TEST NIEZALEŻNOŚCI χ² (CHI - KWADRAT)

Badanie zbiorowości ze względu na dwie cechy ma zazwyczaj na celu poszukiwanie zależności między tymi cechami. Poszukiwanie to ma sens tylko wtedy gdy między cechami istnieje logicznie uzasadniony związek przyczynowo - skutkowy.

Analizując związek przyczynowo skutkowy między cechami ustalamy, która z cech może być traktowana jako niezależna a którą uznamy za cechę zależną. W niektórych przypadkach można stwierdzić zarówno wpływ cechy X na Y jak i odwrotnie. Mówimy wówczas o współzależności cech.

Zależność między cechami może mieć dwojaki charakter.

• Po pierwsze funkcyjny polegający na tym, że każdej wartości zmiennej X odpowiada ściśle określona dokładnie jedna wartość zmiennej Y.

• Po drugie statystyczny inaczej pro balistyczny definiowany za pomocą pojęć z rachunku prawdopodobieństwa. Mówiąc najprościej zależność statystyczna polega na tym , że zależne są rozkłady prawdopodobieństwa cech X i Y. W praktyce oznacza to, że wpływ jednej cechy na drugą zależy również od czynników losowych wspólnie działających na te cechy ,oprócz innych czynników działających na każdą z nich oddzielnie.

W sytuacji gdy badamy zbiorowość statystyczną jednocześnie ze względu na dwie cechy X i Y zachodzi konieczność porządkowania danych z uwzględnieniem wariantów każdej z tych cech. Jeżeli zamierzamy badać występowanie zależności statystycznej między cechami dane musimy uporządkować w tablicy korelacyjnej.

X	Y				ni•
		Y1	Y2	…		Yr
X1	n11	n12	…	n1r	n1•
X2	n21	n21	…	n2r	n2•
…	…	…	…	…	…
XS	ns1	ns2	…	nsr	ns•
n•j	n•1	n•2	…	n•r	n

Załóżmy , że dane dotyczące cechy X mierzalnej lub niemierzalnej otrzymane dla elementowej zbiorowości pogrupowane zostały w S-wariantów X₁, X₂ , X₃...........X_S zaś dane statystyczne cechy Y mierzalnej lub niemierzalnej pogrupowane zostały w R- wariantów Y₁ , Y₂, Y₃ ..............Y_r . Dla każdej jednostki statystycznej mamy zatem parę (X,Y) wariantów obu tych cech i możemy obliczyć liczbę jednostek w zbiorowości mających dany układ wariantów tych cech. Liczbę taką oznaczamy n_ij . wyniki tego grupowania podamy w tabeli.

W skrajnej prawej kolumnie umieszczono liczebności

_r

n_i• = ∑ n_ij

^j=1

oznaczające liczby jednostek mających wariant X_i cechy X niezależnie od wariantu Y.

W dolnym wierszu umieszczono liczebności

_s

n_•j = ∑ n_ij

ⁱ⁼¹

oznaczające liczbę jednostek mających wariant Y_i cechy Y niezależnie od wariantu cechy X

Ogólna liczebność

_{r s s r}

n = ∑ ∑ n_ij = ∑ n_i• = ∑ n_•j

^{j=1 i=1 i=1 j=1}

Przykład:

Badano preferencje pracujących mieszkańców dużych miast przy wyborze serwisów informacyjnych w radiu lub telewizji i otrzymano następuje dane :

RODZAJ ŚRODKA PRZEKAZU	WIEK MIESZKAŃCÓW (W LATACH)				ni•
		20-30	30-40	40-50		50-60
RADIO	50 (135•400) / 900 = (60)	125 (230•400) / 900 = (102,22)	70 (200•400) / 900 = (88,89)	155 (335•400) / 900 = (148,89)	400
TELEWIZJA	85 (135•500) / 900 = (75)	105 (230•500) / 900 = (127,78)	130 (200•500) / 900 = (111,11)	180 (335•500) / 900 = (186,1)	500
n•j	135	230	200	335	900

Tabela :Liczba mieszkańców w zależności od wieku i wybranego środka przekazu

Problem oceny współzależności lub zależności jednej z nich od drugiej występuje ze względu na rodzaj cech w różnych sytuacjach:

1. Gdy obie cechy są mierzalne

2. Gdy obie cechy są niemierzalne

3. Gdy jedna z cech jest mierzalna a druga niemierzalna

Ponadto w praktyce często zachodzi konieczność oceny czy badane cechy są zależne w całej zbiorowości generalnej gdy mamy do dyspozycji jedynie wyniki z próby. We wszystkich tych sytuacjach możemy zastosować test niezależności χ²

Hipoteza : H₀ cechy X i Y są niezależne

H₁ cechy X i Y nie są niezależne

Będziemy chcieli te warunki określone w hipotezach zapisać w sposób formalny. Aby to osiągnąć wprowadzamy oznaczenia:

n_ij

p_ij = ——

n

Częstość występowania w próbie jednostek o wariantach (X_i , Y_j) badanych cech:

n_i•

p_i• = ——

n

Częstość występowania w próbie jednostek o wariancie cechy X niezależnie od wariantu cechy Y

n_•j

p_i• = ——

n

Częstość występowania w próbie jednostek o wariancie Y_i cechy Y niezależnie od wariantu cechy X.

