Sprawozdanie

Ćw. Nr 10

Temat: Sprawdzanie prawa Hooke'a i wyznaczanie modułu Younga

1. Wstęp teoretyczny:

Ciałem sprężystym nazywamy ciało, którego odkształcenia wywołane w wyniku przyłożonych sił, znikają całkowicie, po ich odjęciu. Na przykładzie metalowego pręta, który obciążono odważnikami. Każda cząsteczka znajduje się w równowadze, dodając obciążenie, zakłóca się ich położenie. Dodane sztucznie siły spowodują dążenie obiektu do zachowania równowagi sił, tak więc pręt zacznie się wydłużać. Ćwiczenie polega na zbadaniu prawa Hooke'a, które brzmi: „Jeżeli występujące w ciele naprężenia są dostatecznie małe, to wywołane przez nie odkształcenia względne są do nich wprost proporcjonalne.”

2. Pomiary drutu bez obciążenia odważnikami:

	l (dł. drutu)	d1(średn.)	d2(średn.)	d3(średn.)	d4(średn.)	d5(średn.)
bez obciążenia	60 cm	1,35 mm	1,37 mm	1,28 mm	1,37 mm	1,37 mm

Wyliczając średnią pomiarów średnicy pręta:

(1,35+1,37+1,28+1,37+1,37)/5=1,348 ~ 1,35 [mm]

Błąd pomiarów: Δl = 1cm

Δd = 0,01 mm

3. Pomiary bez obciążenia granicy dolnej i górnej wskaźnika a_g i a_d mikroskopem:

	pomiar 1	pomiar 2	pomiar 3	pomiar 4	pomiar 5
ag	5,4 mm	5,5 mm	5,6 mm	5,5 mm	5,6 mm
ad	7,6 mm	7,7 mm	7,9 mm	7,8 mm	7,7 mm

Wyliczając średnią pomiarów średnicy wskaźnika :

a_g = (5,4+5,5+5,6+5,5+5,6)/5= 5,52 ~5,5 [mm]

a_d =(7,6+7,7+7,9+7,8+7,7)/5= 7,74 ~7,7 [mm]

Δa_g/Δa_d = 0,1 mm

Grubość wskaźnika wg wskazań mikroskopu wynosi: d'=7,7-5,5 = 2,2[mm]

4. Pomiary grubości wskaźnika a za pomocą śruby:

	pomiar 1	pomiar 2	pomiar 3
grubość	0,09 mm	0,1 mm	0,12 mm

Wyliczając średnią grubość wskaźnika otrzymujemy: d= (0,09+0,1+0,12)/3=0,10(3) ~0,10

Δd= 0,01 mm

5. Obliczenie powiększenia mikroskopu

Wg wzoru
, dla oznaczenia przyjętego w sprawozdaniu
możemy obliczyć powiększenie mikroskopu, tak więc:

6. Pomiary ciężaru obciążników (ponumerowanych):

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
ciężar	563,4g	559,5g	748,9g	748,9g	749,5g	974,6g	825,9g	848,5g	852,0g

Δm = 0,1 g

7. Oczekiwany rezultat badania:

Według założenia pierwotnego, drut powinien się wydłużać sukcesywnie do nakładanych na szalkę odważników. Rozciągnięcie drutu w stosunku do ciężaru odważników powinno być liniowe. Według tych pomiarów, będzie możliwe wyznaczenie modułu Younga.

8. Pomiary przy nakładaniu odważników:

numer dodawanego odważnika	łączny ciężar odważników	położenie wskaźnika ag	różnica położenia pocz. od końcowego
+9	852,0 g	5,1	0,4
+8	1700,5 g	4,9	0,6
+7	2526,4 g	4,6	0,9
+6	3501,0 g	4,3	1,2
+5	4250,5 g	4,2	1,3
+4	4999,4 g	4,0	1,5
+3	5748,3 g	3,9	1,6
+2	6307,8 g	3,8	1,7
+1	6871,2 g	3,4	2,1

