WSTĘP TEORETYCZNY

Siły, które występują w prawach fizyki możemy podzielić na dwie grupy. Do pierwszej zaliczymy siły rzeczywiste, które wynikają z tzw. oddziaływań fundamentalnych natomiast do drugiej grupy siły pozorne zwane siłami bezwładności, które mogą być obserwowane jedynie w przyspieszeniach (nieinercjalne układy odniesienia). Siły bezwładnościowe nie są „prawdziwymi” siłami - nie są one pochodzenia materialnego - to wyłącznie poprawki kinetyczne, wynikające z tego, że prawa dynamiki obowiązują tylko w układach inercjalnych. Drugą zasadą dynamiki Newtona dla ciała poruszającego się w układzie nieinercjalnym możemy zapisać w postaci:

F_z+F_b=ma' (1)

gdzie:

F_z- jest to siła zewnętrzna działająca na ciało o masie m,

F_b- siły bezwładności,

a'- przyspieszenie obserwowane z nieinercjalnego układu odniesienia.

Przykładem nieinercjalnego układu odniesienia może być obracająca się wokół własnej osi Ziemia jak również wirująca tarcza adaptera. Wynikiem ruchu obrotowego są dwie siły bezwładności; odśrodkowa i Coriolisa

-siła odśrodkowa F_od, działa na wszystkie ciała znajdujące się poza osią obrotu niezależnie czy są w ruchu czy nie. Skierowana jest wzdłuż promienia i wyraża się wzorem:

F_od=m[ω×(ω×r)]=mrω²=ma_od (2)

gdzie:

ω-prędkość kątowa obrotu układu odniesień,

r- wektor położenia poprowadzony ze środka tarczy do ciała o masie m,

a_od- przyspieszenie odśrodkowe,

-siła Coriolisa F_c, działa tylko wtedy, gdy ciało porusza się z prędkością v_ni względem układu wirującego (i to nie równolegle do jego osi). Jej kierunek jest prostopadły zarówno do wektora v_ni jak i do wektora prędkości kątowej układu ω. Wyraża się wzorem:

F=2m[v_in×ω]=ma_c (3)

Gdzie a_c to przyspieszenie Coriolisa.

Po rozłożeniu prędkości v _ni na składowe radialną i transwersalną otrzymamy wzór:

F_c=2m|-ω×(v₀+r×ω)|=2m(ω²v₀²+ω⁴r²)^1/2 (4)

Ze wzorów (2) i (4) widać, że wartość siły odśrodkowej i siły Coriolisa zwiększają się gdy ciało oddala się od osi obrotu. Znając wzory na te siły możemy odliczyć tor ciała na które te dwie siły działają.

Równanie ruchu we współrzędnych kartezjańskich na postać:

x=rcosφ=v₀tcos(ωt)

y=rsinφ=v₀tsin(ωt)

Równanie toru we współrzędnych biegunowych otrzymamy eliminując czas z jednego i wstawiając do drugiego równania ruchu. Otrzymamy w ten sposób zależność między współrzędną radialną r i kątową φ:

gdzie b=v/b jest współczynnikiem proporcjonalności między r i φ.

Krzywa dana powyższym równaniem zwana jest spiralą Archimedesa.

Pomiary

Najpierw wyznaczyłem odwód kulik, a następnie znając rodzaj materiału z jakiego została ona wykonana określam jej masę. Później zająłem się wypoziomowaniem płyty odtwarzacza oraz umieściłem na niej kartkę papieru z przymocowaną kalką. Puściłem kulkę gdy płyta się nie obracała aby wyznaczyć jej ślad na papierze. Dla wybranej prędkości kątowej odmierzam czas jaki potrzeba aby tarcza wykonała 20 obrotów (bez kulki). Potem umieściłem kulkę na najniższym miejscu na pochylni i po wykonaniu paru pełnych obrotów zwolniłem blokadę uniemożliwiającą toczenie się kuli. Otrzymany na papierze ślad oznaczyłem odpowiednim numerem aby łatwiej można było dokonać odczytów. Doświadczenie powtórzyłem ale kulka była umieszczona na najwyższym miejscu na pochylni. W sumie uzyskałem sześć torów ruch badanego obiektu przy trzech znacznie różniących się prędkości kątowych adaptera, a przy każdej prędkości kulka była na najwyższym bądź najwyższym miejscu na pochylni.

