Suplement do wykładu konstrukcje prętowe (kratownice płaskie)

Suplement jest pomocą dydaktyczną dla studentów, którzy chcą utrwalić wiedzę z zakresu praktycznej znajomości obliczeń konstrukcji płaskich kratownic: statycznie wyznaczalnych oraz statycznie wewnętrznie i zewnętrznie niewyznaczalnych. Suplement jest instrukcją korzystania z programy „ krata.exe” zamieszczonego na niniejszej stronie internetowej. Program służy do określania wartości:

• reakcji utwierdzenia konstrukcji

• sił w prętach konstrukcji

• naprężeń w prętach konstrukcji

• przemieszczenia węzła, względem podpór konstrukcji

• ciężaru własnego konstrukcji

Służy również do optymalizacji konstrukcji z warunku minimum ciężaru konstrukcji, przy założeniu σ = const.

Proponuje się następujący sposób pogłębiania praktycznej umiejętności rozwiązywania zadań z zakresu analizy wytrzymałościowej konstrukcji kratowych:

• rozwiązać zadanie w oparciu o wiedzę zdobytą na wykładach i ćwiczeniach

• za pomocą programu „krata.exe” rozwiązać to samo zadanie

• porównać otrzymane wyniki

Rozwiązanie zadań za pomocą programu „krata.exe”

Zadanie 1 (konstrukcja statycznie wyznaczalna)

Wyznaczyć wartości sił i naprężeń w prętach kratownicy, pokazanej na rysunku 1, za pomocą programu „krata.exe” . Kratownica jest zbudowana z prętów o identycznej długości l = 3 m. Obciążenie kratownicy poziome P₁ = 50 kN, pionowe P₂ = 40 kN. Obliczyć również przemieszczenie węzła D. Dane E = 2*10⁵ Mpa.

E

P₁ D trójkąty ABE, BDE, CDB są

5 trójkątami równobocznymi

3 4 6 7

P₂

A

1 B 2 C Rys. 1

Oznaczenia

5

P₁ 4

y 5

3 4 6 7

R_Ay R_B P₂ h = lcos30⁰ = 0.866l

90⁰

R_Ax 1

1 2 2 3 x

l l Rys. 2

Geometria konstrukcji podana jest w tabelach 1 i 2. Na rys. 1 węzły kratownicy oznaczono literami. W programie węzłom kratownicy przypisuje się numery (rys. 2).

Tabela 1

W tabeli tej podano również numery prętów tworzących węzeł

Nr. węzła	Współ. x cm	Współ. Y cm	Nr prętów	Ilosc prętów w węźle
1	0	0	1, 3	2
2	300	0	1, 2, 6, 4	4
3	600	0	2, 7	2
4	450	259,8	5, 6, 7	3
5	150	259,8	3, 4, 5	3

Tabela 2

W tabeli podano wartości przekrojów poprzecznych prętów

Nr pręta	1	2	3	4	5	6	7
Przekrój mm^2	70	70	50	50	70	50	50

Rozwiązanie za pomocą programu

1. Uruchamiamy program

• uwaga:

napisy i opcje w kolorze zielonym (świecące) uaktywniają się po kliknięciu ich wskaźnikiem. Po uaktywnieniu opcji pojawia się następne okno z pytaniem, na które odpowiadamy uaktywniając następną opcję lub wpisując dane, o które pyta program.

Rys. 1

2. Na ekranie pojawia się rysunek 1, po chwili pojawi się następna strona

Rys. 2

3. Na ekranie pojawia się rysunek 2, wybieramy opcję <N>

Rys. 3

4. Uaktywniamy <N>, ponieważ geometrię wprowadzamy nie z dysku a z tabeli 1

Rys. 4

5. W naszym przypadku ilość węzłów IW = 5

Rys. 5

6. Podstawiamy ilość prętów IP = 7

Rys. 6

7. Wstawiamy kolejno współrzędne węzłów z tabeli 1, dla węzła 1 x = 0

Rys. 7

8. Wstawiamy ilość prętów tworzących dany węzeł z tabeli 1, dla węzła 1

IPWW = 2

Rys. 8

9. Podajemy numery prętów tworzących dany węzeł, dla węzła 1 pręty 1 i 3

(tabela 1)

