2.3 Ciągi
Podstawowe wiadomości o ciągach
Jeżeli każdej liczbie naturalnej n zostanie przyporządkowana liczba rzeczywista a to mówimy, że został określony ciąg liczbowy. Jeżeli Funkcja f będzie odwzorowywać zbiór liczb naturalnych N na pewien niepusty zbiór Y to funkcję f będziemy nazywać ciągiem nieskończonym. Jeżeli odwzorowywać będziemy zbiór skończony {1,2,..,k} na skończony zbiór Y to ciąg nazwiemy ciągiem skończonym.
Ciąg oznaczamy symbolem {an} lub a1,a2,a3,..,an przy czym a1 - pierwszy wyraz ciągu, a2 - drugi wyraz ciągu, a an - trzeci wyraz ciągu itd.
Każdy ciąg skończony ma wyraz pierwszy i ma wyraz ostatni, natomiast ciąg nieskończony ma wyraz pierwszy, lecz nie posiada wyrazu ostatniego.
Przykład 7
Ciąg : 1,3,5,..,2n-1 odwzorowuje zbiór N na zbiór Y (zbiór liczb naturalnych nieparzystych). Jest to ciąg nieskończony.
Ciąg można określić podając wzór na jego wyraz ogólny.
Przykład 8
Ciąg an=a1+r(n-1) jest ciągiem arytmetycznym o pierwszym wyrazie a1, a różnicy równej r (r=an-an-1). Suma n wyrazów tego ciągu opisana jest wzorem Sn=
Przykład 9
Wzór Un=U1*qn-1 określa ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie U1 i ilorazie równym q ()
Iloraz q może spełniać cztery warunki :
1. Jeżeli |q|<1 - to ciąg geometryczny jest zbieżny i wtedy suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest opisana wzorem S=, zaś suma n wyrazów tego ciągu jest opisana wzorem Sn=
2. Jeżeli |q|>1 - to ciąg geometryczny jest rozbieżny do nieskończoności i wtedy suma n - wyrazów tego ciągu jest opisana wzorem Sn=
3. q=1 wtedy ciąg an jest rozbieżny do nieskończoności i suma n wyrazów wynosi n*U1.
4. q=-1 wtedy ciąg jest rozbieżny, naprzemienny. Suma 2n wyrazów wynosi 0, a suma 2n+1 wyrazów wynosi U1.
Szczególne własności ciągów
1. Ciąg {an} jest ograniczony z dołu ⇔
2. Ciąg {an} ograniczony z góry ⇔
3. Ciąg {an} jest ograniczony ⇔
4. ciąg {an} jest nieograniczony ⇔
5. Ciąg {an} jest rosnący ⇔
6. Ciąg {an} jest malejący ⇔
7. Ciąg {an} jest niemalejący ⇔
8. Ciąg {an} jest nierosnący ⇔
Ciągi o własnościach 5,6 nazywamy ściśle monotonicznymi, a ciągi o własnościach 5,6,7,8 nazywamy ciągami monotonicznymi.
Mówimy, że ciąg a1, a2, a3,.., an,.. ma granicę g jeżeli dla każdej liczby ε>0 istnieje taka liczba δ>0, że dla każdego n>δ zachodzi nierówność: |q -g|<ε co zapisujemy:
g jest granicą ciągu {an} ⇔
an = g lub ang co czytamy limes an przy n dążącym do nieskończoności równa się g lub {an} jest zbieżny do g.
Ciąg {an} jest rozbieżny :
1) do +∞ ⇔
2) do -∞ ⇔
Twierdzenie o trzech ciągach:
Jeżeli ciągi {an} i {cn} są zbieżne do tej samej granicy g, a ponadto istnieje liczba δ0 taka, że dla każdej liczby naturalnej n>d0 spełniona jest nierówność an≤bn≤cn to ciąg {bn} także jest zbieżny i bn=g.
