WSTĘP TEORETYCZNY

Wahadło skrętne przedstawione na rysunku jest uproszczonym modelem cząsteczki chemicznej zbudowanej z dwu atomów (np. HCl, NaCl itp.). Cząsteczki takie mogą wykonywać w ośrodku ruchy rotacyjne, np. pod wpływem pola elektrycznego fali elektromagnetycznej. Drgania takie obserwuje się przy użyciu spektrofotometrów pracujących w podczerwonej części widma fal elektromagnetycznych, jako charakterystyczne widma pasmowe. Częstości rezonansowe ν drgań cząsteczek są skwantowane (przybierają wartości dyskretne, będące wielokrotnością stałej Plancka h).

gdzie: h - stała Plancka

I - moment bezwładności cząsteczki

J - liczba kwantowa rotacji, J=0,1,2,3,...

Mierząc przy pomocy spektrometru te cząsteczki drgań, które odpowiadają kolejnym wartościom liczby J, można wyznaczyć moment bezwładności cząste --> [Author:B] czki I, względem osi przechodzącej przez jej środek masy, prostopadle do prostej łączącej środki mas obu atomów (lub jonów). Jeśli masy obu atomów nie są jednakowe, to moment bezwładności takiej cząstki wynosi I=μ*d, gdzie μ jest tzw. Masą zredukowaną, którą określa wzór:

M₁ i M₂ oznaczają masy atomów tworzących cząsteczkę.

Znając wartość momentu bezwładności cząsteczki I można wyznaczyć bardzo ważny parametr cząsteczki: odległość d środków mas tworzących ją atomów.

W niniejszym ćwiczeniu przedstawiamy odpowiednik mechaniczny ruchu rotacyjnego cząsteczki, na przykładzie dwu par kulek o masach M₁ i M₂, które mogą drgać w sposób podany jak wyżej opisana realna cząsteczka. Zamiast sił pola elektromagnetycznego, na parę kulek działają siły sprężystości drutu stalowego, na którym kulki są zawieszone. W tym celu kulki nasunięto na pręt stalowy o średnicy 0,4 cm i długości 30 cm. Pręt ten jest zawieszony na stalowym, sprężystym drucie, napiętym na ramie. Odległość kulek od osi obrotu można zmieniać, przesuwając je symetrycznie na pręcie. Układ stanowi więc skrętne wahadło fizyczne, którego okres drgań jest równy:

gdzie: I - moment bezwładności układu złożonego z pręta i nasadzonych na niego ku

D - tzw. moment sił kierujących (lub moment kierujący) powstający w wyniku skręcania drutu

Moment bezwładności badanego układu jest sumą momentów bezwładności I_p pręta (względem osi prostopadłej do pręta i przechodzącej przez jego środek), oraz momentu bezwładności I_k obu kul (względem tej samej osi).

I = I_p+I_k

Dlatego wzór na okres drgań badanego układu ma postać:

(1)

Żeby wyznaczyć wartość momentu kierującego D wahadła wystarczy zmierzyć okres drgań samego pręta T_p oraz obliczyć, wykorzystując wzór podany w podręcznikach z mechaniki, na moment bezwładności samego pręta I_­p, który ma postać:

(2)

gdzie: m. - masa pręta,

l - jego długość.

Okres drgań T_p takiego pręta jest równy:

(3)

a stąd otrzymujemy:

(4)

Występująca w tym wzorze masa pręta m. jest równa iloczynowi gęstości ρ materiału, z którego jest pręt wykonany i objętości V pręta, czyli:

(5)

gdzie: l - długość pręta

a - średnica.

Po podstawieniu do wzoru (5) mamy:

(6)

Moment bezwładności I_p pręta użytego w eksperymencie wynosi

(7)

Pomiar okresu drgań pręta dał wynik:

T_p=0,65 s (8)

Dlatego moment kierujący ma wartość:

(9)

Teraz zajmiemy się wyznacznikiem momentu bezwładności I_k dla różnych odległości R tych kul od osi obrotu. Moment bezwładności kul dany jest wzorem:

(10)

gdzie: M._k - masa kuli

R - odległość środka masy kuli od osi obrotu.

Dwójka po prawej stronie wzoru (10) uwzględnia fakt, że drgają razem dwie kule, a ich momenty bezwładności się sumują.

