Podstawowe hipotezy wytrzymałościowe i naprężenia zredukowane

Hipoteza maksymalnych naprężeń stycznych (Hipoteza Tresca)

Hipoteza: miarą wytężenia jest maksymalne naprężenie styczne

Wytężenia w dwu różnych stanach naprężenia są równe jeśli maksymalne naprężenia styczne

w tych stanach są równe.

Naprężenie zredukowane:

W prostym rozciąganiu maksymalne naprężenia styczne τmax jest równe:

τmax=σ0:2

W złożonym stanie naprężenia maksymalne naprężenia styczne τmax jest równe:

τmax= (σmax- σmin):2

Porównując te dwie wielkości τmax przypiszemy złożonemu stanowi naprężenia stan jednoosiowy

scharakteryzowany naprężeniem "zredukowanym" równoważnym w sensie przyjętej

hipotezy maksymalnych naprężeń stycznych (hipoteza Tresca):

σred= σmax- σmin

Pamiętając, że ekstremalne naprężenia to naprężenia główne (które potrafimy obliczać) łatwo

uzasadnimy poniższe wzory na σred w płaskim stanie naprężenia:

jeśli: σ1,σ2 > 0 i σ1,σ2 < 0 to σ1=0 → σred = -0,5(σ11 +σ22 ) + 0,5(σ11 -σ22 )² + 4τ12 ²

jeśli: σ1,σ2 > 0 i σ1,σ2 > 0 to σ3=0 → σred = 0,5(σ11 +σ22 ) + 0,5(σ11 -σ22 )² + 4τ12 ²

(w obu powyższych wzorach zerowe naprężenie główne występuje na ściance wolnej od naprężeń)

jeśli: σ1,σ2 <0 (są różnych znaków) to σred = (σ11 -σ22 )² + 4τ12 ²

Hipoteza właściwej energii odkształcenia postaciowego (Hipoteza HMH).

Hipoteza: miarą wytężenia jest właściwa energia odkształcenia postaciowego.

Wytężenia w dwu różnych stanach naprężenia są równe jeśli energie odkształcenia postaciowego w tych stanach są równe.

Naprężenie zredukowane:

W prostym rozciąganiu energia odkształcenia postaciowego jest równa:

Фƒ = (1+ν:6E)σ0²

W złożonym stanie naprężenia energia odkształcenia postaciowego jest równa:

Фƒ = (1+ν:6E)[ (σ11 -σ22 )² +(σ11 -σ33 )² +(σ33 -σ22 )²+6 (τ12 ² +τ32 ²+ τ13 ²)]

Porównując te dwie wielkości Фƒ przypiszemy złożonemu stanowi naprężenia stan jednoosiowy

scharakteryzowany naprężeniem "zredukowanym" równoważnym w sensie przyjętej

hipotezy:

σred = -0,5(σ11 -σ22 )² + (σ11 -σ33 )² + (σ33 -σ22 )²6(τ12 ² +τ32 ²+ τ13 ²)

Warunek postawiony w próbie jednoosiowej dla pewnego naprężenia granicznego:

-σgr ≤σred ≤σgr

Linia ugięcia belki

W czasie pracy belka ulega odkształceniu. Początkowo prostoliniowa oś belki zmienia się na krzywoliniową. Krzywa ta nazywa się linią ugięcia osi belki. Przemieszczenie środka ciężkości przekroju w kierunku prostopadłym do osi belki nazywamy ugięciem belki, a największe ugięcie - strzałką ugięcia belki.

Niektóre metody wyznaczania ugięć belki:

1. Metoda analityczna przy zastosowaniu wzoru:

2. Metoda Clebscha

3. Metoda Maxwella-Mohra

4. Metoda momentów wtórnych

5. Metoda wykreślno-analityczna.

Metoda analityczna

Porównując wzór na krzywiznę belki zginanej momentem Mg ze znanym z geometrii różniczkowej wzorem na krzywiznę linii płaskiej otrzymamy równanie różniczkowe linii ugięcia:

Po scałkowaniu powyższego równania otrzymamy kąty q ugięcia osi pręta oraz równanie linii ugięcia (strzałkę ugięcia).

Kroki wyznaczania linii ugięcia belki ”Metodą analityczną”:

1. Wyznaczamy reakcje podpór (uwalniamy od więzów).

2. Wyznaczamy momenty gnące w poszczególnych przedziałach.

3. Wyznaczamy równania różniczkowe linii ugięcia belki.

4. Po scałkowaniu otrzymamy kąty ugięcia.

5. Po ponownym scałkowaniu otrzymamy linię ugięcia.

6. Wyznaczamy stałe całkowania C1,…, Cn z warunków brzegowych oraz z warunków ciągłości.

7. Po wyznaczeniu stałych całkowania otrzymamy kąty ugięcia osi belki na podporach.

8. Wyznaczamy strzałkę ugięcia belki.

Metoda Clebscha to metoda wyznaczania linii ugięcia belki.

Opracowana przez Alfreda Clebscha, Zwana też Metoda parametrów początkowych. Ma ten plus w porównaniu z metodami analitycznymi, że we wszystkich przedziałach belki stałe całkowania są takie same. Metodę można stosować tylko dla belek ciągłych o stałej sztywności.