Twierdzenia o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów zbieżnych
Jeżeli ciąg {an} i {bn} są zbieżne to również zbieżne są ciągi
{an+bn}, {an-bn}, {an*bn} oraz przy założeniu, że bn≠0 i bn≠0 zbieżny jest także ciąg {} przy czym :
1. {an+bn}={an}+{bn}
2. {an-bn}={an}-{bn}
3. {an*bn}={an}-{bn}
4. {}=
Na podstawie definicji granicy ciągu łatwo udowodnić niżej wymienione zależności :
1. =0, gdzie „α” - dowolna liczba dodatnia
2. =1
3. qn=0, dla |q|<1
4. =e, gdzie e jest liczbą niewymierną (e≈2,718). Jest to szczególnie wygodna jako podstawa logarytmu naturalnego (ln(x))
Zadania :
2.17 Na podstawie definicji zbadać monotoniczność ciągu :
a) b)
c) d)
2.18 Na podstawie definicji granicy ciągu wykazać, że
a) b)
b) d)
e) f)
2.19 Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym an :
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) j)
k) l)
ł) m)
n) o)
p) r)
s) t)
u)
2.4 GRANICA I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
2.4.1 Granica właściwa funkcji w punkcie x0
Podstawowe wiadomości teoretyczne
Załóżmy, że funkcja f(x) jest określona na zbiorze x⊂R. Granica funkcji f(x) w punkcie x0 jest określona za pomocą dwóch definicji.
Definicja Heinego:
Liczbę "g" nazywamy granicą funkcji f(x) w punkcie x0 jeżeli dla każdego ciągu {xn}, gdzie n∈N, zawartego w dziedzinie funkcji f(x), spełniającego warunki : xn=x0 i xn≠x0 zachodzi f(xn)=g
co zapisujemy symbolicznie :
Definicja Cauchy'ego:
Liczbę g nazywamy granicą funkcji f(x) w punkcie x0, jeżeli dla każdego ε>0 istnieje δ∈R+, że dla każdego x≠x0 z nierówności
0<|x-x0|<δ wynika nierówność |f(x)-g|<ε.
Co zapisujemy symbolicznie:
Przy określeniu granicy w sensie Heinego zakładamy, że została uprzednio określona granica ciągu {xn}, a przy definicji Cauchy'ego to założenie nie jest potrzebne. Działania arytmetyczne na granicach funkcji są takie same jak na granicach ciągów zbieżnych
2.4.2 Granica niewłaściwa funkcji w punkcie x0
Niech f(x) będzie określona na zbiorze X⊂R
Definicja Heine'go:
1.
2.
Definicja Cauchy'ego
1.
2.
2.4.3. Granica jednostronna
Granica właściwa
Definicja Heine'go
1.Granica lewostronna
2.Granica prawostronna
Definicja Cauchy'ego
1.Granica lewostronna
2.Granica prawostronna
Granicę lewostronną i granicę prawostronna funkcji w punkcie nazywamy granicami jednostronnymi. Funkcja ma w punkcie x0 granicę wtedy i tylko wtedy, gdy ma w tym punkcie obie granice jednostronne równe sobie.
Granica niewłaściwa
Rozróżniamy cztery granice :
Podamy definicje Heinego dla jednej z tych granic oraz definicję Cauchy'ego również dla tej wybranej granicy. Sformułowanie definicji pozostałych granic jest analogiczne.
Definicja Heine'go
Definicja Cauchy'ego
2.4.4 Granica funkcji w nieskończoności
Niech f(x) będzie funkcją określoną na zbiorze X=(a,+∞)
wtedy definicje Heine'go granicy funkcji f(x) w +∞ są następujące :
1.
2.
3.
Powyższe definicje Heine'go są równoważne definicjom Cauchy'ego niżej wymienionym:
1.
2.
3.
A następnie załóżmy, że funkcja f(x) jest teraz określona w przedziale X=(-∞,a).
Wtedy definicje Heine'go i Cauchy'ego granicy funkcji w -Ą są następujące:
Definicje Heine'go
1.
2.
3.
Definicje Cauchy'ego
1.
2.
3.
2.4.5 Ciągłość funkcji
Niech f(x) będzie funkcją określoną na zbiorze X oraz niech x0∈X.
Funkcja f(x) jest prawostronnie ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy gdy
Funkcja f(x) jest lewostronnie ciągła w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy gdy
Warunkiem wystarczającym i koniecznym na to, aby funkcja f(x) była ciągła w punkcie x0 jest, żeby była lewostronnie i prawostronnie ciągła w tym punkcie.
Funkcja f(x) jest ciągła na przedziale <a,b> wtedy i tylko wtedy gdy jest ciągła na przedziale (a,b) oraz
i
Punkt x0 jest punktem nieciągłości funkcji f(x) wtedy i tylko wtedy gdy funkcja f(x) nie jest ciągła w x0.
