WYKŁAD

Temat: ANALIZA PROGU RENTOWNOŚCI W DŁUGIM OKRESIE

Zagadnienia:

1. Standardowa postać analizy progu rentowności

2. Dynamiczna analiza progu rentowności

3. Analiza progu rentowności w warunkach wzrostu cen

4. Analiza progu rentowności przy zależnościach nieliniowych

5. Analiza progu rentowności w warunkach niepewności

6. Próg rentowności a przepływy pieniężne

7. Próg rentowności a podatek dochodowy

1. Standardowa postać analizy progu rentowności

Przedsiębiorstwa, prowadząc działalność gospodarczą polegającą na wytwarzaniu i sprzedaży produktów, ponoszą określone koszty. Ekwiwalentem za ponoszone koszty są przychody uzyskiwane ze sprzedaży wytworzonych produktów. Ponoszone koszty są zatem pokrywane z przychodów osiągniętych ze sprzedaży produktów. Ważne zatem jest ustalenie, kiedy przychody ze sprzedaży przewyższają koszty własne sprzedanych produktów i przedsiębiorstwo zaczyna osiągać zysk ze sprzedaży.

Podstawowym czynnikiem wpływającym na poziom kosztów własnych produkcji jest jej wielkość. Od wielkości produkcji zależy bowiem skala zaangażowania różnych czynników produkcji, których zużycie wyrażone wartościowo stanowi koszty działalności przedsiębiorstwa. Jednocześnie od wielkości sprzedaży zależy kwota przychodu osiąganego ze sprzedaży produktów. W konsekwencji od wielkości produkcji i sprzedaży zależy kwota wyniku finansowego osiąganego przez przedsiębiorstwo ze sprzedaży produktów.

Ustalając wielkość produkcji i sprzedaży różnych produktów, przedsiębiorstwo powinno zatem przeprowadzać ocenę wpływu tej wielkości na wynik finansowy. Narzędziem badawczym umożliwiającym taką ocenę jest analiza progu rentowności. Pozwala ona uzyskać odpowiedź na następujące ważne pytanie: przy jakiej wielkości produkcji i sprzedaży przychód uzyskany ze sprzedaży pokrywa koszty własne sprzedanych produktów, po czym przedsiębiorstwo zaczyna osiągać zysk ze sprzedaży.

Analiza progu rentowności jest metodą systematycznego badania relacji zachodzących między zmianami wielkości produkcji i sprzedaży, a kwotami przychodów i kosztów oraz wyniku finansowego. Ponieważ analiza progu rentowności jest modelem tych relacji, więc upraszcza realne warunki funkcjonowania przedsiębiorstwa. Analiza ta wymaga zatem przyjęcia określonych założeń i uwzględnienia pewnych ograniczeń.

Podstawowe założenia analizy progu rentowności są następujące:

1. Analiza opiera się na relacjach między kosztami, przychodem i wielkością produkcji oraz wynikiem finansowym w krótkim okresie.

2. Analiza jest przeprowadzana dla przedziału zmienności produkcji obejmującego wielkości produkcji adekwatne do normalnych zdolności produkcyjnych przedsiębiorstwa.

3. Zakłada się, że wszystkie inne czynniki oprócz tych, które są uwzględnione w analizie, nie ulegają zmianie.

4. Zakłada się, że koszty całkowite są liniową funkcją wielkości produkcji i istnieje możliwość ich podziału na dwie części: koszty stałe i koszty zmienne.

5. Przyjmuje się, że przychód ze sprzedaży zmienia się proporcjonalnie w stosunku do wielkości sprzedaży.

6. Przyjmuje się, że wielkość produkcji jest równa wielkości sprzedaży.

Podstawowe równanie modelu analizy progu rentowności wyraża się wzorem:

S = K,

gdzie:

S - przychód ze sprzedaży produktów,

K - koszty własne sprzedanych produktów.

