SZEREGI

Def. Szeregiem (od n=1 do ∞ z a_n) nazywamy ciąg (S_n).

S_n - ciąg sum częściowych szeregu (od n=1 do ∞ z a_n)

Def. Mówimy, ze szereg (od n=1 do ∞ z a_n) jest zbieżny jeśli zbieżny jest ciąg sum częściowych (S_n). W przeciwnym wypadku mówimy, że szereg jest rozbieżny.

Jeżeli ciąg (S_n) jest zbieżny to jego granicę
nazywamy sumą szeregu (od n=1 do ∞ z a_n)

Tw. Warunek konieczny zbieżności szeregu. Jeżeli szereg (suma od n=1 do ∞ z a_n jest zbieżny, to (n→∞) lim a_n=0

Warunek konieczny zbieżności szeregu nie jest warunkiem wystarczającym !!!

Szereg harmoniczny rozbieżny,

mimo, że

Zbieżny dla α > 1, rozbieżny dla α ≤ 1.

SZEREG DIRICHLETA

SZEREGI O WYRAZACH NIEUJEMNYCH.

Tw. Kryterium porównawcze (KP). Jeżeli 0 ≤ a_n ≤ b_n, n > N, to:

1. ze zbieżności szeregu (od n=1 do ∞ z b_n) wynika zbieżność szeregu (od n=1 do ∞ z a_n)

2. z rozbieżności szeregu (od n=1 do ∞ z a_n) wynika rozbieżność szeregu (od n=1 do ∞ z b_n)

0 ≤ a_n ≤ b_n =>

s_n = a₁ + a_n

S_n = b₁ + b_n s_n ≤ S_n ≤ M

Przykład 1):

Przykład 2)

Wniosek z KP (kryterium porównawczego)

Niech a_n ≥ 0, b_n > 0 dla n > N, (n→∞)lim a_n/b_n=g

Jeżeli:

1. q ≠ 0, ∞, to szeregi a_n i b_n są albo oba zbieżne albo oba rozbieżne

2. q = 0, to
   

3. q = ∞, to
   

Tw. KRYTERIUM d'ALEMBERTA (ilorazowe)

Niech a_n > 0, n ∈ N,

1. Jeżeli q < 1 to szereg (od n=1 do ∞ z a_n) < ∞ zbieżny

2. q > 1, to szereg (od n=1 do ∞ z a_n) = ∞ rozbieżny

Tw. KRYTERIUM CAUCHY'EGO (pierwiastkowe)

Niech a_n ≥ 0, n > N,

1. Jeżeli q < 1 to szereg ∑a_n jest zbieżny ∑a_n < ∞

2. Jeżeli q > 1 to szereg ∑a_n jest zbieżny ∑a_n = ∞

Def. Szereg (od n=1 do ∞ z a_n) nazywamy szeregiem BEZWZGLĘDNIE ZBIEŻNYM, jeżeli zbieżny jest szereg (od n=1 do ∞ z |a_n|) (z modułów)

Tw. Szereg bezwzględnie zbieżny jest zbieżny

Def. Szereg zbieżny, ale nie zbieżny bezwzględnie, nazywamy szeregiem WARUNKOWO ZBIEŻNYM.

1. Jeżeli szereg (od n=1 do ∞ z |a_n|) < ∞ => szereg (od n=1 do ∞ z a_n) jest bezwzględnie zbieżny

2. Jeżeli szereg (od n=1 do ∞ z |a_n|) = ∞ => szereg (od n=1 do ∞ z a_n) może być zbieżny lub rozbieżny

3. Jeżeli szereg (od n=1 do ∞ z |a_n|) = ∞ ∧ szereg (od n=1 do ∞ z a_n) < ∞ jest warunkowo zbieżny

Def. Szereg w postaci:

lub

nazywamy szeregiem naprzemiennym jeżeli spełnione są warunki:

1. a_n > 0

2. (n→∞) lim a_n = 0

3. (a_n) jest ciągiem malejącym.

