TAUTOLOGIA RACHUNKU ZDAN - jest to wyłącznie prawdziwy schemat zdania wyrażonego w języku rachunku zdań. O jego prawdziwości rozstrzygamy poprzez podstawienie w miejsca zmiennych zdaniowych jedynek (wartości prawdy), oraz zer (wartości fałszu), we wszystkich możliwych kombinacjach ( jest ich, jak pamiętamy : 2^n, gdzie “n” jest liczba zmiennych zdaniowych). Jej przeciwieństwo to KONTRTAUTOLOGIA, która jest wyłącznie fałszywym schematem zdania wyrażonego w języku rachunku zdań. Zatem tautologia jest taki schemat, którego wartość logiczna jest tylko i wyłącznie prawdziwa (dla każdej kombinacji wartości logicznych zdań składowych całość to zawsze “1”), natomiast kontrtautologia jest taki schemat, którego wartość logiczna jest tylko i wyłącznie fałszywa (dla każdej kombinacji wartości logicznych zdań składowych całość to zawsze “0”). PRZYKLAD TAUTOLOGII:       (~ p ~ q) ( q p ) p q       1 1   0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0   0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1   1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0   1 0 1 1 0 1 0 1 0 Widzisz, ze ostateczna wartosc logiczna calego schematu, po przeprowadzeniu wszystkich operacji, stanowia same jedynki. Wiec nie pozostaje nam - teraz juz znawcom logiki, nic innego, jak nazwac powyzszy schemat tautologia. PRZYKLAD KONTRTAUTOLOGII:       (~ p ~ q) ~(q p) p q                 1 1   0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0   0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1   1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0   1 0 1 1 0 0 0 0 1 0

Wystarczylo zanegowac drugi czlon implikacji wystepujacej w schemacie tautologii i zastapic sam glowny funktor rownowaznoscia by uzyskac kontrtautologie ( podkreslone same zera ). CWICZENIE 7 Czeka nas teraz "zabawa" ze sprawdzaniem tego czy schematy sa tautologia, kontrtautologia czy tez ani tym, ani tym... a)       [(q p) -   q )] q p q 1 1   1 1 1 - 1 - 1 1 1 1 0   0 1 1 - 0 - 0 1 0 0 1   1 0 0 - 0 - 1 1 1 0 0   0 1 0 - 0 - 0 1 0 Sposob postepowania jest nastepujacy: - napisalismy sobie schemat i zauwazylismy, ze wystepuja w nim dwie zmienne zdaniowe “p” i “q”; - skoro mamy w schemacie tylko “p” i “q”, z wzoru 2 ^nobliczamy dla nich ilosc kombinacji zerojedynkowych (jest ich 4 i zostaly napisane z lewej strony schematu); - podpisujemy pod odpowiednimi literami ich wartosci logiczne i dokonujemy pierwszego dzialania - implikacji; - kolejny krok to sprawdzenie wartosci logicznej koniunkcji w nawiasie kwadratowym; - ostatecznie dotarlismy do glownego spojnika schematu, ktorym jest druga implikacja, przyjmujacego dla wszystkich czterech zestawow zerojedynkowych wartosc prawdy, co ustanawia nasz schemat tautologia. _____ b)       [(q p) q )]  q p q     1 1   1 1 1 1 1 1 1 1 0   0 1 1 0 0 1 0 0 1   1 0 0 0 1 0 1 0 0   0 1 0 0 0 1 0

Teraz, po zastapieniu glownego spojnika poprzedniego schematu z implikacji na rownowaznosc, nie otrzymalismy juz tautologii (podkreslone jedno zero), ani kontrtautologii (podkreslone trzy jedynki). Nasz schemat jest wiec najzwyklejszym ze schematow, nie dzierzacym szlachetnego miana jakim jest tautologia czy tez kontrtautologia. _____ c)         ~ {[r  ( p  q)] (~ p ~ q)} p q r                   1 1 1   0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0   0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0   0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0   0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1   0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1   0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1   0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0   0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1
I oto naszym oczom ukazala sie w swej pelnej krasie kontrtautologia (podkreslone same zera, bedace wartosciami logicznymi glownego spojnika schematu - negacji, dla poszczegolnych kombinacji zerojedynkowych).  _____ d)         (~ p q) V ~ (p r) p q r                   1 1 1   0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0   0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0   0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0   1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1   1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1   1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1   0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0   1 0 1 1 1 1 0 0 0

I znow nasze najnowsze odkrycie w polu poglebiania wlasnych umiejetnosci logicznych okazalo sie byc tautologia. Tym razem alternatywa ustanowila wartosc logiczna calego schematu jako “1”. 

UWAGA !  Zerojedynkowa procedura sprawdzania tautologicznosci schematow logicznych moze byc skrocona za sprawa wspanialego umyslu ludzkiego, ktory to jest w stanie uproscic Czlowiekowi wszystko, co tylko do uproszczenia sie nadaje. Poprzez rozumne zanalizowanie schematu mozemy darowac sobie zmudne podstawianie do niego wszystkich kombinacji zmiennych skladowych (w przykladach “c” i “d” poprzedniego cwiczenia mielismy ich az 8, a ilez dopiero pracy byloby przy 16), czyniac to tylko z tymi wariantami, ktore z zalozenia moglyby powodowac jego nietautologicznosc.

Skomplikowane? Na pewno jeszcze tak, ale po wykonaniu kilku cwiczonek zobaczysz, ze nie bedzie Ci sie chcialo rozstawac z ta metoda do konca Twoich dni... oczywiscie tych z logika, jako przedmiotem nauczania, w planie zajec.
A wiec: "W DROGE!"

---