Próg rentowności jest taką wielkością produkcji i sprzedaży, przy której przychody uzyskane ze sprzedaży produktów równają się kosztom własnym sprzedanych produktów. Stąd też dla progu rentowności wynik finansowy na sprzedaży produktów jest równy zeru.

Próg rentowności przy produkcji jednoasortymentowej. Na wielkość progu rentowności w przedsiębiorstwie wytwarzającym jednorodne produkty wpływają:

• liczba sprzedanych produktów,

• jednostkowa cena sprzedaży,

• jednostkowe koszty zmienne,

• całkowite koszty stałe.

W produkcji jednoasortymentowej przychód ze sprzedaży jest iloczynem liczby sprzedanych produktów i ceny sprzedaży. Wyraża się to wzorem:

S = q x p

gdzie:

p - cena sprzedaży produktu,

q - wielkość sprzedaży produktu.

natomiast koszty całkowite są sumą kosztów zmiennych i kosztów stałych, co wyrażone jest wzorem:

K_c = K_s + k_zj x q

gdzie:

Ks - koszty stałe,

kzj - jednostkowy koszt zmienny,

q - wielkość produkcji.

Próg rentowności można zatem określić następująco:

S = K_c

Po podstawieniu do wzoru wyjściowego otrzymujemy równanie:

q x p = K_s + k_zj x q

po prostym przekształceniu przybiera postać:

q x p - k_zj x q = K_s

a następnie:

q(p - k_zj) = K_s

Z tego wzoru można wyprowadzić formułę progu rentowności wyrażonej w formie ilościowej. Przyjmuje ona postać:

Pri	=	Ks
				p - kzj

Wielkość występująca w mianowniku powyższego wzoru, tj. różnica ceny sprzedaży produktu i jednostkowego kosztu zmiennego, jest jednostkową marżą pokrycia.

Dokonując niewielkiej modyfikacji wzoru na wyznaczenie progu rentowności, można obliczyć wielkość produkcji, przy której osiągnie się planowany zysk.

Q	=	Ks + Z
				p - kzj

Wartościowy próg rentowności, oznaczający krytyczną wartość sprzedaży produktu, jest wyznaczany następująco:

Pr_w = Pr_i x p

Wartościowy próg rentowności może być także wyznaczony ze wzoru:

Prw	=	Ks
				1	-	kzj
						p

Wielkość występująca w mianowniku tego wzoru jest stopą jednostkowej marży pokrycia w cenie sprzedaży produktu.

Graficzną ilustracją progu rentowności w warunkach produkcji jednorodnej w krótkim okresie jest schemat 1.

Schemat 1

Linia pozioma w stosunku do osi odciętych reprezentuje koszty stałe. Prosta wznosząca się powyżej kosztów stałych oznacza linię kosztów zmiennych, a po uwzględnieniu kosztów stałych, będzie to jednocześnie linia kosztu całkowitego. Kąt nachylenia linii kosztów zmiennych jest uzależniony od wysokości jednostkowego kosztu zmiennego i od przyrostu produkcji. Trzecia prosta wychodząca z punktu 0 reprezentuje przychód ze sprzedaży. Jej kąt nachylenia zależy od ceny produktu i wielkości sprzedaży. Rozwarcie pomiędzy prostymi przychodu ze sprzedaży i kosztów całkowitych reprezentuje zysk (powyżej progu rentowności) lub stratę (poniżej progu rentowności). Próg rentowności może ulec zmianie w zależności od tego, jak ułoży się relacja pomiędzy przychodami i kosztami całkowitymi. Wzrost przychodów obniża próg rentowności, a wzrost kosztów próg ten podwyższa. Wzrost przychodów ze sprzedaży jest funkcją wielkości sprzedaży i cen. Natomiast na zmianę kosztów całkowitych mogą mieć wpływ koszty stałe i koszty zmienne. Jeżeli nastąpi wzrost kosztów stałych to prosta tych kosztów przesuwa się w górę, podnosząc prostą kosztu całkowitego i podwyższając tym samym próg rentowności. Ale pomiędzy kosztami stałymi i kosztami zmiennymi może nastąpić efekt substytucji. Wzrostowi kosztów stałych mogą odpowiadać niższe koszty zmienne. Wówczas wprawdzie prosta kosztów stałych przesunie się w górę, ale prosta kosztów zmiennych będzie miała mniejszy kąt nachylenia ze względu na niższy poziom kosztów zmiennych i koszty całkowite mogą nie ulegać istotnej zmianie.