Rys. 9

10. Program narysował Twoją kratownicę. Naciśnij dowolny klawisz

Rys. 10

11. W naszym przypadku uaktywniamy <N>

Rys. 11

12. Załóżmy, że zapisujemy geometrię na dysku. Uaktywniamy <Y>

Rys. 12

13. Zapisujemy np. na dysku a: pod nazwą krataa, czyli wpisujemy a:\krataa

Rys. 13

14. W naszym przypadku ILPOD = 2 (dwie podpory)

Rys. 14

15. W naszym przypadku (rys. 1) w węźle A, czyli NWP = 1

Rys. 15

16. Oczywiście podpora typu [2] (rys. 1), uaktywniamy <2>.

17. Identycznie postępujemy z podporą B (rys. 1), jest ona typu [1],uaktywniamy <1>

Rys. 16

18. W naszym przypadku kąt KP = 90⁰

Rys. 17

19. Na rysunku 17 program narysował naszą kratownicę z podporami.

Rys. 18

20. Wybierzmy opcje <3>.

Rys. 19

21. Program umożliwia liczenie przemieszczeń na skutek działania temperatury.

Rys. 20

22. W naszym przypadku przyjmujemy że długości rzeczywiste są równe

teoretycznym, czyli uaktywniamy <Y>. Program umożliwia liczenie

przemieszczeń i naprężeń (w konstrukcji statycznie niewyznaczalnej) powstałych

na skutek tych różnic.

Rys.21

23. Podstawiamy IWSZ = 2

24. Podajemy następnie kolejno numer węzła 5, wartość siły P₁ =50000N, kąt

działania siły P₁, KS = 0⁰.

25. Tak samo postępujemy z siłą P₂, dla tej siły KS = 270⁰, oraz NWSZ = 3.

Rys. 22

26. Otrzymaliśmy wartości reakcji

Rys. 23

27. Otrzymaliśmy wartości sił w prętach (minus oznacza ściskanie).

Rys. 24

28. Chcemy policzyć naprężenia w prętach konstrukcji, wybieramy opcję <4>

29. Ukazują się kolejne obrazki na ekranie z pytaniami, na które odpowiadamy w

sposób przedstawiony powyżej.

Rys. 25

30. W naszym przypadku dla konstrukcji stalowej E = 2*10⁵ MPa.

31. Podstawiamy kolejno wartości przekrojów prętów.

Rys. 26

32. Dla sprawdzenia, że dobre wartości zostały wprowadzone pojawiają się dane

(rys.26)

33. Podstawiamy naprężenia dopuszczalne np. ND = 300 Mpa . Wynika to z faktu, że

optymalizacja ciężaru odbywa się dla zadanych naprężeń dopuszczalnych.

Rys.27

34. Objętość konstrukcji przed optymalizacją Vp = 12299.87 cm².

Rys. 28

35. Otrzymaliśmy naprężenia w prętach konstrukcji pierwotnej

Rys. 29

36. Wartości współczynników bezpieczeństwa dla poszczególnych prętów

(rys. 29).

Rys. 30

37. Przechodzimy do obliczenia przemieszczenia, np. przemieszczenia

węzła 4.

38. Postępujemy według instrukcji pojawiających się na ekranie w efekcie

dochodzimy do obrazu pokazanego na rysunku 31

Rys. 31

39. Wartość przemieszczenia w kierunku osi x f_x = 6,781 mm, w kierunku osi y

f_y = -5,492 mm, a całkowite przemieszczenie f = 8.724 mm.