Tw. KRYTERIUM LEIBNITZA. Szereg NAPRZEMIENNY jest zbieżny, jeżeli:

1)

2)
rozbieżny

3)
nie jest zbieżny bezwzględnie.

SZEREG Z MODUŁÓW

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci F(x,y,y')=0.

Rozwiązanie równania różniczkowego F(x,y,y')=0 nazywamy dowoloną funkcję, która spełnia to równanie.

Równanie liniowe jednorodne: y'+yp(x)=0

Równanie różniczkowe liniowe rzędu 2 o stałych współczynnikach: y''+p₁y'+p₂y=f(x)

Transformacja Laplace'a

Def. Funkcję zespoloną f(t) zmiennej rzeczywistej nazywamy oryginałem, jeśli spełnione są warunki:

1. Funkcja w punkcie f(t) i f'(t) są przedziałami ciągłymi w przedziale <0,∞).

2. Funkcja f(t) = 0 dla t < 0

3. Istnieją stałe m, λ₀ takie, że |f(t)| ≤ Me do potęgi(λ₀t) , t∈R

Transformacją Laplace'a nazywamy przyporządkowanie oryginałowi f(t) funkcji zespolonej F(s), gdzie s ∈ C określonej wzorem

Własności transformacji Laplace'a:

1. L ( C₁ f₁ (t) + C₂ f₂ (t) = C₁ L (f₁ (t) )+C₂ (f₂ (t))

2. L (f' (t)) = s L (f (t)) - f (0+)

3. L (f'' (t)) = s² L (f (t)) - s f (0+) - f' (0+)

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY WIELU ZMIENNYCH

Sąsiedztwo punktu (a,b) to U_(a,b)\{(a,b)}

S_(a,b)={(a,y) : 0 < d ((x,y)

Zbiór ograniczony. Zbiór D nazywamy zbiorem ograniczonym jeżeli istnieje kula otwarta K((0,0), r) taka, że DcK((0,0), r) (to nie może być prosta)

Punkt skupienia zbioru. Punkt (a,b) jest punktem skupienia zbioru D jeżeli w każdym sąsziedztwie punktu (a,b) znajduje się element (punkt) zbioru D.

Punkt wewnętrzny zbioru (a,b) jest punktem wewnętrznym zbioru D jeżeli istnieje otoczenie punktu (a,b) U_(a,b) ⊂ D

Zbiór otwarty to taki zbiór, którego każdy punkt jest punktem wewnętrznym.

Domknięcie zbioru to suma mnogościowa obu zbiorów D

Krzywą przestrzeni R² (krzywą płaską) nazywamy zbiór punktów (x,y), których współrzędne określone są równaniami:

t ∈ <α, β>, gdzie x(t) i y(t) są funkcjami ciągłymi w <α, β>

Zbiór spójny to zbiór, którego każde 2 punkty można połączyć krzywą całkowicie zawartą w tym zbiorze.

Obszar to zbiór otwarty i spójny.

Def. Mówimy, że ciąg punktów ((x_n, y_n)) jest zbieżny do (x₀, y₀) ciąg odległości (d((x_n, y_n), (x₀, y₀)) jest zbieżny do 0.

Twierdzenie:

Def. Punkt skupienia D - f: R² ⊃ D → R, (x₀,y₀) ∈ D

Funkcja f jest ciągła w punkcie (x₀,y₀), jeżeli

Funkcja f jest ciągła w zbiorze, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.

Suma funkcji ciągłych jest funkcją ciągła.

Różnica funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.

Iloraz funkcji ciągłych jest funkcją ciągła poza miejscami zerowymi mianownika.

Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.

