ANALIZA STRUKTURY ZBIOROWOŚĆI

STRUKTURA - budowa wewnętrzna badanej zbiorowości statystycznej.

ROZKŁAD EMPIRYCZNY - przyporządkowanie liczby obserwacji (liczebności) odpowiednim wartościom cechy zmiennej.

Rozkład empiryczny prezentuje szereg rozdzielczy.

KLASY ROZKŁADÓW EMPIRYCZNYCH

1. Rozkłady symetryczne i asymetryczne

2. Rozkłady jednomodalne, bimodalne i wielomodalne

3. Rozkłady platokurtyczne (spłaszczone) i leptokurtyczne (wysmukłe)

ROZKŁAD SYMETRYCZNY - rozkład posiadający oś symetrii, obserwacje są rozłożone równomiernie po obu stronach osi symetrii. Oś symetrii przecina odciętą w punkcie, która jest średnią arytmetyczną zmiennej

r. normalny r. leptokurtyczny r. platokurtyczny

ROZKŁAD ASYMETRYCZNY - rozkład nie posiadający oś symetrii,

1. rozkład lewostronny - ujemny - większość jednostek grupuje się wokół wartości wyższych w szeregu;

2. rozkład prawostronny - dodatni - większość jednostek grupuje się wokół wartości niższych w szeregu;

r. prawostronny r. lewostronny r. skrajnie ujemny

r. skrajnie dodatni

ROZKŁAD JEDNOMODALNY - krzywa liczebności o jednym ekstremum (maksimum)

ROZKŁAD BIMODALNY - krzywa liczebności o dwóch ekstremach

ROZKŁAD WIELOMODALNY - krzywa liczebności ma więcej niż dwa maksima

r. jednomodalny r. bimodalny r. wielomodalny

PODSTAWOWE WSKAŹNIKI STRUKTURY I NATĘŻENIA

- bezwzględna liczba jednostek i-tego wariantu cechy

- łączna liczba jednostek w zbiorowości

- częstość tj. frakcja

- wskaźnik struktury, tj. stosunek wybranej części zbiorowości do całej zbiorowości;

- wskaźnik natężenia, tj. stosunek liczebności dwóch zbiorowości pozostających ze sobą w logicznej zależności

- liczebności szeregu skumulowanego, (sumowanie liczebności kolejnych przedziałów);

- względny wskaźnik podobieństwa struktur, tj. iloraz sumy mniejszych wskaźników zaobserwowanych w kolejnych przedziałach porównywalnych rozkładów i sumy większych wskaźników;
;

WŁASNOŚCI ROZKŁADU EMPIRYCZNEGO

TENDENCJA CENTRALNA - POŁOŻENIE - punkt skupienia obserwacji znajduje się w środku rozkładu (symetria) lub w pobliżu środka rozkładu (umiarkowana asymetria)

• R. wykazujące tendencję centralną

• R. nie wykazujące tendencji centralnej

DYSPERSJA - ZRÓŻNICOWANIE , ROZPROSZENIE, ZMIENNOŚĆ - zróżnicowanie jednostek zbiorowości między sobą wartościami cechy zmiennej

• R. słabo zróżnicowane

• R. umiarkowanie zróżnicowane

• R. silnie zróżnicowane

ASYMETRIA - SKOŚNOŚĆ - sposób rozmieszczenia liczebności przy wartościach cechy

• R. symetryczne

• R. umiarkowanie asymetryczne (p,l)

• R. skrajnie asymetryczne (p,l)

KONCENTRACJA - KURTOZA, SPŁASZCZENIE - stopień skupienia obserwacji wokół wartości średniej arytmetycznej

• R. normalny

• R. wysmukły

• R. spłaszczony

PARAMETRY OPISUJĄCE WŁASNOŚCI ROZKŁADU

PARAMETRY KLASYCZNE - miary obliczane na podstawie wszystkich obserwacji, stosowane do analizy rozkładów charakteryzujących się te tendencją centralną;

PARAMETRY POZYCYJNE - wyznaczane na podstawie miejsca jakie zajmują w szeregu lub częstotliwości występowania; szczególnie przydatne w analizie szeregów silnie (skrajnie) asymetrycznych, szeregów z otwartymi przedziałami klasowymi,

WŁASNOŚĆ ROZKŁADU	MIARY KLASYCZNE	MIARY POZYCYJNE
TENDENCJA CENTRALNA	Średnia arytmetyczna	Mediana Me Dominanta D Kwartyle Q1,, Q3 Decyle D1, D2, ..., D9
DYSPERSJA	Wariancja s^2 Odchylenie przeciętne d Odchylenia standardowe s Współczynnik zmienności V(s)	Rozstęp R Odchylenie ćwiartkowe Q Współczynnik zmienności V(Q)
ASYMETRIA	Moment trzeci centralny Moment trzeci względny	Współczynnik skośności A(x)
KONCENTRACJA	Moment czwarty centralny Moment czwarty względny	Wskaźnik spłaszczenia Wk

MIARY POŁOŻENIA

ŚREDNIA ARYTMETYCZNA - iloraz globalnej wartości cechy oraz liczby obserwacji. Wskazuje jaki poziom badanej cechy przypada na jednostkę zbiorowości; określa jaki jest przeciętny (średni) poziom badanej cechy w zbiorowości.

