Wydział Elektroniki Politechniki Wrocławskiej	Laboratorium fizyki ogólnej
^Wykonał		^Grupa 5	^Ćw. nr 78	^Prowadzący dr Anna Wróbel
Badanie układów teleskopowych		^Data wykonania 98.05.11	^Data oddania 98.05.18	^Ocena

CEL ĆWICZENIA:

Zestawienie modelu lunety, wyznaczenie powiększenia i zdolności rozdzielczej lunety, ocena jakości odwzorowania badanych lunet na podstawie ich zdolności rozdzielczej, wyznaczenie kąta pola widzenia lunety, pomiar odległości za pomocą lornetki.

WSTĘP:

Dwa układy optyczne umieszczone na wspólnej osi tak, że ognisko obrazowe pierwszego układu pokrywa się z ogniskiem przedmiotowym drugiego, są układem bezogniskowym, czyli teleskopowym. Wiązka promieni wzajemnie równoległych po przejściu przez taki układ pozostaje wiązką równoległą. Realizacją układów teleskopowych są lunety służące do oglądania bardzo odległych przedmiotów.

Rozróżniamy dwa zasadnicze typy lunet: astronomiczną, zwaną lunetą Keplera i ziemską, zwaną lunetą Galileusza.

Rys. 1. Bieg promieni świetlnych w lunecie Galileusza

f_ok - ogniskowa okularu

f_ob - ogniskowa obiektywu

Luneta Galileusza składa się z dwu układów soczewek: skupiającego obiektywu i rozpraszającego okularu. Daje ona ostatecznie obraz prosty (nieodwrócony), więc nadaje się do obserwacji przedmiotów znajdujących się na Ziemi (rys. 1). Luneta ziemska ma małą długość i ze względu na aberracje układu optycznego daje niewielkie powiększenie, najwyżej sześciokrotne. Układ Galileusza stosuje się przede wszystkim w najprostszych lornetkach teatralnych.

Rys. 2. Bieg promieni aperturo­wych i polowych w lunecie Ke­plera:

Ob - obiektyw

Ok. - okular

w - kąt widzenia przedmiotu

w' - kąt widzenia obrazu

y' - obraz pośredni

Ź_wej - źrenica wejściowa

b,  - odległości obrazu pośredniego od obiektywu i okularu

P_p - przysłona polowa

P_a - przysłona aperturowa

f_ok - ogniskowa przedmiotowa okularu

Luneta Keplera składa się z dwóch skupiających układów soczewek: obiektywu i okularu (rys. 2). Obiektyw wytwarza w swej obrazowej płaszczy*nie ogniskowej rzeczywisty obraz bardzo odległego przedmiotu. Luneta Keplera jest lunetą astronomiczną i tworzy obrazy odwrócone, co nie stanowi przeszkody w obserwacji ciał niebieskich.

Wiązka promieni pochodzących z jednego punktu przedmiotowego wychodzi z okularu zarówno lunety Galileusza , jak i Keplera, jako wiązka równoległa. Układ optyczny miarowego (nie obarczonego wadami) oka obserwatora, umieszczonego za okularem lunety, skupia równoległą wiązkę promieni wychodzących z okularu na siatkówce oka, bez konieczności męczącej oko akomodacji. Ostatecznie więc obraz obserwowanego przez lunetę odległego przedmiotu powstaje na siatkówce oka.

Zasadniczą cechą lunety jest jej powiększenie wizualne, które określa wzór:

gdzie: w - kąt pod jakim widać przedmiot okiem nie uzbrojonym, w' - kąt pod jakim widać obraz przedmiotu przez lunetę. Z rysunku 2 widać, że
,
, więc powiększenie lunety można też określić wyrażeniem:

gdzie:  - odległość tego obrazu od okularu, równa ogniskowej przedmiotowej f_ok okularu, b - odległość obrazu utworzonego przez obiektyw od obiektywu.

Powiększenie lunety jest funkcją odległości a przedmiotu od lunety. Korzystając ze wzoru soczewkowego można zapisać:
. Powiększenie lunety maleje ze wzrostem odległości przedmiotu od lunety i osiąga minimum dla przedmiotów znajdujących się w nieskończoności.

Rys. 3. Obrazem źrenicy wejściowej o średnicy D, tworzonym przez okular Ok, jest źrenica wyjściowa Ź_wyj o średnicy D'.