Rys 32

40. Koniec zadania statycznie wyznaczalnego

Zadanie 2 Zadanie statycznie niewyznaczalne)

Wyznaczyć wartości sił i naprężeń w prętach kratownicy, pokazanej na rysunku 1, za pomocą programu „krata.exe” . Kratownica jest zbudowana z prętów o identycznej długości l = 3 m. Obciążenie kratownicy poziome P₁ = 50 kN, pionowe P₂ = 40 kN. Obliczyć również przemieszczenie węzła D. Dane E = 2*10⁵ Mpa.

E

P₁ D trójkąty ABE, BDE, CDB są

5 trójkątami równobocznymi

3 4 6 7

P₂

8

A

1 B 2 C Rys. 1

Oznaczenia

5

P₁ 4

y 5

3 4 6 7

R_Ay R_B P₂ h = lcos30⁰ = 0.866l

8 90⁰

R_Ax 1

1 2 2 3 x

l l Rys. 2

Geometria konstrukcji podana jest w tabelach 1 i 2. Na rys. 1 węzły kratownicy oznaczono literami. W programie węzłom kratownicy przypisuje się numery (rys. 2).

Tabela 1

W tabeli tej podano również numery prętów tworzących węzeł

Nr. węzła	Współ. x cm	Współ. Y cm	Nr prętów	Ilosc prętów w węźle
1	0	0	1, 3, 8	3
2	300	0	1, 2, 6, 4	4
3	600	0	2, 7	2
4	450	259,8	5, 6, 7, 8	4
5	150	259,8	3, 4, 5	3

Tabela 2

W tabeli podano wartości przekrojów poprzecznych prętów

Nr pręta	1	2	3	4	5	6	7	8
Przekrój mm^2	70	70	50	50	70	50	50	80

Rozwiązanie za pomocą programu

1. Uruchamiamy program

2. Wprowadzamy dane z tabeli 1

Rys. 3

3. Ponieważ kratownica jest statycznie niewyznaczalna potwierdzamy to naciskając

klawisz [1] (rys. 3)

Rys. 4

4. Zgodnie z instrukcją z rys. 4 robimy konstrukcję statycznie wyznaczalną przez

przecięcie pręta 8 w węźle np.4.

5. Po przecięciu pręta 8 otrzymaliśmy konstrukcję statycznie wyznaczalną, której

geometria podana jest w tabeli 3

Tabela 1

Nr. węzła	Współ. x cm	Współ. Y cm	Nr prętów	Ilosc prętów w węźle
1	0	0	1, 3, 8	3
2	300	0	1, 2, 6, 4	4
3	600	0	2, 7	2
4	450	259,8	5, 6, 7	3
5	150	259,8	3, 4, 5	3
6	450	259.8	8	1

Rys. 5

Rys. 6

6. Uaktywniamy <N>

Rys. 7

7. Jeżeli chcemy zapisać geometrię, uaktywniamy <Y>.

Rys. 8

8. Wpisujemy nazwę dysku i nazwę katalogu np. a:\krata2

9. Następnie postępujemy zgodnie z instrukcjami ukazującymi się na ekranie

Rys. 9

10. Wybierzmy dla przykładu wariant obliczeń <4>.

Rys. 10

Rys. 11

11. Widok obciążenia konstrukcji

Rys.12

12. Przyjmujemy, że konstrukcja jest stalowa a więc E = 2*10⁵ Mpa

13. Wprowadzamy wartości przekrojów prętów z tabeli 2, w wyniku otrzymujemy

wydruk (rys. 13).

Rys.13

Rys. 14

14. Załóżmy, że naprężenia dopuszczalne przyjmujemy ND = 300 Mpa.

Rys. 15

15. Objętość kratownicy Vp = 16456,76 cm³.

Rys. 16

16. Program obliczył wartości naprężeń w prętach konstrukcji (rys.16)

Rys.17

17. Program obliczył współczynnik bezpieczeństwa w poszczególnych prętach

konstrukcji odniesiony do naprężeń dopuszczalnych ND = 300 Mpa

Rys. 18

18. Decydujemy się na automatyczną optymalizację kratownicy z warunku <2>

Rys. 19

19. Na rysunku przedstawiono wynik optymalizacji kratownicy, którą wykonał

komputer.

Rys. 20

---