Nr ćwiczenia 102	Data 10.11.2008r.	Imię i Nazwisko		Wydział WBMiZ	Semestr III	Ocena
			Wykonanie i przygotowanie:

Temat: Wyznaczanie modułu sprężystości metodą dynamiczną.

1. Wiadomości teoretyczne.

Ciało nazywamy sprężystym, jeżeli odkształcenia, wywołane działającymi na nie siłami, znikają zupełnie po usunięciu tych sił.

Istotę sprężystości można zrozumieć rozważając chociażby w przybliżeniu strukturę wewnętrzną ciała stałego. Każde ciało jest zbudowane z atomów lub cząsteczek, między którymi działają siły nazywane międzycząsteczkowymi. Siły te są w ciałach stałych na skutek małych odległości międzycząsteczkowych na tyle duże, że cząsteczki są dzięki temu uporządkowane, tworząc regularną strukturę przestrzenną, nazwaną siecią krystaliczną. Każda cząsteczka, nazywana w taki przypadku również węzłem sieciowym ma swoje położenie równowagi, wokół którego wykonuje niewielkie, chaotyczne, zależne od temperatury ciała drgania. Powstanie stanu równowagi trwałej wynika z faktu, że między każdymi dwiema cząsteczkami występują dwojakiego rodzaju siły : przyciągania oraz odpychania, o niejednakowej zależności od odległości międzycząsteczkowej, przy czym siły odpychania rosną zawsze znacznie bardziej wraz ze zbliżaniem się cząsteczek niż siły przyciągania.

Moduł sztywności G, jest to stosunek naprężenia stycznego τ do wywoływanego przez nie odkształcenia postaci γ. Wyraża się wzorem:

.

Aby wyznaczyć moduł sztywności wykorzystamy zjawisko skręcenia pręta, którego podatność na skręcenia zależy wyłącznie od szukanego G i wymiarów geometrycznych.

Skręcenie jest odkształceniem spowodowanym przez parę sił przyłożoną do płaszczyzny przekroju poprzecznego pręta o promieniu r i długości l. Podczas skręcania przekroje poprzeczne obracają się wokół osi pręta, a on sam nie zmienia przy tym ani swojej długości l, ani promienia r.

Całkowity moment siły można obliczyć poprzez całkowanie przyczynków pochodzących od pierścieni o promieniu r i grubości dx. Odkształcenie postaci materiału wynosi:

Wartości naprężeń, zgodnie z prawem Hooke'a wynoszą natomiast:

Siła, działająca na pierścień jest dana wzorem:

przez co pierścień daje przyczynek do momentu równy:

Całkowity moment działający na pręt wynosi zatem:

Aby wyznaczyć teraz G, można zastosować metodę statyczną. Wygodniejszym sposobem jest natomiast metoda dynamiczna i z niej właśnie skorzystamy w ćwiczeniu. Polega ona na pomiarze okresu drgań skrętnych wibratora w postaci pręta, obciążonego ciałem o momencie bezwładności I₀. Metoda ta pozwala wyeliminować trudny do wykonania pomiar sił, czy kąta skręcenia.

Pomiar momentu bezwładności I_x wahadła, możemy ominąć poprzez pomiary okresów drgań wahadła samego lub obciążonego ciałem geometrycznie prostym, mającym łatwy do policzenia moment bezwładności I₀.

Odpowiednie okresy wynoszą tu:
;

gdzie D jest stałą skręcenia i wynosi:

Moduł sztywności możemy wyznaczyć teraz ze wzoru:

.

Prawo Hooke'a - prawo mechaniki określające zależność odkształcenia od naprężenia. Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej nań siły jest wprost proporcjonalne do tej siły.

Twierdzenie Steinera- jeśli moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy ciała wynosi
, to względem osi równoległej do danej i odległej od niej o a, moment bezwładności będzie wynosił:

gdzie m-masa ciała

2. Wyniki pomiarowe.

1. Tabela pomiarowa dla elementów składowych w doświadczeniu.

Lp.	Długość drutu[m]	Średnica 2r drutu [m]	Średnica 2R walca [m]	Masa walców [kg]
1	1,65	0,00101	0,0317	0,093
2			0,0320	0,095
3			0,0313	0,092
4			0,0317	0,095
Średnia			0,031675	0,09375

Do obliczeń zostaną użyte wartości:

-długość drutu l=1,65m

-średnica drutu 2r=0,00101m

-średnia średnica walców 2R=0,031675m

-średnia masa walców m=0,09375kg

2. Tabela pomiarowa dla pomiarów okresów drgań.

Obciążenie wstępne		Obciążenie ciężarkami w			Obciążenie ciężarkami w			Obciążenie ciężarkami W
101,2	5,065	115,5	5,775	0,05	147,8	7,39	0,10	191	9,55	0,15

3.Obliczenia i rachunek błędów.

Wzór na moduł sztywności

Mając powyższy wzór należy znaleźć moment bezwładności

wg Twierdzenia Steinera

dla 4 walców
,

moment bezwładności walca
,

po podstawieniu otrzymujemy

Dany wzór na moment wg Twierdzenia Steinera wstawiam do wzoru na G.

Ostateczny wzór to:
, będzie to nasz wzór do obliczeń w tym doświadczeniu.

Dane dla
:

- stała*

- stała

- stała

- stałą

- stała

- - zmienna*

- zmienna

*-oznaczenie stała/zmienna oznacza, że przy podawaniu danych do kolejnych d będę podawał już tylko zmienne.

Dane dla
:

Dane dla
:

3.1 Ocena błędów

Niestety czas okresu mierzyliśmy jednokrotnie. Gdyby było kilka pomiarów moglibyśmy obliczyć błąd poszczególnego pomiaru jako odchylenie wartości pomiaru od wartości średniej i odchylenie standardowe. Możemy jednak obliczyć błąd pomiaru bezwładności metodą różniczki zupełnej.

-błąd bezwzględny

-wartość pomiaru I.

-błąd względny;

-błąd względny procentowy

4.Wnioski i dyskusja błędów pomiarowych.

Przy zastosowanej metodzie pomiaru i przyjętych wartościach różniczek

Δm, ΔR, Δd; stosując metodę różniczki zupełnej w ocenie błędu pomiaru wnioskujemy że :

Z analizy wielkości składników wchodzących w skład różniczki wkłady w wielkości błędu były następujące:

- największy czynnik błędów wystąpił przy pomiarze rozstawienia walców (obciążników)

- kolejny błąd był związany z pomiarem masy

Z moich obserwacji wynika że należy jak najdokładniej wykonać pomiar odchyleń
które to odległości zmierzyliśmy najmniej dokładnym przyrządem. Duży wpływ na przebieg ćwiczenia miało nasze małe doświadczenie przy wykonywaniu takich zadań.

Podane wartości

Są realne, a największy moduł skręcenia pręta występuje przy ustawieniu ciężarków na środkowych kołkach.

---