Egzamin numer 1 z analizy matematycznej

1. Całkowanie funkcji trygonometrycznych - omówić stosowanie podstawienia, podać 2 przykłady na różne podstawienia i rozwiązać je.

2. Ciągłość funkcji w punkcie, różniczkowalność funkcji w punkcie - określenie i twierdzenie o związku między ciągłością i różniczkowalnością funkcji w punkcie. Podać przykłady funkcji (lub uzasadnić, dlaczego nie jest to możliwe), która w punkcie x₀=3:

1. jest ciągła i jest różniczkowalna,

2. jest ciągła i nie jest różniczkowalna,

3. nie jest ciągła i jest różniczkowalna,

4. nie jest ciągła i nie jest różniczkowalna.

3. Omówić kryterium d'Alemberta zbieżności szeregów liniowych. Podać przykład szeregu, którego

1. zbieżność,

2. rozbieżność,

można wykazać przy pomocy kryterium d'Alemberta. Wykonać obliczenia.

4. Podać i udowodnić warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji w punkcie. Czy jest to warunek wystarczający? Odpowiedź uzasadnić.

5. Podać i udowodnić twierdzenie o całkowaniu przez części dla całek oznaczonych. Podać przykład na zastosowanie tego twierdzenia, rozwiązać ten przykład.

Egzamin numer 2 z analizy matematycznej

1. Całka niewłaściwa funkcji nieograniczonej - omówić metody obliczania, podać przykład i rozwiązać go.

2. Podać i udowodnić warunek konieczny zbieżności szeregów liniowych. Podać przykład (lub uzasadnić dlaczego nie jest to możliwe) szeregu liniowego który:

1. jest zbieżny i spełnia warunek konieczny zbieżności szeregu,

2. jest rozbieżny i spełnia warunek konieczny zbieżności szeregu,

3. jest zbieżny i nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregu,

4. jest rozbieżny i nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregu,

3. Określić związek między monotonicznością funkcji różniczkowalnej i znakiem pochodnej tej funkcji. Udowodnić jeden z takich związków.

4. podać określenie minimum lokalnego funkcji f w punkcie x₀, podać warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji w punkcie. Podać przykład funkcji, która ma minimum lokalne w punkcie x₀=-2 i sprawdzić, czy są spełnione warunki wystarczające istnienia ekstremum tej funkcji w punkcie x₀=-2.

5. podać twierdzenie o zastosowaniu całki oznaczonej do obliczania objętości bryły obrotowej. Zastosować to twierdzenie do obliczenia objętości stożka o wysokości H i promieniu podstawy R, H>0 i R>0.

---