Wiązki światła wchodzące do lunety są ograniczone przez oprawę obiektywu, która jest równocześnie przysłoną aperturową i źrenicą wejściową Ź_wej lunety. Obrazem tej źrenicy, wytworzonym przez okular, jest źrenica wyjściowa Ź_wyj lunety (rys. 1 i 3). Podczas obserwacji przedmiotów przez lunetę oko umieszcza się tak, aby źrenica oka (tęczówka) pokryła się z płaszczyzną źrenicy wyjściowej D' lunety nie większą niż średnica źrenicy oka obserwatora. W przeciwnym razie nie wszystkie promienie wychodzące z okularu lunety wpadną do oka obserwatora. Średnica D źrenicy wejściowej lunety powinna być jednak możliwie duża, aby mogła zapewnić dostateczną jasność obrazu i zdolność rozdzielczą przyrządu. Z rys. 3 widać, że stosunek szerokości wiązek wchodzącej i wychodzącej z lunety jest równy stosunkowi ogniskowych obiektywu i okularu. Miarą powiększenia lunety jest zatem stosunek średnic źrenicy wejściowej i wyjściowej:

Drugą charakterystyczną cechą lunety jest jej pole widzenia. Kątem pola widzenia lunety nazywamy kąt rozwarcia 2w stożka obejmującego część przestrzeni widoczną przez lunetę, tzn. kąt, pod którym widzimy przez lunetę dwa najbardziej odległe od siebie punkty w płaszczy*nie prostopadłej do osi optycznej lunety. Wielkość kąta pola widzenia lunety zależy od średnicy przysłony polowej P_p, znajdującej się w płaszczy*nie obrazowej obiektywu.

O jakości obrazu tworzonego przez lunetę, czyli o stopniu skorygowania aberracji układu optycznego lunety, świadczy jej zdolność rozdzielcza. Określa ją najmniejszy kąt w przestrzeni przedmiotowej, zawarty między kierunkami do dwóch punktów przedmiotowych, które podczas obserwacji przez lunetę oko jest w stanie rozróżnić jako punkty oddzielne.

Lornetką nazywamy zespół połączonych ze sobą lunet o równoległych względem siebie osiach optycznych. Lornetka służy do dwuocznej obserwacji dalekich przedmiotów, których obrazy są stereoskopowe.

WYKAZ PRZYRZĄDÓW:

• model lunety do zestawienia na ławie optycznej

• luneta skorygowana

• przysłony do obiektywu lunety

• dynametr Ramsdena

• łata z testem rozdzielczym

• lornetka

• łata pozioma do obserwacji lornetką

• taśma miernicza

• suwmiarka

PRZEBIEG ĆWICZENIA:

1. Pomiar powiększenia modelu lunety

Na ławie optycznej zestawiamy elementy lunety (obiektyw, płytka ogniskowa, okular). Stolik z zestawioną lunetą ustawiamy w odległości ok. 6 m od testu rozdzielczego i przesuwając okular oraz płytkę ogniskową ustawiamy lunetę na ostre widzenie testu i krzyża płytki ogniskowej. Aby sprawdzić, czy obraz testu jest i krzyż płytki ogniskowej leżą w jednej płaszczyźnie, należy przemieszczać oko poprzecznie do osi lunety i zobaczyć, czy nie przemieszczają się one względem siebie. Następnie mierzymy b - odległość obiektywu od płytki ogniskowej,  - odległość okularu od płytki ogniskowej, powtarzając pomiar 10-krotnie. Powiększenie lunety obliczamy na podstawie wartości średnich ze wzoru:

Wyniki pomiarów:

Błąd odczytu z podziałki wynosi () = b = 0,1 cm

Odległość lunety od testu a = (6,00 ± 0,01) m

Tabela 1. Wyniki pomiaru odległości  i b
Lp.		b
	[ cm ]	[ cm ]
1	7	31,2
2	7	31,3
3	7	31,3
4	7	31,2
5	7	31,1
6	7	31,4
7	7	30,8
8	7	31,2
9	7	31,4
10	7	30,9
w. średnia	7	31,18
błąd	0,1	0,07

Wartość średnia:
, i=1,2,...,10

Odchylenie standardowe:
=

Błąd pomiaru:
, gdzie t(n,p) - współczynnik Studenta-Fishera

t(10; 0,6826) = 1,0585

Przykładowe obliczenia:

b = 0,063⋅1,0585 = 0,067 ≈ 0,07 [cm]

