Magdalena Brodzińska

Wykresy funkcji- Gimnazjum

Omówione podręczniki to „Matematyka wokół nas”, „Matematyka 2001”, „Matematyka z plusem”.

1. W którym miejscu jest wprowadzone, co jest potrzebne aby je wprowadzić?

Aby temat mógł być zrozumiany potrzebna nam jest znajomość układu współrzędnych, nazwy ćwiartek, umiejętność zaznaczania punktów w układzie współrzędnych.

„Matematyka wokół nas”- wprowadzone jest pod koniec drugiego semestru 1 klasy

”Matematyka 2001”- wprowadzone jest w środku drugiego semestru 1 klasy.

„Matematyka z plusem”- pierwszy semestr III klasy

2. Sposoby wprowadzenia.

1. „Matematyka wokół nas”

Temat jest realizowany od przykładu wprowadzającego. Mamy narysowany układ współrzędnych i zaznaczone na nim punkty funkcji opisanej wzorem y=2x i podpisane, że jest to wykres funkcji.

Przedstawiony jest przykład tej samej funkcji lecz w różnych dziedzinach. w pierwszym punkcie mamy liczby nie mniejsze niż -2 i mniejsze od 5. Sporządzona jest tabelka.

X	-3	-2	0	1,5	2	4,5
Y	-6	-4	0	3	4	9

I obok narysowany jest wykres.

I takie przykłady są w różnych dziedzinach: wszystkich liczb dodatnich i wszystkich liczb. Jest podpisane, że w zależności od dziedziny wykres wygląda inaczej.

Dalej mamy temat Funkcja Liniowa. Zaczyna się wprowadzeniem funkcji i wyznaczaniem współrzędnych punktów potrzebnych do narysowania wykresu funkcji. Mając wzór y=4x i bierzemy x=1,5 otrzymujemy ze y=6 a więc punkt ma współrzędne (1,5;6) i jakiś jeszcze punkt. Łączymy je prostą i otrzymujemy wykres funkcji. I w tym temacie zajmujemy się wyznaczaniem punktów i na tej podstawie rysowaniem wykresów. Wyjaśnione jest uczniom co nazywamy współczynnikiem kierunkowym i jeśli jest on dodatni to wykres leży w I i III ćwiartce a jeśli nie ujemny w II i IV ćwiartce.

Następnie przechodzimy do rozwiązywania zadań.

Przypomnienie i kontynuacja tematu jest w II klasie. Temat dotyczy funkcji postaci y=ax+b. Na początku mamy przypomnienie wiadomości z I klasy.

Mamy tu na wykresie trzy funkcje y=2x+3; y=2x+5; y=2x-4 i uczniowie powinni zauważyć, że są one równoległe i mamy wniosek: wykresy funkcji liniowych, które mają ten sam współczynnik kierunkowy a, są prostymi równoległymi. Dział jest rozszerzony o odczytywanie miejsc zerowych na podstawie wykresu. Mamy funkcje y=2x+4 i zauważamy, że wykres przecina oś x w punkcie (-2;0). Więc miejscem zerowym jest pierwsza współrzędna punktu przecięcia.

W kolejnym temacie uczymy się odczytywać z wykresu kiedy wartości są dodatnie a kiedy ujemne. Dodatnie dla tej części wykresu która jest nad osią x ujemne dla wykresu pod osią x .Mamy jeszcze umieszczony dział z gwiazdką z przykładami innych funkcji. Mamy przykład tworzenia wykresu y=|x-2|

Sporządzamy częściowe tabelki tej funkcji dla x-2<0 i x-2>=0

X	0	2	3
Y=x-2	-2	0	1

X	-1	-2	-3
Y=-x+2	3	4	5

I rysujemy wykres.

Dalej mamy przykład funkcji kwadratowej y=x² i y=-x² i też rysujemy wykres. Mamy tu wyjaśnione że wykres taki nazywamy parabolą a punkt (0,0) wierzchołkiem. Na podstawie wykresu formułujemy wnioski że jeśli a>0 to dla x<0 funkcja jest malejąca a dla x>0 rosnąca i ramiona są skierowane do góry. Jeśli a<0 to dla x<0 funkcja jest rosnąca a dla x>0 jest malejąca i ramiona są do dołu.

W III klasie mamy przypomnienie wiadomości dotyczących funkcji. W posumowaniu mamy jeszcze wyjaśnione jak znajdujemy wzór funkcji na postawie wykresu. Była opisana funkcja 1/x- wykres.

2. „Matematyka 2001”

Wykresy funkcji umieszczone są w temacie „Maszynki liczbowe”

Na początku działu opisana jest zabawa. Polegająca na tym, że jeden uczeń podaje jakąś liczbę, drugi podaję liczbę przetworzoną według swojej reguły i pierwsza osoba próbuje odgadnąć tą regułę.