Przy pomocy tych oznaczeń , hipotezy zapiszemy następująco :

H₀ : p_ij = p_i• p_•j

H₁ : p_ij ≠ p_i• p_•j

Dla danych w tablicy korelacyjnej wprowadzamy liczebności teoretyczne

_^ n_i• • n_•j

n_ij = ————

n

i jako sprawdzian hipotezy wybieramy statystykę χ²

_^

_{s r} ( n_ij - n_ij )²

χ² = ∑ ∑ —— _^——

^{i=1 j=1} n_ij

Statystyka ta ma przy założeniu prawdziwości hipotezy H₀ rozkład χ² o l = (5-1) (α -1)

stopniach swobody.

Po zapisaniu hipotezy zerowej i alternatywnej tok postępowania jest następujący:

1. Dla danego poziomu istotności α i ustalonej liczby stopni swobody l znajdujemy w tablicach rozkładu

χ² taką wartość χ² α aby p ( χ² ≥ χ² α ) =

2. Wyznaczamy obszar krytyczny pamiętając że w teście niezależności χ² jest to zawsze obszar prawostronny

OK = ( χ² α ; ∞ )

3. Obliczamy wartość statystyki χ² dla danych z próby i podejmujemy decyzje:

• Jeśli obliczona wartość należy do obszaru krytycznego odrzucamy hipotezę o niezależności

• Jeśli nienależny do tego obszaru stwierdzamy , że nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy niezależności

Aby wyznaczyć wartość statystyki χ² budujemy tabelę obliczeń pomocniczych

nij	^ nij	^ nij - nij	^ ( nij - nij ) ^2	^ ( nij - nij ) ^2 ——^—— nij
50	60	-10	100	1,667
125	102,22	22,778	518,83	5,075
70	88,89	-18,889	356,79	4,014
155	148,89	6,111	37,35	0,251
85	75	10	100	1,333
105	127,78	-22,778	518,83	4,060
130	111,1	18,889	356,79	3,211
180	186,11	-6,111	37,346	0,201
19,81

χ² = 19,81

Przyjmujemy poziom istotności α = 0,05

W przykładzie mamy 2 warianty cech X i 4 warianty cechy Y

l- liczba stopni swobody

l = (2-1) (4-1) = 3

χ² α = 7,815

Obszar krytyczny:

OK. = ( 7,815 ; ∞ )

7,18 χ² 19,81

(zawsze prawostronny obszar krytyczny)

Na poziomie istotności α = 0,05 odrzucamy hipotezę o niezależności wyboru środka masowego przekazu od wieku mieszkańców. Jeśli chcemy ocenić siłę związku między badanymi cechami możemy posłużyć się jedną z miar opartych na funkcji χ² współczynnika zbieżności T-Czuprowa.

χ²

T = √ ———————

n √ ( r-1) (s-1)

19,81

T = √ ——————— = 0,1127

900 √ (4-1) (2-1)

Współczynnik zbieżności T-Czuprowa przyjmuje wartości (0,1) . im większa jest jego wartość tym silniejsza zbieżność miedzy cechami. W naszym przypadku obliczona wartość wskazuje na bardzo słabą zależność wyboru środka masowego przekazu od wieku mieszkańców.

Przykład 2

W grupie 500 osób zarejestrowanych obecnie lub w przeszłości jako bezrobotne przeprowadzono badania mające na celu ustalenie czy istnieje zależność między wiekiem osób bezrobotnych a czasem pozostawania bez pracy. Ze względu na czas pozostawania bez pracy w miesiącach, ustalono następujący podział :

Czas bez pracy 0-1 1-6 6-12 12-24 24-36 ponad 36

(w miesiącach)

Ze względu na wiek w latach ustalono podział :

Wiek 18-25 25-35 35-45 45-55 ponad 55

(w latach)

Do badania przyjęto poziom istotności α = 0,05 i zastosowano test niezależności χ²

H₀ : p_ij = p_i• p_•j - czas pozostawania bezrobotnym nie zależy od wieku bezrobotnego

H₁ : p_ij ≠ p_i• p_•j - wiek bezrobotnych ma wpływ na czas pozostawania bez pracy

Na podstawie zgromadzonych danych wartość statystyki χ²= 42,56

Wyznaczamy obszar krytyczny dla poziomu istotności α = 0,05 i liczb stopni swobody

l= 6 wariantów* 5 wariantów

l = (6-1) (5-1) = 20 stopni swobody

χ² α = 31,41

OK. = (31,41; ∞)

χ² € OK

(należy)

Odrzucamy hipotezę o niezależności czasu pozostawania bez pracy od wieku bezrobotnego.

Współczynnik zbieżności T- Czuprowa

42,56

T = √ ——————— = 0,14

500 √ (6-1) (5-1)

Co wskazuje na nie wielką siłę tej zależności.

---