Zadanie proste 2, Automatyka i Robotyka, Semestr I, Podstawy Sterowania Robotów i Maszyn, Podstawy sterowania robotów i maszyn, Zadanie proste


Wydział: MT Gliwice, dn. 2.04.2001r

Kierunek: AiR

Sem.: VI

Gr. Dziek.: III

Mateja Mateusz

Podstawy Sterowania Robotów

Zadanie proste kinematyki

Wstęp teoretyczny

Skutecznym aparatem matematycznym wykorzystywanym w robotyce jest tzw. Notacja D-H (Denavita-Hartenberga), oparta na rachunku macierzowym. Służy ona do analiz względnego położenia w innym układzie. Wygodnie jest tu wprowadzić współrzędne jednorodne. Współrzędnymi jednorodnymi nazywać będziemy czwórkę dowolnych liczb spełniających warunek taki, że:

  1. wszystkie nie mogą być jednocześnie równe zeru,

  2. wszystkie są związane poprzez współrzędne kartezjański i zachodzi pomiędzy nimi relacja (dla warunku, że zawsze 0x01 graphic
    ),

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
.

Parametr 0x01 graphic
nazywany jest czasami współczynnikiem skali. Wykorzystując współrzędne jednorodne, wektor 0x01 graphic
opisujący położenie punktu w układzie kartezjańskim można teraz zapisać w postaci:

0x01 graphic

przy warunku, że 0x01 graphic
.

Rozważmy teraz przypadek, w którym pozycja P(x,y,z,a,b,c) jest zdefiniowana w układzie UB. Z kolei położenie układu UB w układzie UA jest określone wektorem położenia 0x01 graphic
. Zachodzi pytanie, jak można określić pozycję P układzie UA?

Aby to zagadnienie wyjaśnić, musimy zastanowić się najpierw nad sposobem zapisu formalnego orientacji (położenie określa wektor 0x01 graphic
). Orientację przestrzenną układu współrzędnych związanego z pozycją P określają trzy kąty a, b, c.

Ponieważ osie układu kartezjańskiego, przyjętego w naszych rozważaniach jako podstawowego, są do siebie wzajemnie prostopadłe, więc wektory jednostkowe tych osi również. Przyjmijmy zatem, ze orientację układu współrzędnych pozycji P, względem nieruchomego układu odniesienia wyraża tzw. Macierz kosinusów kierunkowych, gdzie każdy element tej macierzy jest rzutem wektora jednostkowego, związanego z układem obróconym na kierunek wektora jednostkowego układu odniesienia, co przedstawia iloczyn skalarny tych dwóch wektorów.

Wykorzystując macierz kosinusów kierunkowych można powiedzieć, że jeżeli znane jest położenie początku układu UB w układzie UA, znana jest macierz kosinusów kierunkowych C układu UB względem UA, to położenie dowolnej pozycji P określone w układzie UB można wyrazić UA poprzez zależność macierzową:

0x01 graphic

gdzie poszczególne parametry xn oznaczają współrzędne jednorodne, n=1,2,3,4, przy czym:

0x01 graphic
- położenie początku układu UB w układzie UA,

0x01 graphic
- wsp. Pozycji P wyrażone w układzie UB,

0x01 graphic
- wsp. Pozycji P w układzie UA,

0x01 graphic
- macierz kosinusów kierunkowych określających orientację układu UB względem UA.

Jak łatwo zauważyć, przedstawiona zależność zawiera w drugiej macierzy (o wymiarze 4x4) dodatkowy wiersz, nie omawiany wcześniej, składający się z trzech zer. Przez dodanie dodatkowego wiersza uzyskano macierz symetryczną 4x4, dzięki czemu umożliwiono wykonanie iloczynu macierzowego odpowiednio do zasad rachunku macierzowego.

Jeżeli przyjmiemy, że:

0x01 graphic
,

uzyskamy równość czwartej wsp. w obu układach, wtedy:

0x01 graphic

gdzie parametry x, y, z oznaczają w odpowiednio wartości współrzędnych wyrażone w odpowiednim układzie wsp.

