Ad1.

Matematyczny opis stanu układu.

Przy tworzeniu modelu musimy zdobyć takie informacje jak:

- właściwości obiektu

• związki funkcjonalne pomiędzy poszczególnymi obiektami i urządzeniami sterującymi

• właściwości układu jako całości

Na podstawie tych informacji określa się:

• wielkości jakie występują w układzie, ich odpowiedniki fizykalne czyli sygnały

• zależności pomiędzy tymi sygnałami.

Pozwala to na stworzenie modelu matematycznego. Opis składa się z dwóch części: charakterystyki statycznej oraz charakterystyki dynamicznej.

Stan układu - najmniej liczny zbiór wielkości , którego znajomość w chwili początkowej t₀ i znajomość wymuszeń w przedziale (t₀ ,t], pozwala wyznaczyć stan i odpowiedź układu w dowolnej chwili t>t₀.

Istnieją układy dla których znajomość stanu układu w chwili początkowej t₀ i wymuszenia u(t) dla t > t₀ pozwala wyznaczać stan i odpowiedź układu dla t > t₀ .

Wielkości x₁ ,x₂ , ... ,x_n nazywamy zmiennymi stanu lub wsp. stanu.

Stan układu można interpretować jako pamięć , ponieważ na podstawie

stanu można określić aktualny stan czyli własności układu .

U₁(t) →  Układ X₁   → Y₁(t) Zbiór sygnałów

U₂(t) →  dynamiczny X₂   → Y₂(t) ← wyjściowych.

 :  →  wektor →  :   →  : 

U_n(t) →  stanu X_n   → Y_n(t)

↑ ↑↑↑

Zbiór Zbiór

Sygnałów zakłóceń

wejściowych

Model matematyczny :

1.Rozpatrujemy dowolny , dynamiczny , ciągły liniowy lub nieliniowy układ , który może być opisany równaniem różniczkowym;

2. Istnieją przypadki równań różniczkowych lub układów równań różniczkowych zwyczajnych I rzędu.

3. Aby opisać układ dynamiczny ciągły przy pomocy równań różniczkowych I rzędu wyróżnia się n. liniowo niezależnych wielkości fizycznych lub abstrakcyjnych oznaczając je odpowiednio : f₁(t) , ... , f_n(t).

4.Niech w chwili początkowej t=t₀ istnieje stan początkowy reprezentowany przez n liczb t=t₀ : x₁(t₀) , ... , x_n(t₀) .

5.Wyróżnione n. liniowo niezależne wielkości fizyczne lub abstrakcyjne nazywają się współczynnikami stanu lub zmiennymi stanu .

6.Współrzędne stanu zapisuje się w postaci wektorowej.

X₁(t) X₁(t₀)

X(t) = X₂(t)  dla t=t₀ X(t₀) = X₂(t₀)

 :   : 

X_n(t) X_n(t₀)

Ad2.

Różnice w zastosowaniach transmitancji operatorowej i widmowej.

Transmitancja operatorowa G(s) elementu lub układu liniowego, nazywamy stosunkiem transformaty wielkości wyjściowej y(s) do transformaty wielkości wejściowej x(s) przy zerowych warunkach początkowych.

Jeżeli na wejściu elementu lub układu liniowego stabilnego, wprowadzone zostanie wymuszenie sinusoidalne o stałej częstotliwości, to na wyjściu, po zaniknięciu przebiegu przejściowego, ustali się odpowiedź sinusoidalna o tej samej częstotliwości. Będzie ona jednak w ogólnym przypadku, o innej amplitudzie i fazie niż wymuszenie. Teoretyczną podstawę charakterystyk częstotliwościowych (określających zachowanie się elementu lub układu przy wszystkich częstotliwościach wymuszenia, podając stosunek amplitud odpowiedzi do wymuszenia oraz przesunięcie fazowe między odpowiedzią a wymuszeniem jako funkcję częstotliwości) stanowi transmitancja widmowa G(jw) = G(s)

Ad3.

Dany jest układ dynamiczny dy/dt= 4u.

Równanie stanu tego układu:

y'(t)+y(t)= u(t)

y(t)= x₁

x₁'= 4u

Wyznaczenie transmitancji układu:

y(s) dla u(s)= 1/s

y'(t)= 4u(t)

y(s)*s= 4u(s)

y(s) 4

u(s) s

y(s)= (1/s)*(4/s)= 4/s²

y(t)= 4t * U_st

Równanie statyczne nie zależy od czasu, jest to funkcja wyjścia od wejścia y(u).

k - współczynnik proporcjonalności

y

u

u(t)

t

U(t)

wejścia skokowe

1(t)

1(t)*U_st

y(t) = 4t*U_st

wyjście

y= k*U

Charakterystyka dynamiczna

(czasowa)

Charakterystyka statyczna

---