Na podstawie wartości  oraz wartości średniej b możemy obliczyć powiększenie p:

Błąd p wyznaczymy metodą pochodnej logarytmicznej:

Błąd względny:

Zatem powiększenie modelu lunety wynosi:

p = 4,45 ± 0,07

2. Pomiar zdolności rozdzielczej modelu lunety oraz oka

Obserwując test (rys. 4) przez lunetę z ustalonej odległości a należy znaleźć najmniejszy numer segmentu, na którym można jeszcze rozróżnić wszystkie linie. Z tabeli zawierającej zagęszczenie linii w teście rozdzielczym odczytujemy odległość d między liniami. Jeżeli liczba linii na milimetr (tak podaje tabela) wynosi k, to odległość między liniami wynosi d=1/k [mm]. Rozdzielczość kątowa lunety wynosi:

arctg
= arctg

W podobny sposób wyznacza się zdolność rozdzielczą oka.

Rys. 4. Test do badania zdolności rozdzielczej lunety

Wyniki pomiarów:

a) zdolność rozdzielcza modelu lunety

a = (6,00 ± 0,01) m

najmniejszy numer segmentu, przy którym widać jeszcze wszystkie linie - segment nr 8

k = 2,003 [1/mm] = 2003 [1/m] dla segmentu nr 8

 = arctg

 = arctg
[ °] = 17,16 [ ″]

Błąd  zdolności rozdzielczej wyznaczymy metodą różniczki zupełnej:

Można zatem zapisać:

 = (8,321 ± 0,014)⋅10^-5 [rad]

a) zdolność rozdzielcza oka

a = (1,00 ± 0,01) m

najmniejszy numer segmentu, przy którym widać jeszcze wszystkie linie:

Piotrek - segment nr 12

Paweł - segment nr 11

k = 2,523 [1/mm] = 2523 [1/m] dla segmentu nr 11

k = 2,742 [1/mm] = 2742 [1/m] dla segmentu nr 12

 = arctg

 = arctg
[ °] = 1'21,76″

 = arctg
[ °] = 1'15,22″

Błąd  zdolności rozdzielczej wyznaczymy metodą różniczki zupełnej:

Można zatem zapisać:

dla oka Piotrka:  = (39,635 ± 0,396)⋅10^-5 [rad]

dla oka Pawła:  = (36,470 ± 0,365)⋅10^-5 [rad]

3. Pomiar zdolności rozdzielczej lunety skorygowanej

Pomiar wykonujemy tak samo jak w pkt. 2.

Wyniki pomiarów:

a = (6,00 ± 0,01) m

najmniejszy numer segmentu, przy którym widać jeszcze wszystkie linie - segment nr 13

k = 2,942 [1/mm] = 2942 [1/m] dla segmentu nr 13

 = arctg

 = arctg
[ °] = 1'56,85″

Błąd  zdolności rozdzielczej wyznaczymy metodą różniczki zupełnej (wzór wyprowadzono w pkt. 2):

Można zatem zapisać:

 = (5,665 ± 0,009)⋅10^-5 [rad]

4. Pomiar powiększenia lunety skorygowanej za pomocą łaty

Powiększenie lunety można wyznaczyć za pomocą łaty, którą umieszcza się w skończonej odległości a od miejsca obserwacji. Pomiar polega na jednoczesnej obserwacji dwóch różnych obrazów wzajemnie się pokrywających. Jeżeli zatem obserwujemy jednym okiem bezpośrednio, a drugim przez lunetę w ten sposób, że liczba N całkowitych działek widzianych przez lunetę przypada na liczbę n działek obserwowanych bezpośrednio gołym okiem, to powiększenie p możemy wyznaczyć ze wzoru:

Rys. 5. Idea pomiaru powiększenia lunety skorygowanej za pomocą łaty

Wyniki pomiarów:

N = 4 ± 1 [dz]

n = 18 ± 1 [dz]

Błąd p wyznaczymy metodą pochodnej logarytmicznej:

