1. Zakres ćwiczenia :
Celem ćwiczenia jest wyznaczenie modułu Younga.
2. Wiadomości ogólne :
Prawo Hooke'a:
Naprężenie wewnętrzne występujące w ciele sprężyście odkształconym jest proporcjonalne do względnego odkształcenia tego ciała. Współczynnikiem proporcjonalności jest w tej zależności moduł sprężystości. W przypadku rozciągania podłużnego moduł sprężystości nosi nazwę modułu Younga. Prawo Hooke'a dla rozciągania podłużnego ma postać:
F - siła zewnętrzna [N]
S - pole przekroju poprzecznego [m2]
σ - naprężenia [Pa]
E - moduł Younga [Pa]
Δl/l - wydłużenie względne.
Moduł Younga wyraża wartość naprężenia zewnętrznego, która wystąpiłaby przy podwojeniu długości ciała, gdyby ono nie uległo zniszczeniu. Jednostką modułu Younga jest 1 Pa (paskal).
3. Spis przyrządów :
1. Wieszak z badanym drutem i uchwytem na obciążniki.
2. Mikroskop z okularem mikrometrycznym
3. Waga, obciążniki, taśma miernicza, mikromierz,
Suwmiarka
2.Przebieg pomiarów
1. Zważyć wszystkie obciążniki i obliczyć ich średnią masę.
2. Zmierzyć średnicę drutu D i jego długość L.
3. Zmierzyć grubość drutu z którego zrobiono wskaźnik.
4. Zaobserwować w mikroskopie ostry obraz wskaźnika i zmierzyć jego szerokość Z w
działkach skali.
5. Określić położenie wskaźnika (jego górnej krawędzi) na skali okularu mikroskopu.
6. Zaobserwować kolejne położenia wskaźnika podczas obciążania drutu a następnie podczas jego dciążania (zdejmowania odważników).
4. Wyniki pomiarów :
Pomiary suwmiarką przeprowadzono z dokładnością 0,005 mm.
Długość badanego pręta : (0,886 * 0,001) m
Pomiar średnicy pręta.
Lp. |
D [mm] |
1 |
0,890 |
2 |
0,895 |
3 |
0,870 |
4 |
0,885 |
5 |
0,875 |
6 |
0,865 |
7 |
0,870 |
8 |
0,880 |
9 |
0,885 |
10 |
0,875 |
xśr |
0,8790 |
Δxśr |
0,0031 |
Do obliczeń d = (0,84 * 0,001) mm, ponieważ błąd maksymalny jest większy od średniego błędu kwadratowego średniej arytmetycznej.
Srednica wskaźnika 0,58 mm* 0,01 mm
1 działka= 0,018 mm
Waga odważnika uśredniona = 1 kg
Pomiary 0*5 przeprowadzono dla zwiększającego się obciążenia, pomiary 5*0 dla zmniejszającego się obciążenia. Ostatni pomiar sprawdza czy pręt wraca do wymiarów początkowych.
5. Wzory i przykłady obliczeń :
- wartość działki „w”
2rx - średnica wskaźnika zmierzona śrubą mikrometryczną [mm]
2rxm - średnica wskaźnika zmierzona mikroskopem [mm]
w = 0,58/32 ≈ 0,018
- wydłużenie [m]
w - wartość działki
b0 - poziom odniesienia dolnego wskaźnika [mm]
bi - przesunięcie dolnego wskaźnika [mm]
a0 - poziom odniesienia dolnego wskaźnika [mm]
ai - przesunięcie górnego wskaźnika [mm]
Δl = 0,2540*[0,44 - (-0,04)] = 0,12192 ≈ 0,1219 mm
- modu³ Younga [Pa]
m - masa obciążająca pręt [kg]
g - przyspieszenie ziemskie [m/s2] (przyjęto g = 9,81 m/s2)
l - długość pręta [m]
d - średnica pręta [m]
Δl - wydłużenie [m]
E = 4*0,5*9,81*0,623/(pi*(0,879*10-3)2*0,1219*10-3) = 413,1005 108 ≈ 413,1 108 Pa
- błąd względny modułu Younga z metody różniczki logarytmicznej
gdzie
,
ponieważ pomiary „a” i „b” wykonano z dokładnością 0,01 mm.
Δm/m -błąd względny masy (w obliczeniach Δm/m = 0,05 kg)
Δl/l - błąd względny długości pręta
Δd/d - błąd względny średnicy pręta
Δ(Δl)/ Δl - błąd względny wydłużenia pręta
Inne wzory :
- średnia arytmetyczna
n - liczba pomiarów
xj - pomiar j-ty
- średni błąd kwadratowy średniej arytmetycznej
n - liczba pomiarów
x - średnia arytmetyczna
xj - pomiar j-ty
- błąd względny [%]
δb - błąd bezwzględny wartości mierzonej
x - wartość mierzona
6. Dyskusja błędów i wnioski :
W zakresie działania prawo Hooke'a zależność wydłużenia od działającej siły jest liniowa i badane ciało powinno wrócić do stanu początkowego po tej samej prostej (wszystkie linie na wykresach powinny się pokrywać). Na to, że tak nie było mogło mieć wpływ zmęczenie materiału, efekt starzenia.
Zwiększenie dokładności wyznaczenia modułu Younga można uzyskać poprzez zwiększenie obciążenia i zarazem wydłużenia badanego pręta, ponieważ błąd był największy dla małych obciążeń (rzędu 10 - 11 %). Trudno jest dokładnie zmierzyć małe wydłużenie pręta i ten składnik miał duży wpływ na wynik końcowy. Na zwiększenie dokładności wyznaczenia modułu Younga wpłynęłoby zmniejszenie błędu względnego masy, którą obciążaliśmy pręt. Przy dużych wydłużeniach ten składnik miał decydujący wpływ na niedokładność, jego wartość została zaproponowana przez autorów skryptu. Na dokładność pomirów miały też wpływ siły tarcia między prętem a statywem.