Projekt wstępny z PBD

1. Wstęp

Celem Projektu jest analiza statystyczna długości i grubości dwóch rodzaji zębów: P3 i P4 oraz przeprowadzenie testów stwierdzających ich przynależność do tego samego bądź dwóch gatunków (Dicerorhinus hemitoechus, Dicerorhinus kirchbergensis).

Tabela 1: Dane.

	Dicerorhinus hemitoechus				Dicerorhinus kirchbergensis
	P3		P4		P3		P4
Nr	grubość	długość	grubość	długość	grubość	długość	grubość	długość
1	47	37	53	41	37,5	59	43,5	65
2	48,5	36	55,5	40,5	39,5	59	49,5	56,5
3	50,5	36	57	40	40,5	59	48	66,5
4	44,2	37	58,5	40,5	42,5	59	55	74,5
5	50	38	60,5	42	48	61	54	74,5
6	50	39			40,5	61	51,5	70,5
7					41,5	62	51	70,5
8					43,5	63,5	52,5	70,5
9					45,5	63,5	50,5	68
10							50,5	67,5
11							50,5	66,5
12							50,5	66
13							52,5	67
14							51	68
15							53	68
16							52,5	67,5

Wszystkie wartości w milimetrach.

1. Wartości średnie wraz z przedziałem ufności.

W celu wyznaczenia przedziału ufności dla wartości średniej korzystam ze wzoru:

P {x_śr - t_α*S/(n-1)^1/2 < x_śr < x_śr + t_α*S/(n-1)^1/2} = 1-α, 1.1,

gdzie: P - przedział ufności dla zadanego α,

x_śr- wartość średnia z populacji,

t_α - wartość odczytywana z tablic T-studenta dla

α=0,05 i n-1 stopni swobody,

n - liczebność populacji,

α - poziom ufności (prawdopodobieństwo

popełnienia błędu I rodzaju) testu (przedział

ufności=95%),

S - odchylenie standardowe (estymator obciążony)

liczone wzorem:

S = ( Σ(x_śr-x_i)²/n)^1/2, 1.2,

Tabela 2: przeliczenia do wzoru 1.2.

	Dicerorhinus hemitoechus				Dicerorhinus kirchbergensis
	P3		P4		P3		P4
Nr.	grubość	długość	grubość	długość	grubość	długość	grubość	długość
	(xśr-xi)^2	(xśr-xi)^2	(xśr-xi)^2	(xśr-xi)^2	(xśr-xi)^2	(xśr-xi)^2	(xśr-xi)^2	(xśr-xi)^2
1	1,88	0,03	15,21	0,04	21,25	3,17	56,25	8,64
2	0,02	1,37	1,96	0,09	6,81	3,17	2,25	130,87
3	4,54	1,37	0,01	0,64	2,59	3,17	9	2,07
4	17,39	0,03	2,56	0,09	0,15	3,17	16	43,03
5	2,66	0,69	12,96	1,44	34,69	0,05	9	43,03
6	2,66	3,35			2,59	0,05	0,25	6,55
7					0,37	1,49	0	6,55
8					1,93	7,4	2,25	6,55
9					11,49	7,4	0,25	0
10							0,25	0,19
11							0,25	2,07
12							0,25	3,76
13							2,25	0,88
14							0	0
15							4	0
16							2,25	0,19
suma	29,15	6,84	32,7	2,3	81,87	29,07	104,5	254,38

x_śr- wartość średnia z populacji = Σx_i/n 1.3,

Tabela 3: wyniki obliczeń.

	Dicerorhinus hemitoechus				Dicerorhinus kirchbergensis
	P3		P4		P3		P4
	grubość	długość	grubość	długość	grubość	długość	grubość	długość
n	6	6	5	5	9	9	16	16
Σ	290,2	223	284,5	204	379	547	816	1087
xśr	48,37	37,17	56,9	40,8	42,11	60,78	51	67,94
S	2,2	1,07	2,56	0,68	3,02	1,8	2,56	3,99
tα	2,571	2,571	2,776	2,776	2,306	2,306	2,131	2,131
D	45,84	35,94	53,35	39,86	39,65	59,31	49,59	65,74
G	50,9	38,4	60,45	41,74	44,57	62,25	52,41	70,14

n - liczebność danej populacji,

Σ - suma wartości danej populacji,

x_śr-średnia wartość dla danej populacji liczona wzorem 1.3,

t_α - wartość odczytywana z tablic T-studenta dla α=0,05 i n-1

stopni swobody,

D - dolna wartość przedziału liczona wzorem 1.1,

G - górna wartość przedziału liczona wzorem 1.1.

Tabela 4:Przedziały ufności dla wartości średniej.

Dicerorhinus hemitoechus	P3	45,84	<	xśr	<	50,9
				35,94	<	xśr	<	38,4
			P4	53,35	<	xśr	<	60,45
				39,86	<	xśr	<	41,74
		Dicerorhinus kirchbergensis	P3	39,65	<	xśr	<	44,57
				59,31	<	xśr	<	62,25
			P4	49,59	<	xśr	<	52,41
				65,74	<	xśr	<	70,14

2. Testy na równość długości i grubości obu grup

zwierząt.

Do weryfikacji przyjmowanych hipotez (H₀ I H₁) posłużę się funkcją testową w postaci:

( X_śr1 - X_śr2 )

t = 2.1,

n₁ * S₁² + n₂ * S₂²

* ( 1/n₁ + 1/n₂ )

n₁ + n₂ -2

X_śr1 - wartość średnia pierwszej populacji,

X_śr2 - wartość średnia drugiej populacji,

n₁ - liczebność pierwszej populacji,

n₂ - liczebność drugiej populacji,

S₁ - odchylenie standardowe liczone wzorem 1.2.

Tabela 5: wyniki t liczone wzorem 2.1

Porównywane zęby	porównywane miary	t
P3-P3	grubość	4,063
P3-P3	długość	16,163
P4-P4	grubość	1,429
P4-P4	długość	3,916

Hipoteza zerowa zakłada równość wartośći średnich długości i grubości obu grup zwierząt przy wsp. istotności = 0,99, alternatywa ich nierówność. Wartości t_α odczytane z tablic T-Studenta wynoszą odpowiednio:

tα

4,032

4,604

3,355

2,947

więc:

Porównywane zęby	porównywane miary	t		tα
P3-P3	grubość	4,063	>	4,032	odrzucam Ho
P3-P3	długość	16,163	>	4,604	odrzucam Ho
P4-P4	grubość	1,429	<	3,355	przyjmuję Ho
P4-P4	długość	3,916	>	2,947	odrzucam Ho

4.Wnioski

Zarówno wyniki testów jak iwykres potwierdzają tezę że skamieniałe szczątki zębów należą do dwóch różnych grup zwierząt: Dicerorhinus hemitoechus i Dicerorhinus kirchbergensis.

Przy zadanym poziomie ufnośći (=0,99) jedynie wartośći średnie grubości zębów P4 można uznać za równe. Inne mierzone wartości nie są sobie równe (szczególnie długości zębów P3 wykazują znaczne różnice dla oby grup zwierząt). Równierz przedziały ufności dla średnich zaznaczone na wykresie dla tych samych zębów nie pokrywają się (nawet nie nachodzą na siebie)

---