Można zatem zapisać:

p = 4,5 ± 1,4

5. Pomiar kąta widzenia lunety skorygowanej

Lunetę, na którą nakładamy przysłonę, ustawiamy w odległości a od łaty. Obliczamy całkowitą liczbę działek N widocznych w polu widzenia lunety, następnie mierzymy wysokość działki h. Kąt pola widzenia obliczamy ze wzoru:

Rys. 6. Pomiar kąta pola widzenia lunety za pomocą łaty

Ob - obiektyw

Pp - przysłona

Wyniki pomiarów:

Odległość lunety od testu a = (6,00 ± 0,01) m

Liczba działek widocznych przez lunetę N = (67 ± 1) dz

Wysokość jednej działki h = (10,00 ± 0,02) mm

[ °]

Błąd pomiaru kąta pola widzenia wyznaczymy metodą różniczki zupełnej:

Odległość lunety od testu a = (4,00 ± 0,01) m

Liczba działek widocznych przez lunetę N = (43 ± 1) dz

Wysokość jednej działki h = (10,00 ± 0,02) mm

[ °]

Odległość lunety od testu a = (2,00 ± 0,01) m

Liczba działek widocznych przez lunetę N = (20 ± 1) dz

Wysokość jednej działki h = (10,00 ± 0,02) mm

[ °]

Zatem wyniki pomiaru kąta pola widzenia lunety wynoszą:

dla a = 6 m 2w = (1,018 ± 0,014) rad

dla a = 4 m 2w = (0,986 ± 0,022) rad

dla a = 2 m 2w = (0,927 ± 0,044) rad

Na podstawie wyżej podanych wyników możemy obliczyć średnią wartość kąta pola widzenia lunety skorygowanej:

, i = 1,2,3

2w_śr = (1,018+0,986+0,927)/3 = 0,977 [rad]

(2w_śr) = (0,014+0,022+0,044)/3 = 0,027 [rad]

Zatem kąt pola widzenia lunety wynosi:

2w = (0,977 ± 0,027) rad

6. Pomiar powiększenia lunety skorygowanej metodą źrenicową za pomocą dynametru Ramsdena

Patrząc przez oko ustawiamy lunetę na ostre widzenie odległego przedmiotu. Suwmiarką mierzymy średnicę D przysłony i nakładamy ją na obiektyw. Lupę dynametru Ramsdena ustawiamy na ostre widzenie podziałki znajdującej się na płytce ogniskowej dynametru. Wyciągamy powoli dynametr oprawy aż do otrzymania ostrego obrazu źrenicy wyjściowej na tle podziałki. Odczytujemy wielkość średnicy wyjściowej D' i obliczamy powiększenie lunety ze wzoru:

Rys. 7. Dynametr Ramsdena

L - lupa

P - płytka ogniskowa

Rys. 8. Źrenica wejściowa i wyjściowa lunety

Wyniki pomiarów:

Wartość działki elementarnej w dynametrze: w = 0,2 mm

Średnica przysłony 1: D₁ = (14,94 ± 0,02) mm

Średnica przysłony 2: D₂ = (20,00 ± 0,02) mm

Średnica przysłony 3: D₃ = (25,02 ± 0,02) mm

Średnice źrenic wyjściowych:

D₁' = (10 ± 1)⋅0,2 [dz⋅mm/dz] = (2,0 ± 0,2) mm

D₂' = (13 ± 1)⋅0,2 [dz⋅mm/dz] = (2,6 ± 0,2) mm

D₃' = (16 ± 1)⋅0,2 [dz⋅mm/dz] = (3,2 ± 0,2) mm

Powiększenie p wynosi:

dla przysłony 1: p₁ = 14,94/2 = 7,47

dla przysłony 2: p₂ = 20/2,6 = 7,69

dla przysłony 3: p₃ = 25,01/3,2 = 7,81

Błąd p wyznaczymy metodą pochodnej logarytmicznej:

Możemy zatem zapisać:

dla przysłony 1: p₁ = 7,47 ± 0,76

dla przysłony 2: p₂ = 7,69 ± 0,60

dla przysłony 3: p₃ = 7,81 ± 0,49

Na podstawie wyliczonych wartości powiększenia dla trzech przysłon możemy obliczyć średnią wartość powiększenia i jej błąd:

, i = 1,2,3

p_śr = (7,47+7,69+7,81)/3 = 7,66

p_śr = (0,76+0,60+0,49)/3 = 0,62

Ostatecznie:

p = 7,66 ± 0,62

7. Pomiar odległości za pomocą lornetki

Z danego miejsca obserwujemy poziomą łatę wyskalowaną w metrach. Z prawego okularu lornetki odczytujemy liczbę działek m przypadających na odpowiednią długość łaty. Odległość łaty od obserwatora obliczamy ze wzoru:

gdzie w₀ jest wartością działki elementarnej podziałki okularu lornetki.