Próg rentowności przy produkcji wieloasortymentowej. Dla produkcji wieloasortymentowej, gdy rozważa się produkcję i sprzedaż n asortymentów produktów, równanie przychodów ze sprzedaży przyjmuje postać:

		n
S	=	Σ	piqi
		i = 1

gdzie:

p_i - cena sprzedaży produktów i-tego asortymentu,

q_i - wielkość sprzedaży produktów i-tego asortymentu.

Równanie kosztów własnych sprzedanych produktów przedstawia się teraz następująco:

		n
Kc	=	Σ	kzji qi	+	Ks
		i = 1

gdzie:

k_zji - jednostkowy koszt zmienny produktu i-tego asortymentu,

q_i - wielkość produkcji produktu i-tego asortymentu.

K_s - koszty stałe przedsiębiorstwa.

Przyrównując do siebie powyższe równania, otrzymujemy równanie progu rentowności dla produkcji wieloasortymentowej:

n			n
Σ	piqi	=	Σ	kzj qi	+	Ks
i = 1			i = 1

W odniesieniu do produkcji wieloasortymentowej istnieje możliwość jednoznacznego wyznaczania jedynie wartościowego progu rentowności. Przyjmuje on następującą postać:

Prw	=	Ks
				Wp

gdzie W_p oznacza wskaźnik pokrycia nazywany też stopą marży pokrycia w przychodzie ze sprzedaży, a obliczany jest następująco:

Wp	=	n
				Σ	mi x qi
				i = 1
				n
				Σ	pi x qi
				i = 1

gdzie:

m_i - jednostkowa marża pokrycia realizowana na produkcie i-tego asortymentu

Stopa ta ukazuje udział całkowitej marży pokrycia w przychodzie ze sprzedaży produktów wszystkich asortymentów. W produkcji wieloasortymentowej o niejednakowych stopach marży pokrycia dotyczących różnych produktów zrównanie przychodów całkowitych z kosztami całkowitymi można osiągnąć, tworząc rozmaite zestawy asortymentowe produkcji. Zatem zmiana struktury asortymentowej produkcji spowoduje także zmianę progu rentowności.

Wyznaczenie ilościowego progu rentowności dla produkcji wieloasortymentowej jest bardziej złożone. Będzie on nie pojedynczym punktem, lecz zbiorem punktów. Każdemu asortymentowi produkcji będzie więc odpowiadał jeden ilościowy próg rentowności. Przy tym są różne sposoby wyznaczania ilościowych progów rentowności dla produkcji wieloasortymentowej.

Sposób wyznaczania ilościowych progów rentowności dla produkcji wieloasortymentowej zależy od podejścia do kosztów stałych. W tym zakresie można wyróżnić trzy odmienne rozwiązania:

1. Koszty stałe są w części odnoszone do przedsiębiorstwa, a w części rozliczane między asortymenty produkcji. W takich warunkach ilościowe progi rentowności mogą być wyznaczane za pomocą metody segmentowej analizy progu rentowności. Analiza segmentowa charakteryzuje się wydzieleniem kosztów stałych poszczególnych asortymentów produkcji i kosztów stałych całego przedsiębiorstwa. Koszty stałe przedsiębiorstwa rozdziela się na asortymenty proporcjonalnie do marży na sprzedaży. Ustalenie progu rentowności dla i-tego asortymentu produktu ustala się według wzoru:

		ksi	+	mi		Ks
							n
				Σ	mi
Pri	=			i = 1
				mi

gdzie:

Pr_i - ilościowy próg rentowności i-tego asortymentu,

k_si - koszty stałe i-tego asortymentu

m_i - marża na sprzedaży i-tego asortymentu

K_s - koszty stałe przedsiębiorstwa

2. Koszty stałe są rozliczane między poszczególne asortymenty produkcji. W takiej sytuacji analizę progu rentowności, w tym i wyznaczanie ilościowych progów rentowności, przeprowadza się odrębnie dla każdego asortymentu.