1. szereg szczegółowy:

2. szereg rozdzielczy jednostopniowy:

3. szereg rozdzielczy wielostopniowy:

WŁASNOŚCI ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ

1.

2.

3.

4.

5.

MEDIANA - wartość środkowa; wartość cechy jaką posiada jednostka znajdująca się w środku uporządkowanego szeregu. Oznacza ona, iż połowa zbiorowości ma wartości cechy nie większe niż mediana, a druga połowa wartości nie mniejsze niż mediana.

1. szereg szczegółowy - porządkujemy obserwacje wg rosnących wartości cechy i wskazujemy obserwację środkową.

W przypadku parzystej liczby obserwacji wartość mediany jest średnią arytmetyczną z dwóch środkowych obserwacji.

np.

2 3 3 6 7 7 9 11 13

11 13 13 16 18 19 22 22 25 30

2. szereg rozdzielczy jednostopniowy - 1) wyznaczamy numer jednostki znajdującej się w szeregu, tzw. pozycję mediany, 2) w szeregu skumulowanym znajdujemy klasę zawierającą pozycję mediany, 3) wartość mediany jest wartością cechy we wskazanej klasie;

xi	ni	nicum
0	6	6
1	7	13
2	11	24
3	4	28
4	3	31
5	2	33
∑	33	x

3. szereg rozdzielczy wielostopniowy - 1) wyznaczamy numer jednostki znajdującej się w szeregu, tzw. pozycję mediany, 2) w szeregu skumulowanym znajdujemy klasę zawierającą pozycję mediany, 3) wyznaczamy medianę w oparciu o wzór interpolacyjny:

	ni	nicum
0-10	9	9
10-20	19	28
20-30	23	51
30-40	14	65
40-50	9	74
50 i więcej	7	81
∑	81	x

KWARTYLE - wartości ćwiartkowe, dzielą zbiorowość, uporządkowaną wg rosnących wartości badanej cechy, na cztery jednakowo liczne części.

KWARTYL PIERWSZY Q₁ - oznacza, iż 25% badanej zbiorowości osiąga wartości cechy nie większe niż Q₁, a 75% zbiorowości ma wartości cechy nie mniejsze niż Q₁.

KWARTYL DRUGI Q₂ - jest równy Medianie, gdyż oznacza, iż 50% badanej zbiorowości osiąga wartości cechy nie większe niż Q₂, a druga połowa - wartości nie mniejsze niż Q_2.

KWARTYL TRZECI Q₃ - oznacza, iż 75% badanej zbiorowości osiąga wartości cechy nie większe niż Q₃, zaś pozostałe 25% - wartości nie mniejsze niż Q₃.

1. szereg szczegółowy - porządkujemy obserwacje wg rosnących wartości cechy i wskazujemy obserwację leżącą w ¼ zbiorowości.

np.

2 3 3 6 7 7 9 11 13

2. szereg rozdzielczy jednostopniowy - 1) wyznaczamy numer jednostki znajdującej się w szeregu, tzw. pozycję mediany, 2) w szeregu skumulowanym znajdujemy klasę zawierającą pozycję mediany, 3) wartość mediany jest wartością cechy we wskazanej klasie;

xi	ni	nicum
0	6	6
1	7	13
2	11	24
3	4	28
4	3	31
5	2	33
∑	33	x

Q₁

Q₃

3. szereg rozdzielczy wielostopniowy - 1) wyznaczamy numer jednostki znajdującej się w szeregu, tzw. pozycję, 2) w szeregu skumulowanym znajdujemy klasę zawierającą pozycję parametru, 3) wyznaczamy parametr w oparciu o wzór interpolacyjny:

	ni	nicum
0-10	9	9
10-20	19	28
20-30	23	51
30-40	14	65
40-50	9	74
50 i więcej	7	81
∑	81	x

DOMINANTA - MODA - to pozycyjna miara położenia wyznaczana przez częstotliwość występowania wyróżnionych wartości cechy. Informuje ona jaka wartość cechy występuje najczęściej (dominuje).

1. szereg szczegółowy - porządkujemy obserwacje wg rosnących wartości cechy i wskazujemy obserwację występującą najczęściej.

np.

2 3 3 6 7 7 7 9 11 13

2. szereg rozdzielczy jednostopniowy - wskazujemy wartość cechy wokół oscyluje największa liczba obserwacji

xi	ni
0	6
1	7
2	11
3	4
4	3
5	2
∑	33

3. szereg rozdzielczy wielostopniowy - 1) wskazujemy przedział klasowy, w którym skupia się największa liczba obserwacji 2) wyznaczamy dominantę w oparciu o wzór interpolacyjny:

	ni
0-10	9
10-20	19
20-30	23
30-40	14
40-50	9
50-60	7
∑	81

GRAFICZNE WYZNACZANIE DOMINANTY

GRAFICZNE WYZNACZANIE KWARTYLI

12

---