Całkowanie funkcji c.d. Iloczyn kartezjanski oraz zbiory

1. Całkowanie funkcji niewymiernych

2. Całkowanie funkcji trygonometrycznych

3. Iloczyn kartezjański, rodzina zbiorów

4. połączenie(suma), przecięcie(iloczyn)

Całkowanie funkcji niewymiernych
Dla calki postaci:


Stosujemy następujące podstawienie:

, gdzie s=NWW{q₁,q₂,q₃,...,q_k} a następnie obliczamy x oraz dx

Przykład 5.2



Całkowanie funkcji trygonometrycznych

1. Typ pierwszy, czyli całki postaci:
   

1. n, m Î Z i przynajmniej jedna z potęg nieparzysta:
   Niech m=2k+1 oraz m>0
   
   
   przy założeniu, że m<0 mamy:
   
   
   Stosując takie samo podstawienie jak w przypadku, gdy m>0 otrzymujemy:
   
   

2. n, m Î N oraz n i m są liczbami parzystymi:
   np. n>m, czyli n możemy przedstawić w postaci n=m+2k;
   
   
   Przy obliczaniu całki tego typu należy pamiętać o wprowadzeniu funkcji podwojonego kąta. Niezbędne jest przypomnienie wzorów:
   
            
   
   
   Przykład 5.3
   
   

2. Typ drugi, czyli całki postaci:
   
   Przy obliczaniu tego typu całek stosujemy następujące podstawienie:
   
   
   analogicznie można wyznaczyć cos²x i sinxcosx :
   
   
   Stosując powyższe podstawienie otrzymujemy całkę funkcji wymiernej.

3. Typ trzeci, czyli całka z funkcji postaci:
   
   W przypadku całki funkcji takiej postaci stosujemy poniższe podstawienie:
   
   

4. Przy obliczaniu całek funkcji czwartego typu, czyli
   należy stosować wzory, które iloczyn funkcji trygonometrycznych zamieniają na sumę.
   
   

Definicja 5.1 (iloczyn kartezjański)
 A, B - zbiory;




Definicja 5.2 (rodzina zbiorów)
Niech



Przykład 5.4



Definicja 5.3 (połączenie(suma), przecięcie(iloczyn))
(A_i)_iÎI - rodzina podzbiorów zbioru


- połączenie

- przecięcie

Przykład 5.4 c.d.


Z interpretacji geometrycznej wnioskujemy, że:

1. 
   

2. 
   

Dowód:
Ad 1) Aby udowodnić równość 1) należy pokazać, że:

1. 
   

2. 
   

ad a)



ad b)
Niech xÎR
Dla x<0      

Dla x>0      


Dla x=0, 0ÎA_t dla tÎR\{0};
Zatem pokazaliśmy, że

z a) i b)

Ad 2)



Wystarczy zatem pokazać, że

---