Zaliczenie - 2012

1. Podzielność liczb całkowitych. Wlasności.

2. Algorytm Euklidesa. Rozszerzony algorytm Euklidesa.

3. Liczby pierwsze i ich własności.

4. Funkcja Eulera

5. Twierdzenie Eulera. Male twierdzenie Fermata

6. Kongruencje liniowe

7. Chińskie twierdzenie o resztach

8. Równania diofantyczne

9. Działanie binarne

10. Grupy i ich własności

11. Podgrupy, podgrupy normalne, warstwy i grupy ilorazowe

12. Homomorfizmy, izomorfizmy grup

13. Twierdzenie o homomorfizmie grup

14. Grupa permutacji

15. Pierścienie, definicje i przykłady.

16. Dzielniki zera i dziedzina całkowitości.

17. Ciała, definicje i przykłady.

18. Podpierścieni i homomorfizmy pierścieni. Jądro i obraz homomorfizmu.

19. Ciało kwaternionów.

20. Ideały pierścieni.

21. Pierścień ilorazowy.

22. Pierścień ideałów głównych.

23. Iloczyn prosty grupy i pierścieni.

24. Wielomiany jednej zmiennej.

25. Algorytm Euklidesa dla wielomianów jednej zmiennej.

26. Schemat Hornera.

27. Pierwiastki wielomianu. Twierdzenie Bezout.

28. Pierścienie Euklidesowe.

29. Rozszerzony algorytm Euklidesa dla wielomianów jednej zmiennej.

30. Największy wspólny dzielnik wielomianów.

31. Wielomiany nad ciałem liczb zespolonych i liczb rzeczywistych.

32. Wielomiany o współczynnikach całkowitych i wymiernych.

33. Wielomiany nierozkładalne

34. Kryterium Eisensteina

35. Rozszerzenie ciał

36. Ciała skończone

37. Liczby algebraiczne i przestępne

38. Ciała algebraiczne domknięte

Przykłady do zaliczenia z algebry

1. Sprawdzić, które z liczb 123, 653, 1241 są pierwsze.

2. Rozłóż liczbę 849 na czynniki pierwsze w Z.

3. Wyznaczyć iloraz oraz resztę przy dzieleniu liczby całkowitej a przez liczbę całkowitą b,
jeśli:
.

4. Obliczyć za pomocą algorytmu Euklidesa:

NWD(1540, 756).

NWD(2891, 1589).

5. Znajdź liczby x,y ∈Z takie że

33x+42y=NWD(33,42).

.

6. Obliczyć funkcję Eulera

ϕ(144).

ϕ(60)

ϕ(250)

ϕ(1000000)

ϕ(1053)

ϕ(5844)

7. Znajdź resztę:

2003²⁰⁰⁵ (mod 100)

95³⁵¹ (mod 14)

45¹³³ (mod 6)

10¹⁰⁰ + 11¹⁰⁰ (mod 17)

6¹⁰⁰ (mod 35)

8⁹⁰⁰ (mod 29)

59⁶⁶ (mod 17)

13²¹⁶ (mod 19)

8. Udowodnić:

x⁷ ≡ x (mod 42)

x⁵⁶¹ ≡ x (mod 11)

9. Udowodnić:

5²ⁿ⁺³ + 3³ⁿ⁺³ ⋅ 2n ≡ 0 (mod 10)

13⋅(-50)ⁿ + 17⋅ 40ⁿ -30 ≡ 0 (mod 1989)

30⁹⁹ + 61¹⁰⁰ ≡ 0 (mod 31)

43¹⁰¹ + 23¹⁰¹ ≡ 0 (mod 66)

11¹⁰ - 1 ≡ 0 (mod 100)

7¹²⁰ - 1 ≡ 0 (mod 143)

10. Znajdź ostatnią cyfra:

2⁵⁵⁵, 3¹⁴⁰, 13²¹⁹, 17⁵⁰⁰

11. Znajdź dwie ostatnie cyfry:

3¹³⁰, 3¹⁵⁹, 7⁴⁴⁴, 105¹⁰⁰

12. Udowodnić:

2⁶ⁿ⁺¹ + 3²ⁿ⁺² ≡ 0 (mod 11)

13. Rozwiąż kongruencję:

8x ≡ 5 (mod 11)

3x ≡ 2 (mod 4)

25x ≡ 8 (mod 29)

14. Wyznaczyć wszystkie całkowite rozwiązania równania

27x+15y=13

12x+20y=14

11x+31y=1

15. Obliczyć τσ, στ², στσ^-1, στ^-3, gdzie

σ =
, τ =
,

16. Znaleźć permutacje
spełniającą równanie
, gdzie

17. Które z następujących zbiorów są grupami względem danego działania. Uzasadnij
odpowiedzi.

1. Zbiór {-1,1} względem mnożenia liczb;

2. Zbiór liczb zespolonych, dla których
   względem dodawania.

18. Jakiego rzędu podgrupy mogą istnieć w grupie
? Znajdź wszystkie podgrupy grupy
.

19. W grupie M₂(Z) macierzy nieosobliwych względem mnożenia macierzy obliczyć rzędy
elementów

,

20. Udowodnić, że Z[i]= {a+bi | i²=-1; a,b ∈Z } jest pierścienią.

21. Udowodnić, że Q[√7] = { a+b√7 | a,b ∈ Q } jest podpierscienią w R.

22. Udowodnić, że Z₆ jest pierścienią z dzielnikami zero.

23. Udowodnić, że Z₅ jest pierścienią bez dzielników zero.

24. Sprawdzić, czy funkcja f: M₂(R) → R, f(A) = det(A) dla A ∈ M₂(R), jest homomorfizmem pierścieni. Jeśli jest, to wyznaczyć Ker(f) oraz Im(f).