3. Koszty stałe są w całości odnoszone do przedsiębiorstwa. W takim przypadku ilościowe progi rentowności mogą być wyznaczane z zastosowaniem metody przeciętnej marży pokrycia.

Próg rentowności ilościowy można obliczyć również metodą przeciętnej marży brutto. W metodzie tej koszty stałe rozpatrywane są jako jedna wielkość. Pierwszym etapem jest wyznaczenie udziału przychodów ze sprzedaży poszczególnych produktów w globalnych przychodach ze sprzedaży. Wskaźnik ten można obliczyć następująco:

ai	=	piqi
				n
		Σ	piqi
		i = 1

Teraz można wyznaczyć ilościowy próg rentowności według wzoru:

Pri	=	Ks
				n
		Σ	mi ai
		i = 1

Suma występująca w mianowniku tej formuły wyraża przeciętną jednostkową marżę brutto.

Aby ustalić ilościowe progi rentowności dla poszczególnych produktów należy ilościowy próg rentowności w jednostkach umownych pomnożyć przez wskaźnik udziału przychodów ze sprzedaży tych produktów w przychodach ogółem:

Pr_IIi = a_i x Pr_i

Wartościowy próg rentowności może być ustalany zgodnie z wcześniej przedstawionymi zasadami. Można go również obliczyć jako iloczyn ilościowych progów rentowności i cen sprzedaży poszczególnych produktów.

2. Dynamiczna analiza progu rentowności

Analiza progu rentowności w standardowym ujęciu ma charakter analizy statycznej. W analizie tej zakłada się bowiem niezmienność trzech podstawowych parametrów wyznaczających próg rentowności: kosztów stałych, jednostkowych kosztów zmiennych oraz cen sprzedaży produktów. Założenie o stałości wymienionych parametrów modelu analizy progu rentowności może być utrzymane jedynie w krótkim okresie. W długim okresie, pod wpływem działania różnych czynników, wszystkie wymienione parametry będą ulegać zmianom.

Zmiany kosztów stałych w długim okresie będą spowodowane głównie przystosowaniami zdolności produkcyjnych przedsiębiorstwa do zmian rozmiarów jego działalności. Wraz z rozszerzeniem skali działalności przedsiębiorstwa będzie występowała konieczność powiększenia zdolności produkcyjnych, co spowoduje skokowe przyrosty kosztów stałych. Z kolei przy ograniczeniu skali działalności
przedsiębiorstwa będą zmniejszane zdolności produkcyjne. Znajdzie to odzwierciedlenie w skokowych spadkach kosztów stałych. W długim okresie, gdy następują zmiany skali działalności, pociągające zmiany zdolności produkcyjnych, koszty stałe będą miały charakter kosztów względnie stałych.

W długim okresie będą także występować zmiany poziomu jednostkowych kosztów zmiennych. Wzrost kosztów pozyskania materiałów, mierzonych ceną ich nabycia, jest zjawiskiem powszechnym chociażby ze względu na występowanie inflacji oraz ograniczoność wielu rodzajów tych zasobów. Wzrost ten znajdzie odzwierciedlenie we wzroście jednostkowych kosztów zmiennych. W szczególnych przypadkach może oczywiście następować spadek tych kosztów, spowodowany zastosowaniem tańszych materiałów czy też bardziej oszczędnych technologii.