Przykładowe obliczenie różnicy (użyto średniej wartości) : 5,5-5,1 = 0,4

9. Obliczenia wydłużenia drutu Δl

powiększ. mikroskopu (w)	różnica położeń wskaźnika ag (a')	obliczone wydłużenie drutu (Δl)	łączna długość drutu (l+Δl)
0,045	0,4	0,018 mm	600,018 mm
0,045	0,6	0,027 mm	600, 027 mm
0,045	0,9	0,0405 mm	600, 0405 mm
0,045	1,2	0,054 mm	600, 054 mm
0,045	1,3	0,0585 mm	600, 0585 mm
0,045	1,5	0,0675 mm	600, 0675 mm
0,045	1,6	0,072 mm	600, 072 mm
0,045	1,7	0,0765 mm	600, 0765 mm
0,045	2,1	0,0945 mm	600, 0945 mm

Przykładowe obliczenia:

wg wzoru: Δl=w(b-a) =

w*a' = 0,045*0,4 = 0,018 [mm]

10. Wykres przyłożonego obciążenia do wydłużenia drutu:

10. Wnioski do wykresu:

Z wykresu można odczytać, że tak, jak przewidywano, wykres jest funkcją liniową, ale tylko do pewnego momentu. Przy przekroczeniu granicy 6000 g wykres traci liniowość, a jego współczynnik kierunkowy maleje. Tak więc, można przyjąć, że dla drutu z tego rodzaju metalu prawo Hooke'a obowiązuje do mniej więcej 6 kg obciążenia. Dla pewności przeprowadzono jeszcze jedno doświadczenie, przy zdejmowaniu obciążników.

11. Pomiary przy zdejmowaniu odważników

numer odejmowanego odważnika	łączna ciężar odważników	położenie wskaźnika ag	różnica położenia pocz. od końcowego
-1	6307,8 g	3,2	2,3
-2	5748,3 g	3,3	2,2
-3	4999,4 g	3,6	1,9
-4	4250,5 g	3,9	1,6
-5	3501,0 g	4,0	1,5
-6	2526, 4 g	4,2	1,3
-7	1700,5 g	4,5	1,0
-8	852,0 g	4,9	0,6
-9	0 g	5,1	0,4

Przykładowe obliczenia różnicy (użyto wartości średniej): 5,5-3,2=2,3

12. Obliczenia wydłużenia drutu Δl

powiększ. mikroskopu (w)	różnica położeń wskaźnika ag (a')	obliczone wydłużenie drutu (Δl)	łączna długość drutu (l+Δl)
0,045	2,3	0,1035 mm	600,1035 mm
0,045	2,2	0,099 mm	600,099 mm
0,045	1,9	0,0855 mm	600,0855 mm
0,045	1,6	0,072 mm	600,072 mm
0,045	1,5	0,0675 mm	600,0675 mm
0,045	1,3	0,0585 mm	600,0585 mm
0,045	1,0	0,045 mm	600,045 mm
0,045	0,6	0,027 mm	600,027 mm
0,045	0,4	0,018 mm	600,018 mm

Przykładowe obliczenia:

wg wzoru: Δl=w(b-a) =

w*a' = 0,045*2,3 = 0,1035 [mm]

13. Wykres wydłużenia drutu od przyłożonego obciążenia:

14. Wnioski do wykresu:

Podobnie jak na wykresie pierwszym, powyżej 6000 g, powoli zanika liniowość tej zależności. Nie jest to tak widoczne, z powodu tylko jednej próbki powyżej 6 kg, ale możemy przyjąć, że sytuacja wyglądałaby podobnie.

15. Obliczanie modułu Younga:

Wzór na moduł Younga wyraża się wzorem:

Moduł Younga dla ostatniego punktu wchodzącego w zależność Hooke'a:

m*g =5,7483kg ;

l =600 mm ;

d = 1,35 mm ;

Δl = 0,072 mm

33482,74 Pa / 106 = 315,87 MPa

16. Wnioski:

Zależność Hooke'a została pokazana na wykresach, do momentu, kiedy obciążenie przekroczyło 6 kg. Można przyjąć, że mimo błędów pomiarowych, jest to właśnie ta wartość. Udowodniono, że wydłużenie drutu jest wprost proporcjonalne do jego obciążenia, o ile obciążenia te są stosunkowo małe.

Elżbieta Tchorowska 171067

---