BŁĘDY W POMIARACH BEZPOŚREDNICH I POŚREDNICH

POMIAR BEZPOŚREDNI - wynik pomiaru odczytany wprost z przyrządu, systemu.

ANALIZA - usunięcie z wyniku surowego błędów systematycznych, oszacowanie błędów przypadkowych, usunięciu błędów nadmiernych, określenie błędu narzędzia pomiarowego

X_s - wynik surowy

ΔX_s=ΔX_p+ΔX_syst+ΔX_przyp

ΔX_s- błąd wyniku surowego

ΔX_p- błąd pochodzący z ograniczonej dokładności przyrządu

ΔX_syst - błąd systematyczny

ΔX_przyp -graniczny błąd przypadkowy (niepewność przypadkowa)

Jeśli błąd ΔX_syst nie jest pomijalnie mały to WYNIK POMIARU należy POPRAWIĆ.(Co to znaczy pomijalnie mały?- Błąd można uznać za pomijalnie mały jeśli mniejszy o rząd od sumy pozostałych błędów)

X=( X_s - ΔX_syst ) ± (ΔX_p +ΔX_przyp)=X_s + p± (ΔX_p +ΔX_przyp)

p-poprawka p=- ΔX_syst

Pozostałe składowe błędu ΔX_p i ΔX_przyp decydować będą o błędzie granicznym wyniku (o niepewności wyniku)

ΔX_p- błąd graniczny przyrządu (niepewność pochodząca od przyrządu)

ΔX_przyp - graniczny błąd przypadkowy (niepewność przypadkowa) określony najczęściej z prawdopodobieństwem 0,997 (na poziomie ufności 0,003; poziom ufności 1- p; 1-0,997=0,003)

Ponieważ nie zawsze można dokładnie określić błąd systematyczny sumaryczny błąd graniczny można zapisać następująco:

ΔX=±(|ΔX_p|+|ΔX_przyp |+|ΔX_{reszta system}|)

gdzie |ΔX_{reszta system}| „nieusuwalna” część błędu systematycznego

Można się spodziewać, że |ΔX_{reszta system}| <<ΔX_syst

Jeśli wartość błędu granicznego przyrządu ΔX_p jest o rząd

większa od sumy pozostałych błędów

|ΔX_p||≥ 10*(|ΔX_przyp |+|ΔX_{reszta system}| )

można zaniedbać (|ΔX_przyp |+|ΔX_{reszta system}| )

wtedy X_rzecz ∈ < X-ΔX_p, X+ΔX_p >

POMIAR POŚREDNI, ZŁÓŻONY

Pomiar pośredni - pomiar , w którym wielkość mierzona określana z zależności funkcyjnej wiążącej wielkość mierzoną pośrednio z wielkościami mierzonymi bezpośrednio.

Pomiar złożony - w czasie pomiaru konieczna zmiana warunków pomiaru

MUSI BYĆ ZNANA FUNKCJA WIĄŻĄCA WIELKOŚĆ MIERZONĄ „y” Z WIELKOŚCIAMI MIERZONYMI BEZPOŚREDNIO x₁..... x_i

y=f(x₁..... x_i)

Co rozumiemy przez obliczenie funkcji y jeśli argumentami wyniki pomiarów x_i±Δ x_i ?

Należy znaleźć y±Δ y

Szukamy przedziału y_Rz ∈ < y - Δ y , y + Δ y >

zawierającego wartość rzeczywistą y_Rz ,gdy argumenty funkcji przyjmują wartości z przedziału

x_i ∈ <x_iz - Δ x_i , x_iz + Δ x_i >

Wynik pomiaru x_i - środek przedziału, w którym mieści się z dużym prawdopodobieństwem wartość rzeczywista, a niepewność wyniku (błąd graniczny) to połowa tego przedziału.

Według tej samej definicji powinniśmy określić wynik pomiaru pośredniego (złożonego)

a błąd pomiaru - połowa przedziału

Jak niepewności (błędy graniczne) ΔX_i przenoszą się na niepewność Δy wyniku pośredniego pomiaru y

Rozpatrzmy wynik pomiaru będący sumą wartości

y= x₁+x₂

x_1, x₂- wyniki pomiarów bezpośrednich obarczone błędem granicznym ±Δ x_{1 ,}±Δ x₂

Największa prawdopodobna wartość wynosi

y_max= x₁+x₂ +(Δ x₁ +Δ x₂)

a najmniejsza

y_min = x₁+x₂ -(Δ x₁ +Δ x₂)

Czyli najlepszym przybliżeniem y jest suma wyników pomiarów bezpośrednich

y= x₁+x₂

niepewności suma niepewności wyników pomiarów bezpośrednich

Δy=(Δ x₁ +Δ x₂)

Podobne rozumowanie (proszę go przeprowadzić) wskazuje, że niepewność różnicy dana jest tym samym wzorem.