Punkty nieciągłości funkcji dzielimy na dwie grupy. Do jednej zaliczamy te, w których istnieją jednostronne granice właściwe i nazywamy je punktami nieciągłości pierwszego rodzaju, do drugiej grupy pozostałe i nazywamy je punktami nieciągłości drugiego rodzaju. Jeżeli x0 jest punktem nieciągłości pierwszego rodzaju funkcji f(x), przy czym
tzn. istnieje granica właściwa to mówimy, że funkcja f(x) ma w punkcie x0 nieciągłość usuwalną.
2.4.6 Własności funkcji ciągłych
1. Twierdzenie o lokalnym zachowaniu znaku
Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x0, oraz f(x0)>0 to istnieje taka liczba d>0, że dla każdego x∈(x0-δ,x0+δ) spełniona jest nierówność f(x)>0.
Oczywiście nierówność f(x0)<0 implikuje nierówność f(x)<0.
2.Twierdzenie Darboux o przyjmowaniu wartości pośrednich
Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła na przedziale domkniętym <a,b>, f(a)≠f(b) oraz y0 jest dowolną liczbą taką, że f(a)<y0<f(b) to istnieje punkt c∈(a,b) dla którego f(c)=y0.
3.Twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów
Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła na przedziale domkniętym <a,b>, to jest na nim ograniczona i istnieją w tym przedziale takie dwa punkty c1 i c2, takie że f(c1)= i f(c2)=
4. Twierdzenie o granicy funkcji złożonej
Jeżeli istnieje skończona granica i funkcja F(y) jest ciągła w punkcie y0, to istnieje granica funkcji złożonej F(f(x)) w punkcie x0 przy czym
5. Twierdzenie o ciągłości funkcji odwrotnej
Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła i rosnąca lub malejąca w dziedzinie X to funkcja odwrotna f-1(x) jest także ciągła i rosnąca lub malejąca na przedziale Y wartości funkcji f(x).
Zadania :
2.20 Korzystając z definicji Heinego granicy funkcji sprawdzić czy:
a) b)
2.21 Korzystając z definicji Cauchy'ego granicy funkcji sprawdzić, czy:
a) b)
2.23 Obliczyć granicę funkcji
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) j)
k) l)
ł) m)
n) o)
p) r)
s) t)
u) w)
v) x)
y) z)
2.24 Wyznaczyć granicę funkcji :
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i)
j)
k)
l)
2.25 Zbadać ciągłość funkcji, określić rodzaj punktów nieciągłości oraz naszkicować wykres:
a) b)
c) d)
e)f(x)=[x]-x f)
g) h)
2.26 Znaleźć wartość parametru "p" dla którego dana funkcja określona wzorem jest we wskazanym punkcie ciągła.
a)
w punkcie x=3
b) )
w punkcie x=3
2.5 POCHODNA FUNKCJI.
Podstawowe wiadomości teoretyczne
2.5.1. Definicje pochodnej i jej interpretacje
Niech f(x) będzie funkcją określoną i ciągłą na przedziale otwartym (a,b) i niech x0∈(a,b) będzie dowolnym punktem tego przedziału. Weźmy liczbę h≠0 taką, że a-x0<h<b-x0 co pokazuje rysunek 2.7
rysunek 2.7
Ilorazem różnicowym funkcji f(x) w punkcie x0 nazywamy funkcję F(h)
określoną dla wszystkich h z przedziału (a-x0,b-x0) różną od zera.
Interpretacją geometryczną ilorazu różnicowego jest współczynnik kierunkowy siecznej , czyli tangens kąta ß jaki tworzy sieczna z dodatnim kierunkiem osi OX.
Granicę ilorazu różnicowego
nazywamy pochodną funkcji f(x) w punkcie x0 i oznaczamy symbolem f'(x0), więc
Granicą lewostronną nazywamy pochodną lewostronną funkcji f(x) w punkcie x0 i oznaczamy symbolem f'(x0-), a więc
Granicą prawostronną nazywamy pochodną prawostronną funkcji f(x) w punkcie x0 i oznaczamy symbolem f'(x0+), a więc
Pochodne lewostronną i prawostronną nazywamy pochodnymi jednostronnymi
Warunkiem wystarczającym i koniecznym na to, aby funkcja f(x) miała pochodną w punkcie x0 jest to, aby istniały w tym punkcie obie pochodne jednostronne i były równe.
f'(x0)=f'(x0-)=f'(x0+)
Gdy istnieje granica:
i jest skończona to mówimy, że funkcja f(x) jest różniczkowalna w punkcie x0.
Jeżeli ta granica nie istnieje, albo jest niewłaściwa, to mówimy, że f(x) nie jest różniczkowalna w punkcie x0.