Podobnie wzrost wydajności pracy może się przyczynić do spadku kosztów wynagrodzeń. Te dwa ostatnie zjawiska znajdą odzwierciedlenie w obniżce jednostkowych kosztów zmiennych.

Również ceny sprzedaży produktów będą w długim okresie ulegać zmianom. Zmiany cen będą spowodowane oddziaływaniem na nie dwóch podstawowych czynników cenotwórczych: kosztów i wielkości produkcji. Wraz ze wzrostem jednostkowych kosztów własnych produkcji następuje zazwyczaj wzrost cen sprzedaży produktów, natomiast przy spadku tych kosztów może następować spadek cen. Z kolei wzrost wielkości produkcji może powodować konieczność obniżenia cen sprzedaży produktów w celu zapewnienia ich sprzedaży. Poziom cen sprzedaży produktów będzie także zależał od wielkości popytu.

Występujące w czasie zmiany rozważanych parametrów będą wymagały zastosowania innego podejścia badawczego do analizy progu rentowności. W przypadku występowania tych zmian należy zastosować dynamiczne podejście do tej analizy. W podrozdziale niniejszym zostaną przedstawione dwa odmienne rozwiązania dotyczące takiego ujęcia analizy progu rentowności.

Jednym z podejść badawczych do analizy progu rentowności w ujęciu dynamicznym jest analiza wrażliwości progu rentowności. Analiza wrażliwości progu rentowności polega na badaniu wpływu zmian podstawowych parametrów modelu na wysokość progu rentowności. Analiza ta pozwala zatem uzyskać odpowiedź na pytanie, jak zmieni się wysokość progu rentowności, jeśli nastąpi zmiana cen sprzedaży produktu, jednostkowych kosztów zmiennych lub kosztów stałych. Dalej rozpatrzymy odrębnie zmiany każdego z wymienionych parametrów.

Najpierw rozważymy zmiany ceny sprzedaży produktu przy niezmiennych dwóch pozostałych parametrach: jednostkowych kosztach zmiennych i kosztach stałych. Wzrost ceny sprzedaży produktu przyczyni się do wzrostu marży pokrycia, co spowoduje obniżenie się progu rentowności. Jeśli natomiast cena sprzedaży produktu zostanie obniżona, to jednocześnie nastąpi spadek marży pokrycia, a próg
rentowności się podniesie.

Następnie zajmiemy się zmianami jednostkowego kosztu zmiennego przy założeniu, że nie zmienią się cena sprzedaży produktu oraz koszty stałe. Jeśli jednostkowy koszt zmienny wzrośnie, to spowoduje to spadek marży pokrycia, co z kolei znajdzie odzwierciedlenie w podwyższeniu progu rentowności. Jeśli natomiast jednostkowy koszt zmienny zostanie obniżony, to przyczyni się to do wzrostu marży pokrycia i spowoduje obniżenie progu rentowności.

Rozważymy jeszcze zmiany kosztów stałych przy nie zmienionych cenach sprzedaży produktów i jednostkowych kosztach zmiennych. Jest to więc sytuacja, w której koszty stałe mają charakter kosztów względnie stałych. Jeśli nastąpi wzrost kosztów stałych, to próg rentowności zostanie przesunięty w górę. Jeśli natomiast nastąpi spadek kosztów stałych, to spowoduje to przesunięcie progu rentowności w dół.

Powyższe rozważania dotyczyły sytuacji, w której następuje zmiana jednego z trzech parametrów modelu progu rentowności przy nie zmienionych wartościach dwóch pozostałych parametrów. Wpływ jednoczesnych zmian większej liczby parametrów na wysokość progu rentowności zależy od rodzaju tych parametrów i kierunku ich zmian. Powinien on być zatem rozpatrywany odrębnie dla każdej sytuacji.