Powyższe wyrażenie opisuje ogólna zasadę, która mówi, że przemieszczenie dokonane w jednym układzie, a wyrażone w drugim jest równe iloczynowi macierzy orientacji i położenia drugiego układu względem pierwszego oraz wektora położenia w drugim układzie. Proces określania współrzędnych jakiegoś elementu w jednym układzie współrzędnych na podstawie znajomości położenia (relacji) tego układu w innym nazywamy przekształceniem lub transformacją współrzędnych. Proces wyrażania układu UB względem układu UA będziemy oznaczać jako TAB (transformacja).

Zadanie

Znaleźć współrzędne punktu leżącego na końcu ostatniego ogniwa.

Dane:

0x01 graphic

Macierz rotacji pierwszego układu dana jest wzorem

0x01 graphic
,

natomiast macierz przesunięcia układu:

0x01 graphic
.

Dla drugiego układu (prostopadłego do poprzedniego - γ=90°) macierz obrotu wygląda następująco:

0x01 graphic
,

macierz transformacji

0x01 graphic
.

Macierz rotacji następnego układu (bez przesunięcia):

0x01 graphic
.

Macierze (rotacji i transformacji) czwartego pokazano poniżej

0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

Mając wszystkie macierze rotacji i transformacji, możemy przystąpić do obliczenia wektora punktu (współrzędnych szukanego punktu).

0x01 graphic

Wartości współrzędnych wyliczonych metodą wykreślną podano poniżej:

x=-0.1200m

y=-0.2025m

z=0.3650m

Jak widać, największy błąd sięga około 6cm. Mógł on zostać spowodowany pewną niedokładnością przyrządów (zwłaszcza kątomierza), co w połączeniu z podziałką 1:2,5 zaowocowało tak dużym błędem. Należy jeszcze przypomnieć, że w wartości współrzędnej „z”, zawarte są błędy pochodzące od wsp. „x” i „y”. Współrzędna zetowa została wyznaczona jako ostatnia, ponieważ wcześniej należało ustalić długości dwóch ostatnich ramion robota (ich rzutów na oś y).



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
projekt 2, Automatyka i Robotyka, Semestr 1, Podstawy Sterowania, projekt2-Proste zadanie kinematyki
projekt 1, Automatyka i Robotyka, Semestr 1, Podstawy Sterowania, projekt2-Proste zadanie kinematyki
Interpolacja, Automatyka i Robotyka, Semestr I, Podstawy Sterowania Robotów i Maszyn, Podstawy stero
robocik, Automatyka i Robotyka, Semestr I, Podstawy Sterowania Robotów i Maszyn, Projekt2
mój projekt, Automatyka i Robotyka, Semestr I, Podstawy Sterowania Robotów i Maszyn
mój projekt KB, Automatyka i Robotyka, Semestr I, Podstawy Sterowania Robotów i Maszyn
interpolacja projekt, Automatyka i Robotyka, Semestr 1, Podstawy Sterowania, projekt1-Interpolacja
interpolacje projekt2, Automatyka i Robotyka, Semestr 1, Podstawy Sterowania, projekt1-Interpolacja
interpolacja projekt1, Automatyka i Robotyka, Semestr 1, Podstawy Sterowania, projekt1-Interpolacja
tsis kolos troche pytan, Automatyka i Robotyka, Semestr 4, Technologia sterowania
PKM - opracowania roznych pytan na egzamin 6, Automatyka i Robotyka, Semestr 4, Podstawy konstrukcji
projekt dla rudego, Automatyka i Robotyka, Semestr 4, Podstawy konstrukcji maszyn, Projekt
pnom wyklad11, Automatyka i Robotyka, Semestr 1, Podstawy Nauki o materialach, Wyklady
pnom - sciaga, Automatyka i Robotyka, Semestr 1, Podstawy Nauki o materialach, stopy
Pytania 2, Automatyka i Robotyka, Semestr 4, Podstawy konstrukcji maszyn, Pytania i pomoce
opracowanie TSS, Automatyka i Robotyka, Semestr 4, Technologia sterowania
tss, Automatyka i Robotyka, Semestr 4, Technologia sterowania
PKM pytania-krzych, Automatyka i Robotyka, Semestr 4, Podstawy konstrukcji maszyn, Teoria

więcej podobnych podstron