Gdy funkcja f(x) ma skończoną pochodną na przedziale (a,b) to mówimy, że jest różniczkowalna na tym przedziale, gdy ponadto istnieją skończone pochodne jednostronne f'(a+) i f'(b+) to mówimy, że funkcja f(x) jest różniczkowalna na przedziale <a,b>. Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w punkcie x0, to jest w tym punkcie ciągła.
Interpretacją geometryczna pochodnej jest tangens kąta α, jaki tworzy z dodatnim kierunkiem osi OX styczna do krzywej y=f(x) w punkcie o odciętej x0.
Równanie tej stycznej jest następujące :
y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
Pochodną funkcji f'(x) będziemy oznaczać symbolem f"(x) i nazywać pochodną drugiego rzędu funkcji f(x).
A z kolei pochodną funkcji f"(x) oznaczamy symbolem f”'(x) i nazywamy pochodną rzędu trzeciego funkcji f(x) itd.
Pochodne rzędu n można wyrazić wzorem
f(n)(x)=(fn-1(x))'
Wzory na pochodne wybranych funkcji podstawowych podano w tabeli 2.
Funkcja |
Pochodna |
y=c |
y'=0 |
y=ax |
y'=na*xn-1 |
y=ax |
y'=axln(a) |
y=ex |
y'=ex |
y=sin(x) |
y'=cos(x) |
y=cos(x) |
y'=-sin(x) |
y=tg(x) |
y'= |
y=ctg(x) |
y'= |
y=loga(x) |
y'= |
y=ln(x) |
y'= |
y=arcsin(x) |
y'= |
y=arccos(x) |
y'= |
y=arctg(x) |
y'= |
y=arcctg(x) |
y'= |
tabela 2
Pochodna funkcji złożonej
Jeżeli f(x) jest funkcją różniczkowalną na zbiorze X i funkcja F(y) jest różniczkowalna na zbiorze Y wartości funkcji f(x), to funkcja złożona g(x)=F(f(x)) jest różniczkowalna na zbiorze X przy czym g'(x)=F'(y)*f'(x)=F'(f(x))*f'(x).
Jeżeli pochodna funkcji f(x) jest w każdym punkcie przedziału (a,b) dodatnia, to funkcja jest na tym przedziale rosnąca.
Jeżeli pochodna funkcji f(x) jest w każdym punkcie przedziału (a,b) ujemna, to funkcja jest na tym przedziale malejąca.
Jeżeli w każdym punkcie przedziału (a,b) pochodna funkcji f(x) jest równa zeru f'(x)=0 to funkcja jest stała na tym przedziale.
2.5.2. Twierdzenie de L'Hospitala
Jeżeli :
1. i są określone na pewnym sąsiedztwie S punktu x0,
2. granice i są niewłaściwe albo ==0
3. istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa)
to istnieje także granica przy czym
=
2.5.3. Ekstrema funkcji
Niech funkcja f(x) będzie określona na pewnym otoczeniu U(x0,δ) pewnego punktu x0, a S(x0,d) będzie sąsiedztwem punktu x0 o promieniu δ>0.
Funkcja f(x) ma w punkcie x0 maksimum lokalne wtedy i tylko wtedy gdy
[f(x)<f(x0)].
Funkcja f(x) ma w punkcie x0 minimum lokalne wtedy i tylko wtedy gdy
[f(x)>f(x )].
Maksimum i minimum funkcji nazywamy ekstremum funkcji.
Ekstremum funkcji nie należy mylić z największą lub najmniejszą wartością funkcji.
Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji f(x)
Jeżeli funkcja f(x) ma ekstremum w punkcie x0 i ma w tym punkcie pochodną to
f'(x0)=0
Pierwszy warunek wystarczający ekstremum.
Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x0 i ma w tym punkcie pochodną f'(x) na pewnym sąsiedztwie S(x0,δ) przy czym
f'(x)>0 dla x∈(x0-δ,x0)
f'(x)<0 dla x∈(x0,x+δ)
to funkcja ma w punkcie x0 maksimum właściwe.
Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x0 i ma w tym punkcie pochodną f'(x) na pewnym sąsiedztwie S(x0,δ) przy czym
f'(x)<0 dla x∈(x0-δ,x0)
f'(x)>0 dla x∈(x0,x0+δ) to funkcja ma w punkcie x0 minimum właściwe.