Dalej mamy zadanie oparte dokładnie na tej samej zabawie i uczniowie muszą znaleźć wzór. Pierwszy punkt jest już pokazany np.(wejście - razy 3- dodać 1

Y=x*3+1)

Na podstawie tabelki i wzorów trzeba narysować schemat maszynki.

Zadanie

Czy te wykresy opisują funkcje. Do wykresów dopasuj wzory.

W kolejnym temacie mamy ćwiczenia na odczytywanie danych z wykresu. Mamy wykres. I pod nim pytania na które odpowiedzi udzielają uczniowie.

Jaka była maksymalna prędkość samochodu, Ile czasu rozpędzał się samochód, aby osiągnąć największą prędkość. Jak długo jechał samochód z prędkością maksymalną, kiedy się zatrzymał i na jak długo. Kiedy prędkość samochodu rosła, a kiedy malała. I mamy tego typu ćwiczenia na odczytywanie.

Przy okazji odczytywania mamy napisane kiedy funkcja jest rosnąca (coraz większym argumentom odpowiadają coraz większe wartości funkcji i a>0), funkcja malejąca (im większe argumenty tym wartości funkcji maleją a<0) funkcja stała (wszystkie argumenty mają te same wartościa=0) a współczynnik kierunkowy. Mamy tu zadanie i mamy napisać dla jakich argumentów wartości funkcji maleją , dla jakich rosną a dla jakich są stałe.

Wyjaśnione jest miejsce zerowe. Argumenty dla których funkcja ma wartość zero nazywamy miejscami zerowymi funkcji. Następnie mamy narysowany wykres. Napisane jest w jakich punktach przecina oś x(-5;0);(-2;0);(3;0) i napisane, że miejscami zerowymi są x=-5,x=-2, x=3. Następnie mamy ćwiczenie. Kilka narysowanych wykresów i mamy odpowiedzieć ile miejsc zerowych ma każda funkcja i trzeba je napisać. I przechodzimy do ogólnych zadań.

W kolejnym temacie mamy napisaną definicję funkcji liniowej- jest to funkcja której wykresem jest linia prosta, opisana wzorem y=ax+b

Mamy 2 rysunki. Na jednym jest wykres :

Jeśli współczynniki a są takie same to wykresem są proste równoległe

Na drugim wykres:

Jeśli współczynnik b jest taki sam to wykresem są proste przecinające się w punkcie (0,b).

W tym rozdziale wystąpiły zadania dotyczące wartości dodatnich i ujemnych funkcji bez wcześniejszego objaśnienia.

W II klasie mamy powtórzenie funkcji liniowej. Temat jest rozszerzony o sprawdzenie czy dany punkt należy do wykresu funkcji. Jest podany przykład dla y=2x-1 punkt A=(3,-1)

I sposób to rysujemy wykres i sprawdzamy czy punkt należy do wykresu.

II sposób to liczymy wartość funkcji dla x z punktu A czyli 3. Jeśli wyjdzie nam tyle ile wynosi nasz y z punktu A to punkt należy.

y=2*3-1=5 jest różne od -1 więc punkt nie należy do wykresu. I mamy wyjaśnione jak odczytać wartość funkcji dla danego argumentu i odwrotnie.

W tej klasie mamy zadanie polegające na wyznaczeniu wzoru funkcji na postawie wykresu a do tej pory nie było to tłumaczone.

W III klasie mamy przykłady funkcji nieliniowych. Na początku tematu mamy podaną tabelkę dotyczącą stygnięcia herbaty i narysowany wykres i pytanie jak zmienia się temperatura podczas stygnięcia. Następnie mamy

zadanie sporządzenia tabelki funkcji y=x^2 dla argumentów <-5;5> i narysowania wykresu.

Mamy zadanie przy którym narysowany jest wykres funkcji y=1/x.

Mamy narysować go w zeszycie, odpowiedzieć czy ma miejsce zerowe i odpowiedzieć ile rozwiązań mają równania

a) 1/x=5

b)1/x=3

c)1/x=-3

d) 1/x=6

I mamy szereg ćwiczeń dotyczących rysowania lub zapisywania równań na podstawie wykresu.

Po szeregu różnorodnych ćwiczeń mamy zebrane informacje. Wykresem funkcji liniowej y=ax+b jest linia prosta, funkcji kwadratowej y=ax²+bx+c jest parabola, inny przykład funkcji nieliniowej y=a/x i jej wykresem są dwie gałęzie hiperboli.

Pod koniec III klasy jest powtórzenie wszystkich wiadomości dotyczących wykresów. Mamy tutaj jeszcze zamieszczone jak wyznaczamy wzór na podstawie wykresu przechodzącego przed 2 punkty.