Analiza wrażliwości progu rentowności umożliwia wskazanie, jak zmiana określonych parametrów modelu wpływa na wysokość progu rentowności. Obecnie przedstawimy inne podejście do analizy progu rentowności w ujęciu dynamicznym, które umożliwia wykrycie tendencji do zmian w kształtowaniu się progu rentowności w czasie. Przy tym podejściu rozpatruje się kształtowanie progu rentowności w poszczególnych okresach określonego przedziału czasowego.

Załóżmy w ogólnym przypadku, że dysponujemy danymi niezbędnymi do przeprowadzenia analizy progu rentowności w n kolejnych okresach. Dla każdego okresu mamy więc następujące dane:

p_t - cena sprzedaży produktu w okresie t,

k_zjt - jednostkowy koszt zmienny w okresie t,
K_st - koszty stałe w okresie t,

q_t - wielkość produkcji w okresie t.

Mając te dane, możemy teraz dla każdego okresu wyznaczyć próg rentowności:

• próg rentowności ilościowy w okresie t:

Prit	=	Kst
				pt - kzjt

• próg rentowności wartościowy w okresie t:

Pr_wt = Pr_it x p_t

przy czym t = 1, 2, 3, …, n.

Dzięki takiemu podejściu możliwe jest dokonanie analizy dynamiki kształtowania się progu rentowności oraz wyznaczenie ogólnych tendencji w zakresie jego zmian. Przy występowaniu trwałych tendencji do zmian progu rentowności analiza taka może także stworzyć podstawy do wyznaczenia prognoz kształtowania się progu rentowności w przyszłości.

Mając ilościowe i wartościowe progi rentowności dla poszczególnych okresów (miesięcy roku obrotowego), można wyznaczyć próg rentowności dla całego badanego przedziału czasowego (roku obrotowego). Tak więc:

		n
Pri	=	Σ	Prit
		t = 1

		n
Prw	=	Σ	Prwt
		t = 1

Próg ten jest sumą progów rentowności w poszczególnych okresach (miesiącach).

3. Analiza progu rentowności w warunkach wzrostu cen

Podstawowymi parametrami kształtującymi wysokość progu rentowności są: cena sprzedaży produktu, jednostkowy koszt zmienny oraz koszty stałe. W standardowej postaci analizy progu rentowności zakłada się, że wszystkie te parametry są stałe i pozostają na nie zmienionym poziomie. W rzeczywistości jednak poziom tych parametrów będzie ulegał zmianom spowodowanym różnymi czynnikami.

Przy omawianiu tego problemu należy szczególną uwagę zwrócić na wpływ zmian cen dóbr i usług na poziom cen sprzedaży produktów,
jednostkowych kosztów zmiennych i kosztów stałych, a tym samym i na wysokość progu rentowności. Uwzględnienie zmian cen dóbr i usług przy wyznaczaniu progu rentowności ma na celu rozgraniczenie zmian progu rentowności wynikających ze wzrostu cen dóbr i usług od zmian spowodowanych zmianami warunków działalności przedsiębiorstwa. Badanie takie powinno umożliwić ocenę, czy zmiana wysokości progu rentowności jest spowodowana zmianami efektywności działania przedsiębiorstwa, czy też jest skutkiem wzrostu cen. Jeśli nie wyeliminuje się skutków wzrostu cen, trudno jest prawidłowo określić rzeczywiste zmiany wysokości progu rentowności spowodowane działalnością przedsiębiorstwa. Rozpatrując zjawisko inflacji wyróżnia się dwa rodzaje zmian cen: wzrost ogólnego poziomu cen dóbr i usług, który oznacza inflację, oraz wzrost cen konkretnych dóbr lub usług.

