CIĄGI ZMIENNYCH LOSOWYCH

X_n : → R , n ∈Ν

X₁, X₂ , ..., X_k, ...

Rodzaje zbieżności ciągów zm. los.

1) Zbieżność wg. dystrybuanty :

słaba granica Xo dystr

2) Zbieżność z prawdopodobieństwem 1

P { w ∈ : lim X_n (w) = X (w)} = 1

X =

mocne prawa wielkich liczb

3) Zbieżność z prawdopodobieństwem p (stochastyczna)

X = l . i . p.X_n

słabe prawa wielkich liczb

4) Zbieżność średniokwadratowa

X₁, X₂ ,...→ X ∈ L₂ (, F,P) , X_n ∈ L₂ (, F, P),_n∈N

E [X_n - X)²] = 0 ,X = l .i .m X_n

PODSTAWOWE PRAWA I TWIERDZENIA W PE

L₁(,F,P) - klasa zmiennych losowych o wartościach w R mających

wartość oczekiwaną E

F : L₁(,F,P) →R X: →R, E_X = X(w) dP(w)

L₂ (,F,P) - klasa wszystkich zmiennych losowych drugiego rzędu (mających skończoną wariancję D²)

Nieliniowy funkcjonał D² : L₂ (,F,P) →R, D²X = σ² = E(X²) - (EX)²

Cov (X,Y) = E[(X-EX) (Y-EY)]

Prawo wielkich liczb CZEBYSZEWA :

Jeżeli zmienne losowe X₁, X₂,...X_n,... są parami niezależnie i mają wspólnie ograniczone wariancje :

NIERÓWNOŚĆ CZEBYSZEWA :

Jeżeli X∈ L₂ (,F,P), to

Dla estymatora mamy

Po przekształceniu :

ustalając poziom ufności α, możemy wyznaczyć wielkość próby losowej prostej : n, przy której spełnione są założenia tw. Czebyszewa:

a stąd

---