OGÓLNIE OKREŚLENIE NIEPEWNOŚCI SUMY I RÓŻNICY

Jeśli kilka wielkości x₁ ….x_i x_i+1 …. x_n zmierzone zostło

z bezwzględnymi błędami granicznymi (niepewnościami) Δx₁....Δ x_i, Δ x_i+1… Δx_n

a zmierzone wartości używane są do obliczenia

y= x₁+…+x_i +x_i+1+…+x_n

to niepewność obliczonej wartości y jest sumą

Δy =Δx₁+..+Δ x_i +Δ x_i+1+…+ Δx_n

niepewności wszystkich pierwotnych niepewności

1. Określ przedział wartości, w którym znajduje się rzeczywista wartość rezystancji wypa1dkowej R_x = 5342Ω trzymanej w wyniku połączenia szeregowego oporników: 1kΩ ± 0,05%; 100Ω ± 0,05$; 10Ω ± 0,05%; 1Ω ±0,1%

Rozpatrzmy wynik pomiaru będący iloczynem wartości

y=x₁* x₂

największa prawdopodobna wartość

y_max= (x₁+Δx₁) * (x₂+Δx₂) =x₁*x₂+ x₁*Δx₂+ x₂*Δx₁+Δx₁*Δx₂

a najmniejsza

y_min =( x₁-Δx₁) * (x₂-Δx₂) =x₁*x₂- x₁*Δx₂- x₂*Δx₁+Δx₁*Δx₂

Czyli najlepszym przybliżeniem y jest iloczyn wyników pomiarów bezpośrednich

y= x₁*x₂+ +Δx₁*Δx₂

jeśli Δx₁i Δx₂ dostatecznie małe można przyjąć y= x₁*x₂

a

Δy= x₁*Δx₂+ x₂*Δx₁

Stąd niepewność względna

Czyli wynik możemy podać z niepewnością względną następująco

y= x₁*x₂+ +Δx₁*Δx₂ ±(δx₁+δx₂)

Podaj wynik pomiaru mocy prądu P=I*U stałego wydzielanej na rezystorze, jeśli wiadomo, że napięcie na rezystancji wynosiło U_R=10,00V ± 0,05V (0,5%), a prąd płynący przez nią I_R= 200mA ± 1mA (0,5%).

P=10V*200mA+1mA*0,05V =2000mW+0,05mW

ΔP=10V*1mA+200mA*0,05V=2 mW

P=2000mW±20mW

Zauważmy, że

Zatem możemy przyjąć, że wartość zmierzona wynosi

y= x₁*x₂

a niepewność względna (błąd graniczny względny) wyniku jest sumą niepewności względnych pomiarów bezpośrednich

δy= δx₁+δx₂

Podaj wynik pomiaru mocy prądu P=I*U stałego wydzielanej na rezystorze, jeśli wiadomo, że napięcie na rezystancji wynosiło U_R=10,00V ± 0,05V (0,5%), a prąd płynący przez nią I_R= 200mA ± 1mA (0,5%).

P=10V*200mA+1mA*0,05V =2000mW

δP=0,5%+0,5%=1%

ΔP=0,01*2000mW=20mW

P=2000mW±20mW=20,00W±0,02W

OGÓLNIE OKREŚLENIE NIEPEWNOŚCI ILOCZYNU I ILORAZU

Jeśli kilka wielkości x₁……x_n zmierzone zostało

z względnymi błędami granicznymi (niepewnościami) δx₁…..δx_n a zmierzone wartości używane są do obliczenia

to niepewność obliczonej wartości y jest sumą

δy = δx+…+δx_i +δx_i+1…..δx_n

niepewności wszystkich pierwotnych niepewności

Jak określić wartość y_i wyniku z zależności y=f(x) dla wartości x_i ±Δ x_i

Z wykresu funkcji wynika

Δy=y(x_i +Δ x_i)- y_i

Z analizy matematycznej wiadomo, że dla dowolnej funkcji y(x) i dostatecznie małego przedziału u

Zatem jeśli Δ x jest małe (tak zakładamy)to można różnicę y(x+u)-y(x) zapisać w postaci