W warunkach inflacji, gdy występuje wzrost ogólnego poziomu cen dóbr i usług w gospodarce, można przyjąć założenie, że zmiany wszystkich parametrów występujących w modelu zależą w jednakowym stopniu od poziomu inflacji w gospodarce. Dlatego stopa inflacji będzie wykorzystana do korekty cen sprzedaży produktu, jednostkowego kosztu zmiennego i kosztów stałych. Stopa inflacji wpływa bowiem jednakowo na wszystkie parametry analizy. Po uwzględnieniu stopy inflacji, którą oznaczymy przez i, wzór na ilościowy próg rentowności przyjmie następującą postać:

Pri	=	Ks (1 + i)
				p (1 + i) - kzj (1 + i)

Po uproszczeniu otrzymamy wzór:

Pri	=	Ks
				p - kzj

Jest to taka sama postać wzoru na ilościowy próg rentowności, jak przy tradycyjnym ujęciu. Oczywiście jest to zrozumiałe, gdyż inflacja nie wpływa na wielkość produkcji wyrażoną w jednostkach naturalnych.

Wartościowy próg rentowności uwzględniający inflację będzie iloczynem ilościowego progu rentowności oraz ceny uzależnionej od stopy inflacji:

Pr_w = Pr_i x p (1 + i)

Wartościowy próg rentowności może być także wyznaczony ze wzoru:

Prw	=	Ks (1 + i)
				1	-	kzj (1 + i)
						p (1 + i)

a po uproszczeniu:

Prw	=	Ks (1 + i)
				1	-	kzj
						p

Wartościowy próg rentowności uwzględniający inflację jest zatem wyższy od wartościowego progu rentowności ustalonego w tradycyjny sposób o stopę inflacji. Graficzną ilustracją wyznaczonego progu rentowności na tle progu rentowności ustalonego w tradycyjny sposób jest schemat 2.

Schemat 2

Na schemacie tym linią ciągłą są zaznaczone proste kosztów i przychodów z uwzględnieniem inflacji. Z kolei linie przerywane z kropkami oznaczają proste przychodów i kosztów w okresie bieżącym, bez uwzględnienia inflacji. Omówimy teraz analizę progu rentowności w sytuacji, gdy wzrost ceny danego produktu jest inny niż wzrost ogólnego poziomu cen dóbr i usług w całej gospodarce. W takim przypadku stopę inflacji w gospodarce przyjmujemy dla kosztów stałych i jednostkowego kosztu zmiennego, natomiast cenę sprzedaży produktu korygujemy o indywidualny indeks jej wzrostu. Ilościowy próg rentowności uwzględniający indywidualny indeks wzrostu cen będzie się wyrażał następująco:

Pri	=	Ks (1 + io)
				p (1 + ip) - kzj (1 + io)

gdzie:

i_o - stopa inflacji w gospodarce,

i_p - stopa wzrostu ceny rozpatrywanego produktu.

Wartościowy próg rentowności będzie się natomiast przedstawiał jak niżej:

Pr_w = Pr_i x p (1 + i_p)

Próg ten może być także wyznaczony na podstawie wzoru:

Prw	=	Ks (1 + io)
				1	-	kzj (1 + io)
						p (1 + ip)

Wpływ wzrostu cen na wysokość progu rentowności zależy od relacji między stopą inflacji w gospodarce a stopą wzrostu ceny badanego produktu. Jeśli stopa wzrostu ceny danego produktu jest niższa od stopy inflacji w gospodarce, czyli i_o > i_p, to próg rentowności uwzględniający te stopy jest wyższy od progu rentowności
wyznaczonego tradycyjnie. Wówczas bowiem koszty własne produkcji rosną szybciej od ceny sprzedaży danego produktu. Z punktu widzenia przedsiębiorstwa jest to sytuacja niekorzystna, gdyż maleje rentowność jego produkcji. Jeśli natomiast wzrost ceny określonego produktu jest wyższy od wzrostu ogólnego poziomu cen dóbr i usług w gospodarce, czyli i_o < i_p to próg rentowności uwzględniający zmiany cen jest niższy od progu rentowności wyznaczonego w tradycyjny sposób. W tym
przypadku koszty własne produkcji rosną wolniej od ceny sprzedaży produktu, co oczywiście jest korzystne dla przedsiębiorstwa, następuje bowiem poprawa rentowności produkcji.