Opracowanie wyników

Najpierw wyznaczam okresy, prędkości kątowe i częstości dla poszczególnych badanych prędkości płyty adapteru.

Okres jest to czas trwania ruch do ilości obrotów (w moim przypadku dla każdego pomiaru było 20 obrotów).

Częstość obliczam ze wzoru:

gdzie:

f-częstość

T-okres

Prędkość kątową obliczam ze wzoru:

gdzie:

ω-prędkość kątowa

T-okres

NUMER PRĘDKOŚCI	CZAS 20 OKRESÓW [s]	OKRES [s]	CZĘSTOŚĆ [Hz]	PRĘDKOŚĆ KĄTOWA [rad/s]
1	39	2,0	0,50	180
2	64	3,2	0,32	113
3	50	2,5	0,40	144

Teraz obliczam objętość i promień kulki

Przy danej średnicy 24,6mm promień badanego obiektu wynosi R=12,3mm, a zatem jej objętość wynosi V=7,8*10^-6m³ Kulka wykonana była ze stali nierdzewnej, której gęstość wynosi () 7860kg/m³. Przy odpowiednim przeliczeniu jednostek i po podstawieniu do wzoru na gęstość (
gdzie ρ-gęstość) masa wynosi m=62g.

Przy tak danych wynikach mogę obliczyć wartość siły odśrodkowej przy różnych odległościach od początku układu współrzędnych. Korzystam ze wzoru (2) ze wstępu teoretycznego.

Prędkość kątowa ω=180[rad/s]

PROMIEŃ[cm] KULKA NIŻEJ	SIŁA ODŚRODKOWA[N]	PROMIEŃ[cm] KULKA WYŻEJ	SIŁA ODŚRODKOWA[N]
3	1,8*10^-2	5	3,1*10^-2
4	2,5*10^-2	7	4,3*10^-2
5	3,1*10^-2	12	7,4*10^-2
8	4,9*10^-2	14	8,6*10^-2

Prędkość kątowa ω=113[rad/s]

PROMIEŃ[cm] KULKA NIŻEJ	SIŁA ODŚRODKOWA[N]	PROMIEŃ[cm] KULKA WYŻEJ	SIŁA ODŚRODKOWA[N]
5	1,2*10^-2	4	1,0*10^-2
7	1,7*10^-2	7	1,7*10^-2
8	1,9*10^-2	10	2,4*10^-2
10	2,4*10^-2	13	3,2*10^-2

Prędkość kątowa ω=144[rad/s]

PROMIEŃ[cm] KULKA NIŻEJ	SIŁA ODŚRODKOWA[N]	PROMIEŃ[cm] KULKA WYŻEJ	SIŁA ODŚRODKOWA[N]
7	2,8*10^-2	5	2,0*10^-2
11	4,4*10^-2	7	2,8*10^-2
16	6,3*10^-2	9	3,6*10^-2
		11	4,4*10^-2

Wyniki uzyskane podczas doświadczenia przedstawiam na wykresie w postaci funkcji r=r(φ). Z uzyskanych wykresów obliczam tg nachylenia prostej (która jest graficznym obrazem przeprowadzonego doświadczenia),a z tej wartości za pomocą równania:
(gdzie α-kąt nachylenia prostej na wykresie funkcji r=r(φ)) obliczam prędkość początkową kulki.

	tg KĄTA NACHYLENIA PROSTEJ	PRĘDKOŚĆ POCZĄTKOWA KULKI [m/s]
PRĘDKOŚĆ KĄTOWA I KULKA NIŻEJ	0,19	0,35
PRĘDKOŚĆ KĄTOWA I KULKA WYŻEJ	0,27	0,49
PRĘDKOŚĆ KĄTOWA II KULKA NIŻEJ	0,43	0,49
PRĘDKOŚĆ KĄTOWA II KULKA WYŻEJ	0,65	0,74
PRĘDKOŚĆ KĄTOWA III KULKA NIŻEJ	1,45	1,66
PRĘDKOŚĆ KĄTOWA III KULKA WYŻEJ	0,46	0,67

