Zasady ruchu dla punktu materialnego Wykład 10

1. Zasada pędu i momentu pędu (krętu)

Ilością ruchu lub pędu nazywamy wektor

m V (12)

Pochodna pędu względem czasu przy stałej masie m zgodnie z drugim prawem Newtona, wynosi

(13)

Pochodna pędu względem czasu punktu materialnego równa się sumie sił działających na ten punkt

Równanie (13) możemy zapisać w postaci

(a)

Po scałkowaniu (a) w przedziałach odpowiadającym czasom t₁ i t₂ otrzymujemy

(14)

przyrost geometryczny pędu popęd

Równanie (14) wyraża zasadę pędu dla punktu materialnego

Jeżeli na punkt materialny nie działa siła P lub układ sił równoważnych to popęd jest równy zeru, a pęd jest wartością stałą

(15)

Równanie (15) wyraża zasadę zachowania pędu

Jeżeli na punkt materialny działa samozrównoważony

układ sił, to pęd jest wektorem stałym

Przykład 9

Po równi pochyłej tworzącej z poziomem kąt α zsuwa się ciało o masie m kg (rys.11). Dla czasu t = 0 prędkość początkowa V₁ = 0. Po jakim czasie t ciało uzyska prędkość V, jeśli współczynnik tarcia ślizgowego wynosi μ.

Rozwiązanie

y

T

V₁=0

V₂=V

N mg α x

Rys.11

Na zsuwające się ciało, które traktujemy jako punkt materialny, działają: siła ciężkości mg, reakcja normalna N równi i siła tarcia T. siły te są stałe co do wartości, kierunku i zwrotu. Równanie zasady pędu na oś 0x

(b)

Siły działające na ciało są stałe i wynoszą na oś x

Popęd siły jest równy

(c)

Podstawiając (c) do (b) otrzymujemy

stąd
(d)

określić czas jeśli: V = 3m/s, α = 27⁰, μ = 0.1, g = 9.81m/s²

z (d)

Moment pędu (kret)

, gdzie

,

z

K₀ mV

k m

90⁰ r

0 y

i j z x

y

x Rys.12

Niech ruch punktu występuje pod działaniem wypadkowej siły P. Na podstawie (13) mamy

(c)

Pochodna geometryczna względem czasu krętu K₀ względem nieruchomego bieguna 0

Ostatecznie
(16)

Pochodna względem czasu krętu K₀ punktu materialnego względem nieruchomego bieguna 0 jest równa momentowi względem tegoż bieguna wypadkowej sił działających na dany punkt materialny.

Z równania (16) wynikają trzy równania skalarne

(17)

gdy
to
stąd

Jeżeli moment względem dowolnego bieguna 0 wypadkowej sił działających na punkt materialny jest równy zero, to kręt punktu materialnego wyznaczony względem tegoż bieguna jest stały.

Przykład 10

Planeta o masie m w swoim ruchu dookoła Słońca ma w punkcie A₀ prędkość V₁ (rys.13). Wyznaczyć prędkość V₂ planety w przeciwległym punkcie A₁ toru. Dana jest dłuższa półoś elipsy ( toru planety) a i jej promień r₀ w punkcie początkowym A₀.

m V₁

b P

A₁ 0 S A₀

a r₀

V₂ Rys.13

Rozwiązanie

Wartość krętu względem punktu S (Słońca) w położeniu A₀ i A₁ planety wynosi

,

Siła P przyciągająca planetę, jest siłą centralną skierowaną do Słońca S. Moment siły P względem punktu S jest równy zeru. Kręt względem punktu S zachowuje stałą wartość, zatem
stąd

Zasada równoważności energii kinetycznej i pracy

Definicja energii kinetycznej punktu materialnego

o masie m

(17)

Dynamiczne równanie ruchu (2) mnożymy

skalarnie stronami przez V

(d)

Po wykorzystaniu tożsamości

gdzie uwzględniono że

i pamiętając, że
, równanie (d) ma postać

(e)

Po scałkowaniu stronami równania (e) otrzymujemy

(f)

Lewa strona równania (f) przedstawia przyrost energii

kinetycznej
w przedziale czasu (t₁, t₂). Wyrażenie po prawej stronie równania (f) nazywamy pracą i oznaczamy W. Zatem

(18)

A V₁

m dr B V₂

r P

0 Rys.14

Przyrost energii kinetycznej punktu materialnego w skończonym przedziale czasu jest równy sumie prac, które wykonały w tym samym czasie wszystkie siły działające na ten punkt.

Przykład 11

Wahadło matematyczne o długości l wychylono z położenia równowagi o kąt prosty i następnie oswobodzono bez prędkości początkowej. Wyznaczyć prędkość punktu materialnego o masie m zawieszonego na końcu nici wahadła oraz napięcie nici jako funkcje kąta φ odmierzanego od pionu (rys.15).

l A₀

0 h=lcosφ

S

φ m

mg

V Rys.15

Rozwiązanie

Na podstawie twierdzenia o energii kinetycznej wyznaczamy najpierw prędkość punktu materialnego. W rozpatrywanym przypadku prace wykonuje tylko siła ciężkości, gdyż reakcja nici oznaczona na rysunku przez S jest normalna do toru. Biorąc pod uwagę to, że w chwili początkowej prędkość punktu materialnego była równa zeru, otrzymujemy
stąd

dla
(g)

Aby wyznaczyć napięcie nici, liczbowo równe reakcji S,

układamy równanie dynamiczne w kierunku normalnej do toru rozpatrywanego punktu materialnego

(h)

Z równania (g) i (h) znajdujemy

(i)

Z równania (i) wynika, że

15dyn

16 dyn

17dyn

18dyn

19dyn

20dyn

---