Drugi warunek wystarczający ekstremum
Jeżeli funkcja f(x) ma na pewnym otoczeniu punktu x0 pochodną f'(x) i pochodną f"(x) ciągłą w punkcie x0, a ponadto f'(x0)=0 oraz f"(x0)≠0 to funkcja f(x) ma w punkcie x0 maksimum właściwe, gdy f"(x )<0, natomiast minimum właściwe, gdy f"(x )>0.
2.5.4 Wklęsłość, wypukłość oraz punkty przegięcia krzywej
Niech funkcja f(x) będzie określona na przedziale (a,b). Zakładamy również, że na tym przedziale istnieje ciągła druga pochodna f"(x).
Jeżeli :
f"(x)<0
to krzywa o równaniu y=f(x) jest wklęsła na przedziale (a,b) rys. 2.8)
A jeżeli spełniony jest warunek :
f"(x)>0
to krzywa o równaniu y=f(x) jest wypukła na przedziale (a,b) (rys. 2.9).
rys2.8 rys2.9
Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia
Jeżeli punkt P0=(x0,f(x0)) jest punktem przegięcia krzywej o równaniu y=f(x) to f”(x0)
Warunek wystarczający istnienia punktu przegięcia
Jeżeli istnieje taka liczba δ>0, że
f"(x)<0 dla x∈(x0-δ,x0), f"(x0)=0
f"(x)>0 dla x∈(x0,x0+δ)
albo f"(x)>0 dla x∈(x0-δ,x0), f"(x0)=0
f"(x)<0 dla x∈(x0,x0+d)
to punkt P0=(x0,f(x0)) jest punktem przegięcia krzywej y=f(x).
2.5.5. Asymptoty
Prosta x=c jest asymptotą pionową lewostronną krzywej y=f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy granica lewostronna funkcji f(x) w punkcie C jest niewłaściwa.
Prosta x=c jest asymptotą pionową prawostronnną krzywej y=f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy granica prawostronna funkcji f(x) w punkcie C jest niewłaściwa.
Prosta x=c jest asymptotą pionową obustronną krzywej y=f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie asymptotą pionową lewostronną i prawostronną tej krzywej.
Jeżeli prosta y=mx+k jest asymptotą ukośną (poziomą gdy m=0) krzywej f(x) to m= oraz k= i odwrotnie, jeżeli istnieją granice właściwe w/w to prosta y=mx+k jest asymptotą ukośną (poziomą) krzywej y=f(x).
2.5.6. Badanie funkcji
Badanie funkcji ma na celu uzyskanie o niej wyczerpujących informacji. Przy badaniu funkcji należy wyznaczyć :
1. Dziedzinę funkcji
2. Granicę funkcji na krańcach przedziałów wchodzących w skład dziedziny
3. Asymptoty wykresu funkcji
4. Punkty przegięcia się wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych
5. Pierwszą pochodną funkcji
6. Ekstremum funkcji
7. Przedziały monotoniczności funkcji
8. Drugą pochodną
9. Punkty przegięcia funkcji
10.Przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji
11.Parzystość, nieparzystość, okresowość funkcji
12.Tabele wyników
13.Wykres funkcji
Zadania :
2.27 Obliczyć na podstawie definicji pochodną funkcji :
a)f(x)=x2 b)f(x)=x3 c)f(x)= d)f(x)=3x+1 e)f(x)= f)f(x)= g)f(x)= h)f(x)=2x3+5x2-x+3
2.28 Obliczyć pochodną funkcji :
a)f(x)=2sin(x)-xcos(x)+3 b)f(x)=5x15+x2-2 c)f(x)= d)f(x)=
e)f(x)= f)f(x)=
g)f(x)= h)f(x)=
i)f(x)= j)f(x)=
k)f(x)= l)f(x)=4xlog3(x)
ł)f(x)= m)f(x)=
n)f(x)=ln2(x)+ln(x2)+ln2 o)f(x)=cos(ln(x))
p)f(x)=tg(0,5*x)-2ctg(x) r)f(x)=
s)f(x)=cos3(2x) t)f(x)=
u)f(x)=xcos(x) w)f(x)= v)f(x)=
2.29 Obliczyć jaki kąt z dodatnią osią OX tworzy styczna do paraboli y=x2-3x+8 w punkcie o odciętej x=1.
2.30 Obliczyć pod jakim kątem przecinają się krzywe y=sin(x) i y=cos(x).
2.31 Obliczyć w jakim punkcie styczna do krzywej y=x3-3x2-9x+2 jest równoległa do osi OX
2.32 Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji
a)f(x)=x3(8-3x) b)f(x)=3x-x3
c)f(x)=2x+sin(x)
2.33
Obliczyć granicę funkcji za pomocą reguły de L'Hospitala.