Mamy punkty A(1,3) B(-2,4) podstawiamy współrzędne tych punktów w miejsce x i y do wzoru y=ax+b. I wyliczamy y=-
+3

W powtórzeniu mamy jeszcze napisane jak rysujemy wykres modułu liczby.

Mamy y=|x|. Tworzymy tabelkę dla x <-4,4> i narysowany jest wykres. Dalej mamy zadania powtórzeniowe.

3. „Matematyka z plusem”

Wykresy występują w III klasie. Na początku mamy notkę na temat wykresów. Od razu mamy przykład wykresu obrazującego jaką średnią prędkość może osiągnąć zawodnik, w zależności od dystansu, na którym biegnie. Odczytujemy z wykresu, że na dystansie 100m zawodnik osiąga prędkość ok. 10,3m/s, największą prędkość może osiągnąć w biegu na 150m.

Dalej są ćwiczenia dotyczące odczytywania wykresów. Po tych zadaniach przechodzimy do funkcji i rysowania wykresów. W przykładzie mamy funkcję kwadratową przedstawioną za pomocą grafu, tabelki i wykresu. Przechodzimy do zadań. Przy zadaniach mamy notkę na temat znajdowania na wykresie argumentów i odpowiadających im wartości oraz notkę że każdy argument dla którego funkcja przyjmuje wartość zero jest jej miejscem zerowym. W kolejnym temacie mamy funkcje liniowe. Jest narysowanych kilka wykresów i pod nimi są wzory. Jest zaznaczone że wykresem funkcji liniowej jest prosta i aby ją znaleźć wystarczą dwa punkty. Mamy przykład y=-2x-1. Znajdujemy punkty i rysujemy wykres. Mamy też opisane jak sprawdzamy czy dane punkty należą do wykresu funkcji. Przechodzimy do zadań.

W następnym temacie mamy odczytywanie z wykresu wartości dodatnich i ujemnych funkcji ( nad osią dodatnie pod ujemne)- zadania.

W kolejnym rozdziale dowiadujemy się kiedy funkcja jest rosnąca, malejąca i stała.

Liczba a jest współczynnikiem kierunkowym. Jeśli jest ona dodatnia to kąt pomiędzy wykresem a osią x jest ostry, a jeśli mniejsza to kąt jest rozwarty.

Mamy narysowane różne wykresy na jednym rysunku i mamy obok wniosek, że jeśli mamy ten sam współczynnik a to wykresem są proste równoległe, a jeśli mają ten sam współczynnik b to wykresy przecinają oś y w punkcie (0,b).

Dalej mamy przedstawione wyznaczanie wzoru funkcji której wykres przecina oś y w punkcie (0,4) i przechodzi przez punkt A=(2,1).

Na końcu działu mamy przykłady wykresów innych funkcji.

Mamy trzy wykresy. Na pierwszym mamy zaznaczone 5 punktów, na drugim już więcej punktów i na ostatnim już jest widoczny wykres. Podpisany, że jest to wykres funkcji y=x². Krzywą nazywamy parabolą. Dalej mamy przykłady wykresów różnych funkcji kwadratowych.

W ten sam sposób co parabolę przedstawiono wykres funkcji y=
. Wykres podpisany hiperbolą. I znowu mamy wykresy różnych funkcji.

Podsumowanie:

W książce „Matematyka Wokół nas” zabrakło mi informacji kiedy wykresy prostych się przecinają w jednym punkcie, nic nie było o odczytywaniu wykresów, nie było jak sprawdzić że dany punkt należy do wykresu, nie było napisane jak dla odpowiednich argumentów znaleźć ich wartości i dla wartości argumenty.

W książce „Matematyka 2001”nie ma wyszczególnione kiedy wartości funkcji są dodatnie a kiedy ujemne, nie było wyszczególnione kiedy parabola ma ramiona do góry a kiedy do dołu, zabrakło mi rysowania wykresu bez tabelki tylko za pomocą podstawienia.

W książce „Matematyka z plusem” nie było nic na temat funkcji z modułem, nie było wyszczególnione jak sprawdzamy czy dany punkt należy do wykresu.

3. Jakie problemy, trudności mogliby mieć uczniowie podczas realizacji tego zagadnienia?

Uczniowie mogą mieć problemy z zaznaczanie w układzie współrzędnym punktów bo mylą im się X i Y, określenie miejsca zerowego, problem z nazwaniem funkcji, zapisywaniem prostych równoległych, wyznaczaniem czy dany punkt zależy do wykresu, określaniem monotoniczności funkcji.

4. Podczas realizacji, jakich tematów są one później wykorzystane?

Statystyka, równania, nierówności, układy równań- metoda graficzna (w jednym układzie równań sporządź wykresy podanych zależności)

5. Czy występują i w jakiej postaci na egzaminach zewnętrznych, podać przykłady zadań uwzględniając poszczególne standardy?

