Czechowice-Dziedzice, 31 marca 2003 roku

Konkurs Matematyczny

dla uczniów gimnazjum

organizowany przez Zespół Liceów

im. Marii Skłodowskiej-Curie

w Czechowicach-Dziedzicach

Czas pracy: 110 minut

Zadanie 1. (5 pkt.)

Średnica i cięciwa pewnego okręgu mają wspólny koniec. Symetralna średnicy dzieli cięciwę na dwa odcinki o długościach 1 cm i 3 cm. Oblicz długość promienia okręgu.

Zadanie 2. (5 pkt.)

Znajdź takie m, dla których proste o równaniach

i
przecinają się w jednym punkcie.

Zadanie 3. (5 pkt.)

Rozpatrzmy wszystkie prostokąty, których długości boków wyrażone są liczbami naturalnymi. Znajdź te prostokąty, których liczba wyrażająca pole prostokąta jest równa liczbie wyrażającej jego obwód.

Zadanie 4. (5 pkt.)

Liczba a jest o 15% większa od liczby b. O ile procent liczba b jest mniejsza od liczby a ?

Zadanie 5. (5 pkt.)

Trzech panów: A, B i C posadzono w rzędzie w ten sposób, że pan A widzi panów B i C, pan B widzi tylko pana C, a pan C nie widzi żadnego z pozostałych. Tym panom pokazano kosz z pięcioma kapeluszami, z których 3 były koloru czerwonego, a 2 koloru białego. Po zawiązaniu im oczu, każdy z panów wyjął z kosza jeden kapelusz i założył go sobie na głowę. Po zdjęciu opasek z oczu, na pytanie: „Czy możesz powiedzieć jakiego koloru kapelusz jest na Twojej głowie?”, najpierw pan A, a potem pan B odpowiedzieli, że nie mogą określić koloru kapelusza. Po tych odpowiedziach pan C, pomimo, że nie widział jakiego koloru kapelusze mają panowie A i B, stwierdził, że wie jakiego koloru kapelusz ma na głowie. Jakiego koloru kapelusz miał na głowie pan C ? Odpowiedź uzasadnij.

---