a) b) dla a>0 i b>0
c) dla a>0 d) dla a>0
e) f)
g) h)
i) j)
k) l)
ł)
2.34 Znaleźć ekstrema funkcji :
a)y= b)y=(x-1)4+4x+1 c)y=
d)y=(x-1)ln(x-1) e)y=x3ex f)y=
2.35 Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji :
a) y= na przedziale <,>
b) y= na przedziale <-2,2>
c) y= na przedziale <0,2p>
2.36 Znaleźć największe pole prostokąta wpisanego w półkole o promieniu a.
2.37 Znaleźć największą objętość stożka wpisanego w kulę o promieniu 3.
2.38 Znaleźć liczbę dodatnią, której suma z liczbą do niej odwrotną jest najmniejsza.
2.39 Na danym kole opisano trójkąt równoramienny o najmniejszym polu. Obliczyć stosunek pola koła do pola tego trójkąta.
2.40 Na danej kuli opisano stożek o najmniejszej objętości. Obliczyć stosunek objętości kuli do objętości tego stożka.
2.41 Wykazać, że wykres funkcji :
a) y=ln(x+3) dla x∈(-3,+Ą)
b) y= dla x∈(,1)
jest wklęsły.
2.42 Wykazać, że wykres funkcji :
a)y=e-2x dla x∈(-∞,+∞)
b)y= dla x∈(-2,+∞)
jest wypukły.
2.43 Znaleźć punkty przegięcia wykresu funkcji :
a)y= b)y= c)y=x2ln(x)
2.44 Zbadać funkcję i wykonać wykres :
a)f(x)=(x+1)2(x-1) b)f(x)= c)f(x)=x2ex-1
d)f(x) e)f(x)= f)f(x)=
g)f(x)= h)f(x)=
2.6 RACHUNEK CAŁKOWY
Podstawowe wiadomości teoretyczne
2.6.1. całka nieoznaczona
Niech daną będzie funkcja f(x) określona w przedziale otwartym (skończonym lub nieskończonym).
Funkcja F(x) nazwiemy funkcją pierwotną funkcji f(x) w danym przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy
[F'(x)=f(x)].
Jeżeli F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) to zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f(x) jest postaci F(x)+c gdzie c - jest dowolną stałą.
Twierdzenie o istnieniu funkcji pierwotnej :
Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale X to ma na tym przedziale funkcję pierwotną.
Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f(x) nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f(x) i oznaczamy symbolem :
.
Mamy więc =F(x)+C,
gdzie F(x) - funkcja pierwotna
x - zmienna całkowania
c - stała całkowania
f(x) - funkcja podcałkowa
f(x)dx - wyrażenie podcałkowe
Całą lewą stronę wyrażenia czytamy " całka f(x) dx".
Interpretacja geometryczna funkcji pierwotnej
Niech =F(x)+C wtedy funkcja F(x) jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji f(x) to znaczy F'(x)=f(x).
Zauważmy, że styczna do krzywej y=F(x)+C ma w punkcie x=x0 współczynnik kątowy
tg(α)==f(x0).
Zatem całkując szukamy krzywych dla których znamy w każdym punkcie współczynnik kątowy stycznej.
Krzywe te nazywamy krzywymi całkowymi.
Jeżeli mamy więc krzywą całkową y=F(x) to przesuwając ją równolegle o wektor =[0,C] otrzymujemy inną krzywą całkową y=F(x)+C co pokazuje rys. 2.10
rys2.10
Mając dane współrzędne punktu P=(x0,y0) możemy wyznaczyć wartość stałej c dla krzywej y=F(x)+c przechodzącej przez dany punkt P.
y0=F(x0)+c ⇒ c=y0-F(x0)
więc równanie krzywej przechodzącej przez punkt P ma postać :
y=F(x)+y0-F(x0)
Liczby x0 i y0 nazywamy wartościami początkowymi, a warunek nałożony przez nie na krzywą warunkiem początkowym.
Z definicji całki nieoznaczonej oraz znanych wzorów na pochodne wynikają bezpośrednio tzw. wzory podstawowe rachunku całkowego, które są umieszczone w tabeli 3.