6. Czy można w jakiś sposób wykorzystać je podczas realizacji ścieżek między przedmiotowych lub podczas realizacji programu z innego przedmiotu?

7. Sformułować cele operacyjne do poszczególnych zagadnień.

- uczniowie potrafią odczytywać z wykresu informacje

- na podstawie wykresu potrafią wskazać kiedy funkcja jest rosnąca kiedy malejąca, miejsca zerowe

- potrafi samodzielnie stworzyć wykresy prostych funkcji

8. Przedstawić podstawowe zadania, które należałoby wykonać z uczniami, aby mogli opanować to zagadnienie. Zadania ciekawe, oryginalne, zadania dla uczniów zdolnych.

9. Jakie ciekawe metody, środki dydaktyczne można wykorzystać podczas realizacji tego zagadnienia?

Można utworzyć kartoniki z różnymi funkcjami i opisami. I uczniowie muszą dopasować wzór funkcji, tabelkę, opis do odpowiedniego rysunku funkcji.

Można pobawić się w maszynkę liczbową. Metoda projektu- uczniowie opracowują jakieś dane i tworzą wykres. Wykorzystanie arkusza kalkulacyjnego.

SCENARIUSZ LEKCJI

Temat: Własności funkcji liniowych.

Prowadzący: Magdalena Brodzińska

Klasa: II gimnazjum

Czas: 45 min

Środki dydaktyczne: tablica, pisaki, arkusz kalkulacyjny

Formy pracy: praca grupowa, indywidualna

Metody pracy: pogadanka, ćwiczeniowa

Cele:

Uczeń:

• Kształtuje umiejętność rysowania wykresów

• Potrafi określić monotoniczność funkcji na podstawie wykresu

• Wie jak wyglądają proste o tym samym współczynniku kierunkowym

• Wie jak wyglądają proste o tym samym współczynniku b

• Potrafi określać miejsca zerowe funkcji

Przebieg lekcji:

1. Czynności wstępne- przywitanie, podanie tematu i zapisanie na tablicy

2. Przypomnienie jak rysujemy wykres funkcji, co to jest miejsce zerowe, pojęcie funkcji rosnącej i malejącej.

3. Przechodzimy do pracy w grupach w wykorzystaniem komputera.

Zadanie 1

Narysuj na jednym układzie wykresy funkcji:

a) y=3x, y=7x, y=0.5x

b) y= -x, y=-3x, y=-0.5x

c) y=0

WYKRESY

Problemy:

1. Co mają wspólnego wzory funkcji w punktach: a), b) ?

2. Co można powiedzieć o funkcjach z punktu a) ?

3. Co można powiedzieć o funkcjach z punktu b) ?

4. Ile wynosi współczynnik kierunkowy funkcji w punkcje c), co można

powiedzieć o wykresie tej funkcji ?

5. Jak zmienia się kąt nachylenia prostej do osi X w zależności od współczynnika

kierunkowego a ?

Rezultatem rozwiązania zad.1 i przeprowadzonej pogadanki z uczniami są

następujące wnioski:

1. Wykresy funkcji y=ax, a>0 lub a<0 przechodzą przez punkt (0,0).

2. Jeżeli a=0, to wykres funkcji y=ax pokrywa się z osią X- funkcja jest stała.

3. Jeżeli a>0, to wykres przechodzi przez I i III ćwiartkę- funkcja jest rosnąca.

4. Jeżeli a<0, to wykres przechodzi przez II i IV ćwiartkę- funkcja jest malejąca.

Zad.2.

Narysuj na jednym układzie wykresy funkcji y=2x,

y=2x-3, y=2x+1.

Problemy:

1. Jak położone są względem siebie proste będące wykresami powyższych funkcji ?

2 Co można powiedzieć o ich wzorach ?

Wnioski:

1. Wykresy funkcji o jednakowym współczynniku a są prostymi równoległymi.

Zad.3.

Narysuj wykresy funkcji y=4x+2, y=-3x+2, y=x+2,

y=0.5x +2.

Problemy:

1.Przez jaki punkt przechodzą otrzymane wykresy?

Wnioski:

1. Wykres funkcji y=ax+b przechodzą przez punkt (0, b).

Zad.4.

Narysuj wykresy funkcji i odczytaj ich miejsca zerowe:

y=2x-8, y=x+7, y=-3x+9.

Problemy:

1.Jak obliczyć miejsce zerowe znając wzór funkcji?

Wnioski:

1. Miejsce zerowe funkcji jest dla argumentu x=-b/a.

3. Podsumowanie lekcji:

1. Powtórzenie wniosków z lekcji.

4.Zadanie pracy domowej.

Zadanie: Narysuj wykres funkcji y=-4x+6 i opisz ją.

5. Ocena pracy uczniów.

---