Własności funkcji ciągłych:

1. Funkcja ciągła w obszarze domkniętym i ograniczonym jest ograniczona
   

2. Funkcja ciągła w obszarze domkniętym i ograniczonym przyjmuje wartość najmniejszą i największą.

3. Jeżeli funkcja f jest ciągła w obszarze domkniętym i ograniczonym
   to funkcja f przyjmuje wartości pośrednie pomiędzy f(a,b) i f(c,d)

f. R² ⊃ D → R, (a,b) ∈ D

ϕ(x)=f(x,b)

Def. Skończoną granicę
nazywamy pochodną cząstkową funkcji f względem zmiennej x w punkcie (a,b) i oznaczamy f'_x(a,b) lub

Z=f(x,y) Z'_x(a,b)

Def. Skończoną granicę
nazywamy pochodną cząstkową funkcji f względem zmiennej y w punkcie (a,b) i oznaczamy f'_y(a,b) lub

Z'_y (a,b)

Def. Mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie (a,b), jeżeli istnieje otoczenie tego punktu u_(a,b) takie, że dla każdego punktu (a+h, b+k) ∈ U_(a,b)

gdzie A I B są stałymi niezależnymi od przyrostu h I k,

H jest funkcją spełniającą warunek

Tw. Funkcja różniczkowalna w punkcie (a,b) jest w tym punkcie ciągła.

Tw. Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie (a,b) to istnieją pochodne cząstkowe f'_x(a,b) I f'_y(a,b)

EKSTREMA FUNKCJI

Niech funkcja z=f(x,y) będzie określona w pewnym obszarze D. Mówimy, że funkcja f(x,y) ma w punkcie (x₀, y₀) należącym do obszaru D maksimum ≤ lokalne słabe (minimum ≥ lokalne słabe), jeżeli istnieje takie sąsiedztwo S punktu (x₀, y₀), że dla każdego punktu (x,y) należącego do sąsiedztwa S jest spełniona nierówność (słaba)

lub

Warunek konieczny na istnienie ekstremum.

Jeżeli funkcja f ma pochodne cząstkowe w punkcie (a,b) względem X I względem y f'_x(a,b) I f'_y(a,b) oraz ma w tym punkcie ekstremum lokalne, to f'_x(a,b)=0 I f'_y(a,b)=0

Warunek wystarczający na istnienie ekstremum.

Jeżeli funkcja f ma w otoczeniu U_(a,b) punktu (a,b) ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego, to:

1. Jeżeli
   

oraz
to funkcja f ma w (a,b) ekstremum lokalne właściwe, przy czym jest to maksimum jeśli
a minimum jeśli

2. Jeżeli W(a,b) < 0 to funkcja f nie ma w punkcie (a,b) ekstremum.

CAŁKI PODWÓJNE

Funkcja f jest ciągła w p.

lub

W nawiasach [ ] jest F(y)

Obszar D normalny względem osi OX
gdzie f I g są funkcjami ciągłymi w <a,b> oraz f(x) ≤ g(x) dla x ∈ <a,b>

Obszar D normalny względem osi OY

D - norm. wzgl. OX

Obszar D nazywamy regularnym, jeżeli można go przedstawić w postaci skończonej sumy obszarów normalnych względem osi OX lub względem osi OY takim, że obszary te mają rozłączne wnętrza.

Tw. Niech obszar D będzie obrazem obszaru Δ poprzez odwzorowanie (*), f będzie funkcją ciągłą w D, wtedy:

g - jakobien przekształcenia (*)

Współrzędne biegunowe, to para liczb r I Φ określająca położenie punktu P na płaszczyźnie.

r - promień wodzący, który łączy punkt P z pewnym stałym punktem, zw. biegunem współrzędnych.

Φ - kąt pomiędzy promieniem wodzącym r I pewnym ustalonym promieniem o wierzchołku w biegunie, zw. osią biegunową.

Jakobian (wyznacznik Jacobiego), to wyznacznik macierzy zbudowanej z pierwszych pochodnych cząstkowych n funkcji danych (funkcje n zmiennych).

1

---