Mając wartość prędkości początkowej kulki, prędkości kątowej tarczy oraz masę i wektor położenia naszego obiektu w czasie mogę obliczyć wartość siły Coriolisa ze wzoru:

F_c=2m(ω²v₀²+ω⁴r²)^1/2

Prędkość kątowa ω=180[rad/s]

PROMIEŃ[cm] KULKA NIŻEJ V0=0,35[m/s]	SIŁA CORIOLISA [N]	PROMIEŃ[cm] KULKA WYŻEJ V0=0,49[m/s]	SIŁA CORIOLISA [N]
3	0,14	5	0,20
4	0,14	7	0,21
5	0,15	12	0,24
8	0,17	14	0,26

Prędkość kątowa ω=113[rad/s]

PROMIEŃ[cm] KULKA NIŻEJ V0=0,49[m/s]	SIŁA CORIOLISA [N]	PROMIEŃ[cm] KULKA WYŻEJ V0=0,74[m/s]	SIŁA CORIOLISA [N]
5	0,12	4	0,18
7	0,12	7	0,18
8	0,13	10	0,19
10	0,13	13	0,19

Prędkość kątowa ω=144[rad/s]

PROMIEŃ[cm] KULKA NIŻEJ V0=1,66[m/s]	SIŁA CORIOLISA [N]	PROMIEŃ[cm] KULKA WYŻEJ V0=0,67[m/s]	SIŁA CORIOLISA [N]
7	0,52	5	0,21
11	0,53	7	0,22
16	0,53	9	0,22
		11	0,23

Ocena błędów

Wszystkie błędy pomiarowe zostały naniesione na wykres. W przypadku odczytywania z otrzymanych torów ruchów kuli zależności współrzędnej radialnej r od kąta obrotu φ niepewność pomiarowa jest mniejsza niż dokładność przyrządu. Biegunowy układ współrzędnych, który jest dostępny na pracowni posiada skalę promienia 1cm, a skalę kąta co 5°. Tak duży błąd wpływałby bardzo niekorzystnie na dokładność wyniku końcowego, dlatego tez zawęziłem dokładność przyrządu. Przy odczytywaniu kierowałem się zasadą aby brać te wartości, które są prawie idealnie na przecięciu okręgów (wyznaczających odległość od początku układu) z prostymi (wyznaczającymi kąt φ). Następnie część łuku okręgu w którym badam tor kulki przybliżam do prostej i za pomocą linijki wyznaczam odcinek równy 1°, sprawdzam również dokładność odczytu odległości od początku układu. W przypadkach spornych błąd zaokrąglam w górę. Ostateczna wartość błędów jaką przyjąłem wynosi: dla r (odległości od początku układu) 2mm, dla kąta obrotu φ 1°.

W opisie doświadczenia zalecane było aby błąd przedstawić na wykresie. O ile przy wykresie r=r(φ), gdzie od razu mamy błąd r i φ jest to stosunkowo proste to przy wykresach zależności siły odśrodkowej i siły Coriolisa od odległości od osi obrotu nie mam danej wartości błędu tych sił. Dlatego też błędy tych wartości obliczam za pomocą różniczki zupełnej.

Zatem ostateczny wynik wartości siły odśrodkowej wraz z błędem pomiarowym wynosi:

Prędkość kątowa ω=180[rad/s]

PROMIEŃ[cm] KULKA NIŻEJ	SIŁA ODŚRODKOWA[N]	PROMIEŃ[cm] KULKA WYŻEJ	SIŁA ODŚRODKOWA[N]
3	(1,8±0,3)*10^-2	5	(3,1±0,3)*10^-2
4	(2,5±0,3)*10^-2	7	(4,3±0,4)*10^-2
5	(3,1±0,3)*10^-2	12	(7,4±0,7)*10^-2
8	(4,9±0,5)*10^-2	14	(8,6±0,7)*10^-2