Metoda ta umożliwia:

- całkowanie równań różniczkowych linii ugięcia niezależnie od ilości przedziałów w jednym procesie;

- zapewnia ciągłość y i y' między przedziałami;

- wykorzystuje tylko dwie uniwersalne, stałe całkowania.

Kroki rozwiązywania:

1. Jeżeli występuje obciążenie ciągłe to przedłużamy je do końca belki, a z przeciwnej strony belki dodajemy takie obciążenie ciągłe o ile przedłużyliśmy(zrównoważenie przedłużenia).

2. Piszemy jedno równanie ugięcia belki EI y= (wszystkie wyrazy wynikłe z założenia 1)

3. Dwa razy całkujemy przestrzegając założenia 2.

4. Ustalamy warunki początkowe i wyliczamy stałe całkowania.

Założenia:

1. Zaczynamy od jednego krańca belki i po kolejki wypisujemy wszystko co działa na tę belkę w postaci:

O(x-a)°

O - siła.

a - odległość siły od krańca belki

o - potęga zależna od rodzaju siły.

o dla momentów wynosi 0, dla sił 1 dla obciążeń ciągłych 2(dodatkowo wartość obciążenia ciągłego należy podzielić przez dwa).

Rodzaj	Wartość (O)	Potęga (o)	Zapis w metodzie Clebscha
Moment	M	0	M(x − a)º
Siła	P	1	P(x − a)¹
Obciążenie ciągłe	q	2

Wyboczenie pręta ściskanego.

Jeżeli siła ściskająca P pręt będzie wzrastać, to przy pewnej jej wartości Pkr minimalny impuls (Q = 0) spowoduje, że pręt nie wróci do prostoliniowego stanu równowagi lecz pozostanie w stanie równowagi przy krzywoliniowej postaci pręta.

Jest to stan, gdzie oprócz ściskania siłą Pkr , powstaje również zginanie pręta momentem Mg = Pkr y, co może spowodować zniszczenie pręta nawet przy niewielkim wzroście siły ściskającej. Przejście układu ze stanu równowagi chwiejnej lub obojętnej (krzywoliniowa postać równowagi pręta) nazywamy utratą stateczności układu, a siłę powodującą zmianę stanu równowagi nazywamy siłą krytyczną Pkr (lub siłą wyboczającą).

Wykorzystując równanie różniczkowe linii ugięcia oraz rys.b można uzyskać równanie linii ugięcia pręta ściskanego siłą krytyczną, a stąd najmniejszą wartość siły krytycznej, która dla pręta ściskanego między dwoma przegubami wynosi:

Smukłość pręta

To stosunek długości pręta wybaczanego do najmniejszego promienia bezwładności jego przekroju nazywa się smukłością pręta.

Smukłość pręta jest liczbą bezwymiarową i zależy od:

1. Sposobu zamocowania.

2. Długości pręta.

3. Kształtu i pola powierzchni przekroju poprzecznego.

Smukłość nie zależy od rodzaju materiału. Im większa smukłość tym mniejszej siły potrzebujemy by wyboczyć pręt. Smukłość pręta wyliczamy ze wzoru:

l- długość redukowana

imin- promień bezwładności

Promień bezwładności przekroju pręta nazywamy wielkość

gdzie S - pole przekroju

Wartość smukłości granicznej oblicza się ze wzoru:

gdzie RH - granica proporcjonalności materiału pręta.

W przypadku wyboczenia sprężystego, tj. dla wartości smukłości λ> λgr (smukłość pręta większa od smukłości granicznej pręta) naprężenia krytyczne wyznaczamy ze wzoru:

Oś obojętna przekroju to oś przechodząca przez jego środek ciężkości.

Przy zginaniu belki włókna leżące po stronie wklęsłej ulegają skróceniu, natomiast włókna leżące po

stronie wypukłej ulegają wydłużeniu. Istnieje również warstwa, w której włókna nie ulegają od-

kształceniom i jest to tzw. warstwa obojętna. Jest ona prostopadła do płaszczyzny działania momentu gnącego (kierunek linii obojętnej jest zgodny z kierunkiem wektora momentu gnącego).

Obliczanie sił tnących i momentów gnących belki.

1. Obliczanie reakcji.

W pierwszym kroku obliczamy reakcje, opierając się na aksjomacie statyki, iż suma sił oraz suma momentów sił ma być równa zero. W przypadku układu płaskiego liczymy

Σi Pix =0, Σi Piy =0, oraz Σi MiD =0

gdzie D jest dowolnym punktem.

2. Obliczanie sił wewnętrznych w belce.

Przedział I

Momenty gnące i siły tnące dla przedziału I możemy wykonać od lewej lub prawej strony. Wartości momentów gnących i sił tnących liczone od strony lewej.

Σi Mi=0=Mg+qx*x/2

→ Mg=-0,5 qx²

T=d Mg/dx=- qx

Aby narysować wykresy sił wewnętrznych, należy obliczyć ich wartości na końcach przedziału I.

Tak samo postępujemy z kolejnymi przedziałami.

3. Wykresy sił wewnętrznych.

Korzystając z wcześniejszych obliczeń rysujemy wykresy sił tnących i momentów gnących.

---