Tzn,, że do obliczenia bezwzględnego błędu granicznego (niepewności granicznej) y=f(x) wystarczy obliczyć pochodną i pomnożyć ją przez błąd graniczny bezwzględny Δ x

NIEPEWNOŚC WARTOŚCI DOWOLNEJ FUNKJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Jeśli x zmierzone z błędem granicznym Δ x wykorzystywane jest do obliczenia wartości y=f(x) to błąd graniczny Δy jest równy

PRZYPADEK OGÓLNY

Jeśli funkcja wiążąca wielkość mierzoną pośrednio z wieloma wielkościami mierzonymi bezpośrednio jest uwikłana to znalezienie minimum i maksimum funkcji kłopotliwe.

Jednak Jeśli funkcja Y=f(X₁......... X_N) jest różniczkowalna i w przybliżeniu liniowa w obszarze określonym przez wyniki pomiaru (X₁......... X_N) to:

za wynik pomiaru można przyjąć wartość funkcji obliczoną z zależności:

Y=f(X₁......... X_N)

gdzie X_i - wyniki pomiarów bezpośrednich

a graniczny błąd bezwzględny pomiaru wyznaczyć metodą różniczki zupełnej

przypisując wartościom różniczek wartości błędów dx_i = Δx_i

- pochodna funkcji przy założeniu, że zmienną w funkcji f jest x₁, a pozostałe (x₂..... x_i) traktujemy jako stałe.

Błąd względny

TA OGÓLNA POSTAĆ MOŻE BYĆ ZASTOSOWANA ZAWSZE (także do rozpatrywanych przykładów błędów, sumy, różnicy, iloczynu…

y = x₁ + x₂ dy =dx₁+ dx₂

Δy =Δx₁+ Δx₂

y = x₁ − x₂ dy =dx₁+ dx₂

Δy =Δx₁+ Δx₂

Jeśli wielkość y mierzona pośrednio jest sumą lub różnicą wielkości mierzonych x bezpośrednio to błąd BEZWZGLĘDNY Δy jest sumą błędów BEZWZGLĘDNYCH wielkości x

y = x₁*x₂ dy= dx₁*x₂ +dx₂*x₁

Δy= Δx₁*x₂ +Δx₂*x₁

δy =±( δx₁+δx₂)

y = x₁/x₂

δy =±( δx₁+δx₂)

Jeśli wielkość y mierzona pośrednio jest iloczynem lub ilorazem wielkości mierzonych x bezpośrednio to

błąd WZGLĘDNY δy jest sumą błędów WZGLĘDNYCH wielkości x

Zadania:

1. Określić niepewność wyniku pomiaru R , jeśli rezystancję zmierzono w oparciu o prawo Ohma. Napięcie na oporniku wynosiło 14,35V±0,03V a prąd płynący przez opornik 32,14mA±0,03mA

2. Napięcie Ex jest różnicą napięcia wzorcowego Ew=1,0000V±0,0001V i napięcia wskazywanego przez miliwoltomierz U_v=25,2mV± 0,5mV.Podaj wartość Ex oraz graniczną niepewność względną i bezwzględną podanego wyniku.

3. Napięcie Ex jest sumą napięcia wzorcowego Ew=1,0000V±0,0001V i napięcia wskazywanego przez miliwoltomierz U_v=25,2mV± 0,5mV.Podaj wartość Ex oraz graniczną niepewność względną i bezwzględną podanego wyniku

4. Czemu w pomiarach należy unikać dużych błędów systematycznych?

Czy zawsze możemy dokładnie określić błąd systematyczny, jaka niepewność określenia poprawki i jak wpływa na błąd graniczny wyniku pomiaru?

Wróćmy do przykładu bezpośredniego pomiaru prądu w obwodzie o szacowanej rezystancji, w którym uznaliśmy, że wynik pomiaru należy poprawić.

I_x=I_A + p

Wynik zapisywaliśmy jako sumę I_x=I_A + p

Błąd sumy odpowiada

Δ I_x= ± ΔI_A± Δp

poprawka określona także z pewną niepewnością Δp

Istotny stosunek ΔI_A do Δp (Δp - ΔX_{reszta system}) Im mniejsza poprawka tym mniejszy na ogół błąd jej określenia dlatego unikać należy dużych błędów systematycznych szczególnie gdy nie potrafimy ich dokładnie określić.

wykład 6

W4 Miernictwo Elektroniczne. I.F 5

---