Prędkość kątowa ω=113[rad/s]

PROMIEŃ[cm] KULKA NIŻEJ	SIŁA ODŚRODKOWA[N]	PROMIEŃ[cm] KULKA WYŻEJ	SIŁA ODŚRODKOWA[N]
5	(1,2±0,1)*10^-2	4	(1,0±0,1)*10^-2
7	(1,7±0,1)*10^-2	7	(1,7±0,1)*10^-2
8	(1,9±0,2)*10^-2	10	(2,4±0,2)*10^-2
10	(2,4±0,2)*10^-2	13	(3,2±0,2)*10^-2

Prędkość kątowa ω=144[rad/s]

PROMIEŃ[cm] KULKA NIŻEJ	SIŁA ODŚRODKOWA[N]	PROMIEŃ[cm] KULKA WYŻEJ	SIŁA ODŚRODKOWA[N]
7	(2,8±0,3)*10^-2	5	(2,0±0,2)*10^-2
11	(4,4±0,4)*10^-2	7	(2,8±0,3)*10^-2
16	(6,3±0,5)*10^-2	9	(3,6±0,3)*10^-2
		11	(4,4±0,4)*10^-2

Błąd dla siły Coriolisa również liczę metodą różniczki zupełnej:

Dla błędu policzonego z powyższego wzoru otrzymujemy ostateczna wartość siły Coriolisa:

PROMIEŃ[cm] KULKA NIŻEJ V0=0,35[m/s]	SIŁA CORIOLISA [N]	PROMIEŃ[cm] KULKA WYŻEJ V0=0,49[m/s]	SIŁA CORIOLISA [N]
3	0,14±0,02	5	0,20±0,03
4	0,14±0,02	7	0,21±0,03
5	0,15±0,02	12	0,24±0,03
8	0,17±0,02	14	0,26±0,03

Prędkość kątowa ω=113[rad/s]

PROMIEŃ[cm] KULKA NIŻEJ V0=0,49[m/s]	SIŁA CORIOLISA [N]	PROMIEŃ[cm] KULKA WYŻEJ V0=0,74[m/s]	SIŁA CORIOLISA [N]
5	0,12±0,01	4	0,18±0,02
7	0,12±0,01	7	0,18±0,02
8	0,13±0,01	10	0,19±0,02
10	0,13±0,01	13	0,19±0,02

Prędkość kątowa ω=144[rad/s]

PROMIEŃ[cm] KULKA NIŻEJ V0=1,66[m/s]	SIŁA CORIOLISA [N]	PROMIEŃ[cm] KULKA WYŻEJ V0=0,67[m/s]	SIŁA CORIOLISA [N]
7	0,52±0,06	5	0,21±0,02
11	0,53±0,06	7	0,22±0,02
16	0,53±0,06	9	0,22±0,02
		11	0,23±0,02

Wnioski

Z wykonanych wykresów można zaobserwować parę ciekawych rzeczy. Jeśli analizujemy wykres siły odśrodkowej od odległości od początku układu to możemy zaobserwować, że dla jednakowej prędkości kątowej tarczy wartość siły odśrodkowej nie ulega zmianie bez względu na to z którego miejsca na pochylni puszczona jest kulka. Zatem siła odśrodkowa zależy od prędkości kątowej tarczy, a nie od prędkości początkowej kulki. Poza tym wykresy zależności siły odś. od r zaczynają się w punkcie (0,0). Wynika stąd że siła odśrodkowa zaczęła działać dopiero wtedy gdy kulka zetknęła się z tarczą adapteru. Natomiast wykresy zależności siły Coriolisa od r zaczynają się „wyżej”. Można z tego wysunąć wniosek, że siła ta zaczęła działać na badane ciało o wiele wcześniej niż zetknęło się ono z powierzchnią adapteru.

WARTOŚĆ TABLICOWA: ”TABLICE MATEMATYCZNE, FIZYCZNE, CHEMICZNIE I ASTRONOMICZNE”, WSiP, WARSZAWA 1974

---