25. Obliczyć w ciele kwaternionów: u +v, uv, u^-1, v^-1, gdzie

u= 2e+j-5k, v= e+2i-j

26. Obliczyć w ciele kwaternionów: u +v, uv, u^-1, v^-1, gdzie

u= e-j+3k, v= i-4k

27. Obliczyć (2x³+3x²+1)(2x²+x+2) w pierścieni wielomianów Z₄[x].

28. Obliczyć NWD wielomianów

x³-7x²+12x-4 oraz x²+x-6 w Z[x].

x⁴+1 oraz x²+1 w Z[x].

7(x-1)³(x+2)²(x-3)(x²+4)² ∈R[x] oraz -3(x-1)(x+2)³(x-3)²(x²+4) ∈R[x]

x³ - 7x² +12x -4 oraz x² + x - 6 w R[x].

29. Znaleźć wartość wielomianu x⁵+ 2x⁴ +x³ + 4x²+3x + 1 w pierścieni wielomianów Z₅[x] dla x=4.

30. Znajdź wielomiany s(x),t(x) ∈Z₃[x] takie, że a(x) s(x) +b(x)t(x)=NWD(a(x),b(x)), gdzie a(x)= x⁴+x+1, b(x)=x³ + x² +x ∈Z₃[x].

31. Znaleźć a,b ∈ R, dla których wielomian 2x³ -3x² -ax +b ∈ R[x] przy dzieleniu przez x+1 daje resztę 7, a przy dzieleniu przez x-1 daje resztę 5.

32. Obliczyć wszystkie pierwiastki wielomianu f(x) = 2x⁴+x³+ x²+3x+3 w pierścieniu Z₅[x].

33. Obliczyć wszystkie pochodne wielomianu f(x) = 2x⁴+3x³+2 x²+3x+3 w pierścieniu Z₄[x].

34. Podzielić 17+11i przez 3+4i w Z[i].

35. Podzielić 3x⁴+4x³-x²+5x-1 przez 2x²+x+1 w Q[x].

36. W pierścieniu Z₅[x] podzielić wielomian f(x) = 2x⁴+x³+ x²+3x+3 przez wielomian g(x)=3x²+x+4.

37. Korzystając ze schematu Hornera określić krotność pierwiastka x₀=4 wielomianu f(x) = 3x⁴+3x³+x²+4 w pierścieni Z₅[x].

38. Znaleźć wszystkie pierwiastki całkowite wielomianu P(x) = x⁴ - 7x³ + 4x² +3

39. Stosując kryterium Eisensteina sprawdzić, czy wielomian

f(x) = x⁴ -6x³ + 18x² +12x-10

jest rozkładalny w pierścieniu Q[x].

40. Rozłóż wielomian x³-4x +1 na czynniki nierozkładalne w Q[x].

41. Rozłóż wielomian x⁵-1 na czynniki nierozkładalne w Q[x].

42. Rozłóż wielomian x³-4x +1 na czynniki nierozkładalne w Q[x].

43. Znając, że x₁=1+2i jest pierwiastkiem wielomianu P(x) = x⁴-x³+x²+9x-10, znaleźć pozostałe pierwiastki tego wielomianu.

44. Znaleźć wszystkie pierwiastki wielomianu P(z) = 2z² +(6-2i)z + 4 -3i

45. Rozłożyć wielomian W(z) = z⁴ +1 na iloczyny dwumianów w C[x].

46. Przedstawić wielomian W(z) = x⁴ + 16 w postaci wielomianów rzeczywistych nierozkładalnych w R[x].

47. Przedstawić wielomian W(z) = x⁴ + x² + 1 w postaci wielomianów rzeczywistych nierozkładalnych w R[x].

48. Pokazać, że
jest liczbą algebraiczną nad Q. Znajdź wielomian w Q[x] pierwiastkiem którego jest liczba
.

49. Znajdź warstwy lew- i prawostronne podgrup H= A₃ i K={(1), (12)} w grupie S₃.

50. Znajdź grupę ilorazową S₃/A₃.

51. Znajdź grupę ilorazową {Z/5Z, +}.

52. Zapisz tabelkę dodawania i mnożenia w pierścieni Z₂ ×Z₃.

53. Wykazać, że K=Z₂[x]/(x²+x+1) jest ciałem. Zapisać tabelkę operacji w K.

54. Wykazać, że K=Z₃[x]/(x²+1) jest ciałem. Ile elementów ma ciało K?

55. Wykazać, że K=Z₃[x]/(x³+2x+1) jest ciałem. Ile elementów ma ciało K?

---