Wyniki pomiarów:

a) pomiar odległości

l = 1 m

m = (8 ± 1) dz dla odległości a₁

m = (13 ± 1) dz dla odległości a₂

w₀ = 1 dz = 5 tysięcznych = /600 [rad]

a₁ = 1/(8⋅3,14/600) = 23,88 [m]

a₂ = 1/(13⋅3,14/600) = 14,69 [m]

Błąd a wyznaczymy metodą pochodnej logarytmicznej (l, w₀ są stałymi):

a₁ = 1/8⋅3,14/600 = 0,02 [m]

a₁ = 1/13⋅3,14/600 = 0,01 [m]

Zatem ostatecznie:

a₁ = (23,88 ± 0,02) m

a₂ = (14,69 ± 0,01) m

b) pomiar wzrostu kolegi

Pomiaru dokonujemy w podobny sposób jak w podpunkcie a). Wzrost kolegi obliczamy ze wzoru:

Pomiar wzrostu kolegi dokonywano z odległości a = (23,88 ± 0,02) m

Liczba działek odczytana z okularu lornetki: n = (13 ± 1) dz

h = 23,88/13 = 1,83 [m]

Błąd h wyznaczymy metodą pochodnej logarytmicznej:

h = (0,02/23,88 + 1/13)1,83 = 0,14 [m]

Zatem ostatecznie:

h = (1,83 ± 0,14) m

WNIOSKI I UWAGI:

W pkt.1 ćwiczenia mierzyliśmy powiększenie modelu lunety poprzez pomiar odległości obiektywu i okularu od płytki ogniskowej i wyznaczeniu powiększenia z ich wartości średnich. Z pomiarów i obliczeń wynika, że zestawiony model lunety ma powiększenie 4,5-krotne. Błąd obliczono metodą pochodnej logarytmicznej. Nie jest on w pełni dokładny, gdyż nie uwzględniono tu wady wzroku oraz błędu paralaksy.

W pkt.2 i 3 ćwiczenia mierzyliśmy zdolność rozdzielczą modelu lunety, oka ludzkiego oraz lunety skorygowanej obserwując z pewnej znanej odległości test. Porównując wyniki dla lunety i oka widzimy, że oko ma znacznie większą zdolność rozdzielczość. Można też stwierdzić (uwzględniając wyniki z pkt. 6), że im większe powiększenie lunety, tym mniejsza zdolność rozdzielcza.

W pkt. 4 i 6 ćwiczenia dokonywaliśmy pomiaru powiększenia lunety skorygowanej za pomocą łaty i metodą źrenicową. Otrzymane wyniki różnią się od siebie. Pomiar dokonany za pomocą łaty jest dużo mniej dokładny od metody źrenicowej, ze względu trudności uzyskania podwójnego obrazu.

W pkt. 5 ćwiczenia dokonywaliśmy pomiaru kąta pola widzenia lunety skorygowanej z trzech różnych odległości. Jako ostateczną wartość kąta pola widzenia uwzględniono wartość średnią z otrzymanych wyników dla różnych odległości. Z obliczeń widzimy, że wartość tego kąta wynosi około 60°.

W pkt. 7 ćwiczenia dokonywaliśmy pomiaru odległości i wzrostu za pomocą lornetki. Obserwując poziomą łatę wyskalowaną w metrach odczytujemy na okularze obiektywu liczbę działek odpowiadających kątowi odchylenia w tysięcznych (kąt pełny zawiera 6280 tysięcznych, ale przyjmuje się, że 360° = 6000 tysięcznych). Wyniki odległości uzyskane z pomiarów są dość dokładne, ze względu na mały kąt odchylenia. Mając obliczoną wartość odległości można wyznaczyć wzrost kolegi ze wzoru h=a/n. Otrzymany w ten sposób wynik (1,83 ± 0,14) m nie wiele różni się od wartości rzeczywistej (mieści się w granicy błędu), która wynosi 1,78 m.

- 1 -

---