Jeżeli funkcje f(x) i g(x) mają w pewnym przedziale X funkcje pierwotne to funkcje f(x)+g(x) oraz f(x)-g(x) mają także funkcje pierwotne przy czym zachodzą równości :
[f(x)+g(x)]dx=f(x)dx+g(x)dx
[f(x)-g(x)]dx=f(x)dx-g(x)dx
przy obliczaniu całek iloczynu funkcji bardzo pomocne jest twierdzenie o całkowaniu przez części :
Jeżeli funkcja u(x) i v(x) mają w pewnym przedziale ciągłe pochodne u'(x) i v'(x) to zachodzi wzór na całkowanie przez części
u(x)v'(x)dx=u(x)v'(x)- v(x)u'(x)dx
Przy całkowaniu wielu funkcji bardzo pomocny jest wzór na całkowanie przez podstawienie
Całka |
Funkcja pierwotna |
|
C |
|
, n≠-1 |
, a>0, a≠1 |
|
|
-cos(x)+C |
|
-ctg(x)+C |
|
x+C |
|
ln|x|+C |
|
ex+C |
|
cos(x)+C |
|
tg(x)+C |
|
-arcctg(x)+C arctg(x) |
|
-arccos(x)+C arcsin(x)+C |
tabela 3.
Jeżeli f(u) jest całkowalna w przedziale (a,b) i funkcja u=g(x) ma ciągłą pochodną w przedziale (α,ß) oraz a<g(x)<b, to zachodzi wzór zwany wzorem na całkowanie przez podstawienie :
f(g(x))*g'(x)dx=f(u)du dla u=g(x).
Należy pamiętać, że przy podstawianiu g(x)=u zastępujemy "g'(x)dx" przez du, traktując symbole dx i du jako różniczki "x" i "u"
Całkowanie funkcji wymiernych
Funkcję w(x)= nazywamy funkcją wymierną.
Każdą funkcję wymierną można przedstawić jednoznacznie w postaci sumy pewnego wielomianu oraz skończonej liczby ułamków prostych pierwszego i drugiego rodzaju.
w(x)=
gdzie Rp(x) - wielomian stopnia p<m zwanym resztą z dzielenia wielomianów Wn(x) przez Wm(x).
Ułamek nazywamy ułamkiem pierwszego rodzaju, a ułamek nazywamy ułamkiem drugiego rodzaju.
Całkowanie funkcji wymiernej zapisujemy więc następująco :
Pierwsza całka po prawej stronie jest całką z wielomianu, a druga całką z ułamka pierwszego lub drugiego rodzaju.
Całkę z ułamka pierwszego rodzaju rozwiązujemy przez podstawienie
⇒
Całkowanie ułamka prostego drugiego rodzaju rozpoczynamy od prostych przekształceń
ozn.
i
Całkę I1 obliczamy przez podstawienie x2+px+q=t, (2x+p)dx=dt
tak więc , a następnie rozwiązujemy dalej jak całkę z ułamka pierwszego rodzaju.
Przed obliczeniem całki I2 zauważymy, że
tak więc podstawiając mamy
2.6.2. Całka oznaczona
Niech f(x) będzie funkcją określoną i ciągłą na przedziale <a,b> i niech F(x) będzie jakąkolwiek jej funkcją pierwotną na tym przedziale.
Liczbę F(b)-F(a) nazywamy całką oznaczoną funkcji f(x) na przedziale <a,b> i oznaczamy symbolem
Mamy więc :
gdzie
f(x) - funkcja podcałkowa
<a,b> - przedział całkowania
a - dolna granica b - górna granica całkowania
Interpretacja geometryczna całki oznaczonej
Niech f(x) będzie funkcją ciągłą i nieujemną na przedziale <a,b>.
Geometrycznie całka oznaczona określa pole obszaru płaskiego "D" ograniczonego krzywą y=f(x), osią OX oraz prostymi x=a i x=b (rys 2.11)
rys 2.11.
Pole obszaru płaskiego D zapisujemy
|D|=
Własności całki oznaczonej
1) Jeżeli funkcje f(x) i g(x) są ciągłe na przedziale <a,b> to
oraz
, gdzie k - dowolna stała
2) Jeżeli funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale <a,b> , to
oraz
3) Jeżeli funkcja f(x) jest całkowalna w przedziale <a,b> i jeżeli a<c<b to
4) Jeżeli funkcja jest ciągła w przedziale <a,b> to istnieje taki punkt c∈(a,b) , że
stąd
Otrzymaliśmy wzór na wartość średnią funkcji f(x) w przedziale <a,b>.
