusję otrzymanych wyników.

6. Pytania kontrolne

1. Drgania harmoniczne proste i tłumione.

2. Wykresy wychylenia, prędkości i przyspieszenia w ruchu harmonicznym prostym i tłumionym.

3. Częstości w ruchu harmonicznym.

4. Energia w ruchu harmonicznym.

5. Podaj przykłady układów spełniających warunek ruchu harmonicznego prostego i tłumionego.

Zjawisko rezonansu.

75

---