Politechnika Śląska w Gliwicach

Wydział Elektryczny

semestr II ; grupa I

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA PRZEWODNICTWA CIEPLNEGO METALI METODĄ ANGSTRÖMA

sekcja 4 :

1. Paweł Rothkegel

2. Rafał Sitkiewicz

3. Michał Marzec

1. WSTĘP TEORETYCZNY

Wymiana ciepła pomiędzy dwoma ciałami o różnych temperaturach może przebiegać na trzy sposoby:

1. promieniowanie,

2. unoszenie (konwekcja),

3. przewodnictwo.

Podstawą samego zjawiska przewodnictwa cieplnego jest przekazywanie energii kinetycznej chaotycznego ruchu cieplnego drobin Jest ono jednym z tzw. zjawisk transportu. Prawo przewodnictwa cieplnego sformułował J.B. Fourier w roku 1822. Wykazał on, że gęstość strumienia cieplnego q jest proporcjonalna do gradientu temperatury:

gdzie:

 - współczynnik przewodnictwa cieplnego

Znak minus w prawie Fouriera oznacza, że energia w procesie przewodnictwa cieplnego przenosi się w kierunku zmniejszania temperatury. Powyższy związek jest słuszny jednie pod warunkiem, że względna różnica temperatur na odległości średniej drogi swobodnej cząsteczek jest mała w porównaniu z jednością:

W razie niespełnienia powyższego warunku związek pomiędzy gradientem temperatury i gęstością strumienia cieplnego staje się bardziej skomplikowany.

Proces przewodnictwa cieplnego w ciałach stałych, a co za tym idzie w metalach, związany jest z drganiami sieci krystalicznej i zależy od jej struktury. Według kwantowej teorii ciał stałych drgania termiczne sieci krystalicznej są skończonym zbiorem drgań normalnych tworzących w procesie interferencji paczki falowe zwane fononami. W metalach na sieciowe przewodnictwo cieplne nakłada się zjawisko z ruchem elektronów pasma przewodnictwa. Dla temperatur wyższych od temperatury Debye'a (np. w warunkach pokojowych) przewodnictwo cieplne elektronowe związane jest z przewodnością elektryczną σ prawem Wiedemanna-Franza:

gdzie:

k - stała Boltzmanna

e - ładunek elektronu

Niech w pręcie o długości L wytworzona będzie stała różnica temperatur T=T₁-T₂. Równanie przewodnictwa cieplnego zapiszemy wówczas w postaci :

gdzie:

κ - współczynnik przewodnictwa temperaturowego

Założeniem jest, że wymiana ciepła pomiędzy prętem i ośrodkiem podlega prawu Newtona a parametry κ i  wynoszą odpowiednio:

Angström podał następujące warunki brzegowe rozwiązania powyższego równania:

1. na jednym końcu pręta (x=0) temperatura zmienia się okresowo i można wyrazić ją za pomocą szeregu Fouriera:

gdzie:

n - indeks n-tej harmonicznej

2. temperatura drugiego końca pręta (x=L) jest stała, równa temperaturze wody chłodzącej.

W odległości x od źródła ciepła temperatura pręta opisana jest ogólnym równaniem:

Po przeprowadzeniu obliczeń dokładnie przedstawionych w skrypcie otrzymamy wzór wskazujący okresowe zmiany temperatury, podobny nieco do równania fali (stąd pojęcie tzw. fal temperaturowych). Zakładamy, że jeśli dla punktu x=1 temperatury będą zmieniać się w sposób zbliżony do sinusoidalnych to możemy przyjąć n=1. Wówczas dla składowej rzeczywistej otrzymamy:

T₁=Ae^-ax cos(t-bx)

i analogicznie dla punktu przesuniętego o l:

T₁=Ae^-a(x+l) cos[t-b(x+l)]

Stosunek kolejnych fal temperaturowych pozwala wyliczyć współczynnik a:

a z przesunięcia fazowego wyliczamy współczynnik b:

gdzie:

 - okres zmian warunków grzania

t - czasowe przesunięcie grzbietów fal

Stąd ostatecznie otrzymujemy wzór na współczynnik przewodnictwa temperaturowego w metalowym pręcie:

2. PRZEBIEG ĆWICZENIA

1. Włączamy obieg wody chłodzącej.

2. Za pomocą autotransformatora ustalamy napięcie zasilające grzejnik na 80 [V].

3. Uruchamiamy program angstrem.bat.

4. Po nagrzaniu grzejnika nakładamy go na „ciepły” koniec badanego pręta i równocześnie rozpoczynamy rejestrację pomiarów. Wytwarzamy w pręcie okresowe zmiany temperatury poprzez nakładanie i zdejmowanie grzejnika. Czas grzania i chłodzenia przyjmujemy np. 5 min.

okresowe zmiany temperatury nakładając i zdejmując grzejnik. Czas grzania i chłodzenia przyjmujemy równy 5 minut.