W doświadczeniu korzystamy z dwu par kulek, lżejszych (M._­k1=33,8 g) o promieniu r₁=1 cm i cięższych (M._­k2=64,2 g) o promieniu r₂=1,25 cm, które rozmieszczamy symetrycznie względem środka pręta. Pręt ma naniesioną skalę odległości co 1 cm. Dla ułatwienia, przed rozpoczęciem pomiaru przytrzymujemy w pozycji wychylonej jeden koniec pręta przy pomocy elektromagnesu. Od momentu jego wyłączenia mierzymy czas potrzebny na wykonanie 20-tu wahnięć kulek. Pomiar powtarzamy dla kolejnych 10-ciu odległości kulek od osi obrotu. Okresy drgań T otrzymujemy dzieląc każdy wynik przez 20. Robimy wykres zależności okresu drgań T od jego odległości. Następnie korzystamy ze wzoru (4) przekształconego do postaci:

(11)

Do wzoru (11) podstawiamy wartości I_p oraz D policzone powyżej, a także wartości momentów bezwładności dla różnych odległości kulek obliczonych teoretycznie na podstawie wzoru (10). Obliczmy teoretyczną zależność okresu drgań wahadła od odległości kulek. Porównujemy wyniki obliczeń z wynikami pomiarów.

OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW

Wyznaczenie momentu kierującego D

Wyliczam masę pręta ze wzoru:

=30,66 g

Wyliczam moment bezwładności pręta:

=2439,54 gcm²

Pomiar okresu drgań pręta dał wynik:

T_p=0,66 s

Wyliczam moment kierujący D:

Sporządzenie wykresu zależności T²=f(R²)

Wyliczam T² dla poszczególnych R przyjętych w doświadczeniu:

Zestawienie wynków dla kulki M_K2=64,2 g

R^2	T^2 Teoretyczny	T^2 Doświadczalny
4	0,527	0,690977
9	0,642	0,887364
16	0,803	1,094116
25	1,01	1,377102
36	1,263	1,697809
49	1,562	2,064251
64	1,907	2,520156
81	2,298	2,980802
100	2,735	3,497835
121	3,218	4,0401

Wyznaczam współczynnik kierunkowy B:

Punkt przecięcia z osią rzędnych został obliczony w Excelu i wyniósł 0,642.

Wyliczam moment kierunkowy D dla wartości odczytanych z wykresu:

Wyliczam I_p:

gcm²

Zestawienie wyników dla M_K1=32,6 g

R^2	T^2 Teoretyczny	T^2 Doświadczalny
4	0,483	0,583314
9	0,543	0,676918
16	0,627	0,728462
25	0,735	0,868624
36	0,867	1,01909
49	1,023	1,193556
64	1,203	1,419077
81	1,407	1,657656
100	1,635	1,908542
121	1,887	2,18966

Wyznaczam współczynnik kierunkowy B:

Punkt przecięcia z osią rzędnych został obliczony w Excelu i wyniósł 0,528.

Wyliczam moment kierunkowy D dla wartości odczytanych z wykresu:

Wyliczam I_p:

gcm²

OCENA BŁĘDÓW

Wyliczam błąd ΔD metodą różniczki zupełnej

=

ΔD=2,14*10^-7+1,01*10^-7+0,067 ≈ ±0,067

WNIOSKI

Pierwszym zadaniem w ćwiczeniu było porównanie teoretycznego momentu kierującego D z momentem obliczonym na podstawie doświadczenia. Jak widać powyższych obliczeń moment teoretyczny jest rzędu 2,04*10⁵ natomiast moment wyliczony wynosi 2,21*10⁵. Błąd ten spowodowany jest niedokładnością przyrządów pomiarowych oraz błędami ludzkiego oka.

Następnym zadaniem postawionym w doświadczeniu było sporządzenie wykresów T²=f(R²).

Gdzie T jest okresem drgań dla poszczególnych parametrów, a R odległością umiejscowienia kulek od środka wahadła skrętnego. Przedstawione wykresy obrazują przebieg owego wykresu. Wartości doświadczalne okresu T nieco różnią się od wartości teoretycznych. Jednak różnice to są nieznaczne i możliwe do przyjęcia.

9

---