Całki niewłaściwe
Rozważmy funkcję f(x) w przedziale <a,b>. Niech funkcja f(x) będzie nieograniczona w otoczeniu punktu x=b oraz ograniczona w każdym przedziale <a,b-ε), ε>0.
Wówczas całkę z funkcji f(x) w przedziale <a,b> określamy następująco :
o ile istnieje granica skończona po prawej stronie równości.
Całkę tę nazywamy całką niewłaściwą pierwszego rodzaju, a punkt x=b punktem niewłaściwym.
Dla niewłaściwości w lewym końcu przedziału x=a mamy analogicznie
Jeżeli punkt niewłaściwy x=c znajduje się wewnątrz przedziału <a,b> to znaczy a<c<b i jest jedynym punktem niewłaściwym, to
jeżeli oczywiście rozwiązaniem całek po prawej stronie równości są skończone granice.
Jeżeli funkcja f(x) w przedziale <a,b> ma więcej punktów niewłaściwych (skończoną liczbę) to dzielimy przedział <a,b> na części ograniczone punktami niewłaściwymi .
Obliczamy całki niewłaściwe w tych podprzedziałach i jeżeli istnieją to ich sumę nazywamy całką niewłaściwą funkcji f(x) w przedziale <a,b>.
Niech funkcja f(x) będzie określona i ciągła w przedziale <a,+∞>.
Całkę funkcji f(x) w w/w przedziale wyznaczamy ze wzoru :
o ile istnieje granica skończona po prawej stronie wzoru.
Całkę tą nazywamy całką niewłaściwą drugiego rodzaju.
A jeżeli niewłaściwość występuje w lewym końcu przedziału określoności funkcji f(x) to wtedy :
o ile istnieje skończona granica po prawej stronie wzoru.
Można rozważać również całki w przedziale (-∞,+∞) wtedy :
Jeżeli istnieją skończone granice określające całki niewłaściwe pierwszego i drugiego rodzaju, to całki te nazywamy zbieżnymi, w przeciwnym przypadku nazywamy je rozbieżnymi. Geometrycznie całka niewłaściwa o ile istnieje może być interpretowana jako pole figury płaskiej.
W przypadku całki pierwszego rodzaju figura rozciąga się nieograniczenie w kierunku osi Y.
W przypadku całki drugiego rodzaju przedział całkowania jest nieskończony.
Zadania :
2.45 Obliczyć całkę
a) b)
c)
d) e)
f) g)
h) i)
j) k)
l) ł)
m) n) o) p)
r) s)
t) u)
w) v) x) y)
z) ź)
2.46 Obliczyć całkę
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) j)
k) l)
ł) m)
2.47 Obliczyć całkę
a) b) c)
d) e) f)
g) h)
2.48 Obliczyć całkę
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) k)
l) ł)
2.49 Obliczyć pole obszaru ograniczonego łukiem paraboli y=x2-1, osią OX oraz prostymi x=-2, x=2.
2.50 Obliczyć pole obszaru płaskiego ograniczonego krzywym:
y=, y=x i x=2.
2.51 Obliczyć pole figury ograniczonej parabolą y=x2 i prostą y=4x.
2.52 Obliczyć pole figury zawartej między krzywymi :
a)y=x3 i y=4x
b)y=2x3 i y=
c)y=x2 i y=
d)y= i y=
e)y=x2-x-6 i y=-x2+5x+14
f)y= i y=
g)y=x2 i x2-y2-4x=0
2.53 Obliczyć pole figury ograniczonej wykresem funkcji y=cos(x), osią OX oraz prostymi x= i x=.
2.54 Obliczyć pole figury ograniczonej krzywą y=-x2+4x-3 oraz styczną do tej krzywej w punkcie A=(3,0) i B=(0,-3).
2.55 Obliczyć pole obszaru płaskiego ograniczonego parabolą y2=4x i prostą y=2x-4.
2.56 Obliczyć pole obszaru płaskiego ograniczonego krzywą y=ln(x) oraz prostymi y=0 i x=e.
2.57 Obliczyć wartość średnią funkcji y=sin(x) w przedziale <0,>.
2.58 Obliczyć całki (o ile istnieją)
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j)
2.59 Obliczyć pole obszaru płaskiego ograniczonego krzywą y= oraz osią OX.
2.60 Obliczyć pole obszaru płaskiego ograniczonego krzywą y= oraz osią OX w przedziale 0≤x≤9.