Wydział Mechaniczny Technologiczny

Politechnika Śląska

Sprawozdanie z tematu:

Doświadczalne sprawdzenie twierdzeń Bettiego i Maxwella

Kierunek: MiBM

Semestr: IV

Grupa 6

Rok akademicki: 2011/2012

Sekcja 1

1. Wstęp teoretyczny:

Układy liniowo-sprężyste (układy Clapeyrona) stanowią idealizację układów rzeczywistych, jednak w wielu praktycznych przypadkach takie przybliżenie daje wystarczająco dokładne rezultaty. Większość materiałów konstrukcyjnych (stal i większość metali, niektóre tworzywa) w zakresie obciążeń eksploatacyjnych zachowuje się jak ciało liniowo-sprężyste i może być modelowana układem Clapeyrona. Liniowa zależność przemieszczeń od obciążeń pozwala sformułować i udowodnić wiele twierdzeń i zasad, które wykorzystuje się do rozwiązywania licznych zagadnień teorii sprężystości.

Zasada wzajemności prac Bettiego i zasada wzajemności przemieszczeń Maxwella należą

do podstawowych twierdzeń teorii sprężystości. Z zasady wzajemności prac korzysta się przy

wyprowadzeniach wielu skomplikowanych twierdzeń nie tylko w teorii sprężystości.

Układ nazywamy układem liniowo- sprężystym (Układem Clapeyrona), jeżeli przemieszczenie ∆ dowolnego punktu układu wywołane zrównoważonym działaniem sił zewnętrznych P1, P2,…Pn można wyrazić jako liniową funkcję tych sił :

∆= δ1P1+δ2P2+…+δnPn

Gdzie δ1, δ2,…,δn- liczby wpływowe przemieszczeń sprężystych.

Liczby wpływowe określają wpływ, jaki wywiera odpowiednia siła na przemieszczenie sprężyste ∆. Wartości ich są zależne od kształtu i rozmiarów układu, od miejsca działania sił, od własności sprężystych materiału, a nie zależą od wartości sił.

Mówiąc o sile, wprowadzimy tutaj termin „siła uogólniona”- jest to, oprócz siły skupionej, także siła rozłożona powierzchniowo, liniowo w sposób ciągły lub para sił określona jako moment. Jest to więc siła lub grupa sił określająca wyczerpująco obciążenie ciała pozostającego w równowadze.

Układ rzeczywisty można uważać za liniowo- sprężysty, jeżeli spełnione są następujące warunku:

A - materiał jest liniowo- sprężysty,

B - układ jest w równowadze,

C - brak tarcia (lub pomijalnie małe) na powierzchniach styku wzajemnie ruchomych części układu,

D - przemieszczenia są na tyle małe, że nie wpływają w sposób istotny na skutki działania sił.

2. Rysunek i opis stanowiska pomiarowego:

3. Część obliczeniowa:

3.1.

• Tabela dla doświadczalnej weryfikacji twierdzenia Maxwella

Pomiar	1	2
Siła [N] P1=P2	7,5 N	12,5 N
U21	0,95 mm	1,72 mm
U12	1 mm	1,82 mm

• Tabela dla doświadczalnej weryfikacji twierdzenia Bettiego

Siły [N]	P1	12,5	P2	7,5 N	P3	15 N	P4	10 N
Przemieszczenia [mm]	U3i	0,95	U4i	2,46	U1k	1,99	U2k	2,45

• Tabela macierzy sztywności

Siła [N] P1=P2=P3	10 N
Przemieszczenia [mm]	U11	1,6 mm	U12	1,37 mm	U13	0,36 mm
		U21	1,37 mm	U22	1,79 mm	U23	0,59 mm
		U31	0,39 mm	U32	0,6 mm	U33	0,33 mm

1. Doświadczalna weryfikacja twierdzenia Bettiego:

2. Wyznaczenie macierzy podatności „δ” i sztywności „δ^-1”:

Jednostką macierzy podatności i sztywności jest [mm/N]

4. Wnioski z ćwiczenia

Otrzymana macierz jest macierzą symetryczną (różnica pomiarów nie jest znacząca) zatem wynik doświadczenia potwierdza słuszność twierdzenia Maxwella. Rozbieżność wyników w weryfikacji twierdzenia Bettiego (około 5 %) spowodowana została niedokładnymi pomiarami, które głównie wynikają z błędnej kompensacji ugięcia podpory (czujnik po regulacji oscylował wokół zera, jednak do dokładnego potwierdzenia słuszności obu twierdzeń wymagana jest wartość równa zeru). Błędy pomiarowe mogą być także spowodowane niedokładnymi odczytami z czujnika pomiarowego, które bezpośrednio wynikają z niedokładności ludzkiego oka.

Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki

Gliwice, dn. 05.05.2012 r.

---