5. Pomiary kończymy po wytworzeniu 3 - 5 cykli grzewczo - chłodzących.

6. Dane pomiarowe zapisane są w pliku pomiary.dat w 9 kolumnach zawierających, czas, temperaturę i błąd jej pomiaru dla kolejnych punktów pomiarowych.

7. Za pomocą odpowiedniego programu komputerowego rysujemy wykresy czasowych zmian temperatury poszczególnych punktów pręta.

8. Określamy przesunięcie czasowe fal temperaturowych Δt oraz ich amplitudy w poszczególnych punktach pręta oddalonych od siebie o Δl = 10 cm.

9. obliczamy współczynnik przewodnictwa temperaturowego stosując dane dla kolejnych par punktów pomiarowych pręta.

10. obliczamy średnią wartość współczynnika temperaturowego a następnie współczynnik przewodnictwa cieplnego według wzoru:

gdzie:

c_w - ciepło właściwe pręta

ρ - gęstość materiału pręta

3. WYNIKI POMIARÓW I OBLICZENIA

Wyniki przeprowadzonych pomiarów znajdują się na dyskietce. Wykres czasowych zmian temperatury poszczególnych punktów pręta znajduje się na stronie 9.

Pręt wykonany jest z miedzi, dla której ciepło właściwe wynosi 0,4•10³ [ J / kg K ], natomiast gęstość materiału pręta jest równa 8,9•10³ [ kg / m³ ].

Pomiary i wykresy fal temperaturowych rejestrowanych przez termistory 3 i 4 odrzucamy w obliczeniach, gdyż nie mają charakteru sinusoidalnego.

Przewodnictwo temperaturowe liczymy na podstawie amplitud fal i czasowego przesunięcia ich grzbietów w dwóch olejnych maksimach z wykresów dla termistora 1 i 2 korzystając z wzoru:

Natomiast błąd liczymy metodą różniczki zupełnej:

Gdzie:

l - odległość między 2 punktami pomiarowymi [m]

t₁ - czas osiągnięcia temperatury maksymalnej 1 punktu pomiarowego w określonym cyklu grzewczo - chłodzącym [s]

t₂ - czas osiągnięcia temperatury maksymalnej 2 punktu pomiarowego w określonym cyklu grzewczo - chłodzącym [s]

T₁ - wartość temperatury maksymalnej 1 punktu pomiarowego w określonym cyklu grzewczo - chłodzącym [K]

T₂ - wartość temperatury maksymalnej 2 punktu pomiarowego w określonym cyklu grzewczo - chłodzącym [K]

Korzystając z wyników przeprowadzonych przez komputer otrzymujemy następujące dane:

• dla pierwszego cyklu:

T₁= 326,26 ΔT₁= 0,14 t₁ = 319,11 Δt₁ = 0,01

T₂= 307,41 ΔT₂= 0,14 t₂= 489,11 Δt₂= 0,01

• dla drugiego cyklu:

T₁= 340,06 ΔT₁= 0,15 t₁ = 916,15 Δt₁ = 0,01

T₂= 316,43 ΔT₂= 0,19 t₂= 1043,09 Δt₂= 0,01

• dla trzeciego cyklu:

T₁= 346,98 ΔT₁= 0,48 t₁ = 1515,06 Δt₁ = 0,01

T₂= 321,78 ΔT₂= 0,45 t₂= 1600,09 Δt₂= 0,01

• dla czwartego cyklu:

T₁= 350,48 ΔT₁= 0,15 t₁ = 2115,07 Δt₁ = 0,01

T₂= 325,07 ΔT₂= 0,15 t₂= 2206,08 Δt₂= 0,01

Natomiast l = 0,1 Δl = 0,01

Korzystając z programu mathcad otrzymujemy następujące wyniki:

κ₁ = 0,0005 Δκ₁ = 0,0001

κ₂ = 0,0005 Δκ₂ = 0,0001

κ₃ = 0,0008 Δκ₁ = 0,0002

κ₄ = 0,0007 Δκ₂ = 0,0002

κ_śr = 0,00064 Δκ_śr = 0,00013

zatem κ = (6,4
1,3)
10^-4

Korzystając ze wzoru

obliczamy współczynnik przewodnictwa cieplnego

λ
=2172,5 [ J m^-1 s^-1 K^-1] ]

Błąd natomiast obliczamy ze wzoru:

Δλ = 441,3 a zatem

λ=(2,1
0,45)
10^-3 [ J m^-1 s^-1 K^-1] ]

4.Wnioski

Na znaczny błąd badanej wielkości składają się przede wszystkim źle dobrane czasy osiągania maksimów temperaturowych a także same wartości temperatur maksymalnych. Wielkości te odczytane są przez komputer z dużym błędem. Nie mają wiec charakteru sinusoidalnie zmiennego a zatem nie są zgodne z założeniami ANGSTRÖMA.

1

---