4. Analiza progu rentowności przy zależnościach nieliniowych

Analiza progu rentowności w standardowym ujęciu opiera się na założeniach o liniowych postaciach zależności występujących między przychodami ze sprzedaży i kosztami własnymi a wielkością sprzedaży (produkcji). W analizie tej przyjmuje się, że koszty własne sprzedanych produktów zależą liniowo od wielkości produkcji. Zakłada się więc, że koszty stałe mają charakter kosztów bezwzględnie stałych, a koszty zmienne są kosztami proporcjonalnie zmiennymi w stosunku do wielkości produkcji. Podobnie zakłada się, że przychód ze sprzedaży produktów jest proporcjonalny do wielkości ich sprzedaży.

Założenie o liniowych postaciach funkcji zależności kosztów własnych sprzedanych produktów i przychodów z ich sprzedaży może być przyjęte jedynie w analizie krótkookresowej. Założenie to trudniej jest utrzymać w długim okresie ze względu na wskazaną wyżej zmienność podstawowych parametrów występujących w modelu analizy progu rentowności.

Przy przeprowadzaniu długookresowej analizy progu rentowności należy rozważać bardziej ogólny przypadek, że funkcje kosztów własnych sprzedanych produktów oraz przychodów z ich sprzedaży będą zazwyczaj przybierać postać funkcji nieliniowych. W takich warunkach należy zastosować specyficzne podejście do analizy progu rentowności, będące pewnym uogólnieniem podejścia standardowego. Istota tego uogólnienia sprowadza się do uchylenia założeń o liniowych postaciach zależności kosztów własnych sprzedanych produktów i przychodów ze sprzedaży produktów od wielkości produkcji (sprzedaży).

W ogólnym przypadku funkcja kosztów własnych sprzedanych produktów może być oznaczona przez K(q), natomiast funkcja przychodów ze sprzedaży produktów jako S(q). Funkcja wyniku finansowego sprzedaży Z(q) produktów może być więc przedstawiona jako:

Z(q) = S(q) - K(q)

Wiadomo, że próg rentowności jest taką wielkością produkcji i sprzedaży, przy której przychód ze sprzedaży produktów jest równy kosztom własnym sprzedanych produktów. Wyraża to zapis:

S(q) = K(q)

Warunek ten jest równoważny warunkowi:

Z(q) = 0

Tak więc aby wyznaczyć próg rentowności, należy rozwiązać jedno z tych równań.

Ponieważ funkcje przychodów i kosztów mogą przybierać różne postacie, więc i kształty funkcji wyniku finansowego mogą być różne. Funkcja kosztów całkowitych przybiera raczej postać krzywej niż prostej. Obserwacje empiryczne dowodzą, że wraz ze wzrostem wielkości produkcji jednostkowe koszty zmienne maleją tylko do pewnej wielkości, po czym zaczynają rosnąć. W rezultacie krzywa kosztu całkowitego początkowo obniża się po czym zaczyna rosnąć w coraz szybszym tempie. Podobnie, w warunkach konkurencji, nieliniowo zachowują się przychody ze sprzedaży. Funkcja przychodów przypomina również krzywą, a nie prostą. Wynika to stąd, że przy dużych rozmiarach sprzedaży następuje z reguły spadek ceny. W efekcie mogą wystąpić dwa progi rentowności, a mianowicie próg rentowności minimum i próg rentowności maksimum. W takich sytuacjach progi rentowności będą wyznaczać przedział rentowności produkcji obejmujący wielkości produkcji zapewniające zysk. Sytuacja taka jest przedstawiona na schemacie 3.

Schemat 3

Pomiędzy progiem minimum a progiem maksimum występuje strefa zysku, natomiast poniżej i powyżej tych progów - strefa straty. Strefa straty powyżej progu rentowności maksimum zmusza ponownie przedsiębiorstwo do odwrócenia niekorzystnej relacji pomiędzy przychodami oraz kosztami i dążyć do uzyskania kolejnego progu rentowności.

---