TEORIA BŁĘDÓW POMIARU

Cel pomiaru: poznanie wartości rzeczywistej wielkości mierzonej

• ograniczona dokładność narzędzi pomiarowych i metoda pomiaru

• zmienność warunków fizycznych, w których odbywa się pomiar

• niedostateczna znajomość obiektu pomiaru

• niedostateczne kwalifikacje obserwatora

↓

błąd pomiaru

wartość otrzymana      ≠ wartość rzeczywista

w wyniku pomiaru wielkości mierzonej

LICZBOWE MIARY BŁĘDÓW POMIARU

• Błąd bezwzględny

X_m -wartość mierzona

X_r - wartość rzeczywista

X_r → wartość poprawna Xp

Rolę wartości poprawnej X_p może pełnić:

- wynik pomiaru uzyskany za pomocą dokładniejszego przyrządu pomiarowego lub za pomocą dokładniejszej metody pomiarowej

- średnia arytmetyczna wyników serii pomiarów

- wartość obliczona na podstawie przesłanek teoretycznych

Błąd bezwzględny

• Poprawka

• Błąd względny

Często stosuje się przybliżenie

• Błąd zredukowany (zakresowy)

gdzie zakres pomiarowy X_n :

• Klasa dokładności

dopuszczalny błąd podstawowy narzędzia pomiarowego

podany przez producenta

- dopuszczalny błąd bezwzględny

 X_n - zakres pomiarowy

Np. Błąd pomiaru miernikiem nie jest większy niż Δ_d

Rodzaje bŁędów pomiarów

ze względu na źródła ich powstawania

błędy spowodowane przez przyrządy pomiarowe

błędy spowodowane przez metody pomiarowe

błędy spowodowane przez obserwatora

błędy spowodowane przez obliczenia
błędy spowodowane przez wpływy otoczenia

KLASYFIKACJA BŁĘDÓW POMIARÓW

Kryterium klasyfikacji
Charakter błędu	- błąd systematyczny - błąd przypadkowy - błąd nadmierny
Warunki fizyczne pomiaru	- błąd podstawowy - błędy dodatkowe
Charakter wielkości mierzonej	- błędy statyczne - błędy dynamiczne
Fizyczne przyczyny błędu (źródła błędu)	- błąd wzorcowania - błąd niestałości wielkości                                mierzonej - błędy dodatkowe - błąd dynamiczny - błąd kwantowania - błąd próbkowania - błąd zliczania - błąd metody - błąd odczytu itd.
Zależność błędu od wielkości mierzonej	- błąd addytywny - błąd multiplikatywny

BŁĘDY SYSTEMATYCZNE

To błędy, które przy wielu pomiarach tej samej wartości pewnej wielkości, wykonywanych w tych samych warunkach, pozostają stałe zarówno, co do wartości bezwzględnej, jak
i znaku lub zmieniają się wg określonego prawa wraz ze zmianą warunków otoczenia.

Błędy te modeluje się za pomocą zmiennej zdeterminowanej

(przyczyna → zdeterminowany skutek)

Błędy te można całkowicie lub częściowo wyeliminować
z wyniku pomiaru za pomocą poprawek, które oblicza się teoretycznie lub wyznacza doświadczalnie.

Przyczyny występowania błędów systematycznych:

•  błędy podstawowe narzędzi pomiarowych (podawane jako błędy graniczne)

uproszczony model konstrukcji i niedoskonałość
wykonania przyrządu, błędy wzorcowania

•  oddziaływanie przyrządu pomiarowego na wielkość mierzoną - błędy metody pomiarowej

np. pobór energii ze źródła mierzonego przez przyrządy pomiarowe

• wpływ warunków zewnętrznych (wielkości wpływających) błędy dodatkowe

Ilustracja powstawania błędu metody

I  - wartość rzeczywista natężenia prądu stałego

I' - wartość natężenia prądu stałego wskazana przez miernik

I' < I gdy   R_A > 0

Wynik końcowy:

Δ_A - błąd dopuszczalny amperomierza:

dla przyrządu analogowego

dla przyrządu cyfrowego

I_n - zakres pomiarowy amperomierzaOkreślanie błędów systematycznych w pomiarach

a) bezpośrednich b) pośrednich

Pomiary bezpośrednie

• w warunkach normalnych:

X = X_m ± Δ_d

Δ_d błąd dopuszczalny narzędzia pomiarowego

• w warunkach, które różnią się od normalnych:

X = (X_m+ ∑p) ± Δ_d

X_m+ ∑p wynik pomiaru poprawiony przez usunięcie błędów dodatkowych

gdy błędów dodatkowych nie można wyeliminować za pomocą poprawek

X = X_m ± Δ_x

Δ_x = ± [Δ_d + ∑ Δ_dd]

Δ_d błąd dopuszczalny narzędzia pomiarowego

Δ_dd dopuszczalny błąd dodatkowy

Pomiary pośrednie

Założenie: błędy przypadkowe są pomijalnie małe

Poszukiwana wielkość Y jest funkcją n wzajemnie niezależnych wielkości pomiarowych X₁, X₂, ... , X_n , tzn.

Y=f(X₁, X₂, ... , X_n)

Jeżeli X₁, X₂, ... , X_n wyznaczono z błędami bezwzględnymi odpowiednio Δ_X1, Δ_X2, ... , Δ_Xn i wartości tych błędów są małe,

to wypadkowy błąd Δ_Y oraz błąd δ_Y można wyznaczyć:

• metodą przyrostów

• metodą różniczki zupełnej
  

Metoda przyrostów

W praktyce metoda ta jest rzadko stosowana z uwagi
na bardzo pracochłonne obliczenia.

Metoda różniczki zupełnej

W celu wyjaśnienia podstaw matematycznych tej metody rozważmy powstawanie błędu przy określaniu wartości wielkości Y , spowodowanego niedokładnym wyznaczeniem tylko jednej wielkości pomocniczej np. X₁ - tj. Δ_X1

Zakłada się, że wartości pozostałych wielkości są zmierzone bezbłędnie i wielkości te nie ulegają zmianie w czasie pomiaru.

Wartość wielkości Y zamiast Y=f(X₁, X₂, ... , X_n) wynosi

Y+Δ_Y= f(X₁+Δ_X1, X₂, ... , X_n)

Jeżeli funkcja ta jest ciągła to można ją rozwinąć w szereg Taylora

Przy małych Δ_X1 można pominąć wyrazy szeregu, które zwierają Δ_X1 wyższych potęgach

Błąd systematyczny pomiaru wielkości Y oblicza się na podstawie błędów systematycznych mierzonych wielkości

X₁, X₂, ... , X_n zgodnie z prawem liniowej propagacji błędu

- w przypadku, gdy błędy systematyczne są znane co   wartości i znaku

- w przypadku, gdy znane są tylko błędy graniczne pomiarów
  bezpośrednich Δ_Xgi („najgorszy przypadek”)

Wyznaczanie błędów granicznych dla wielkości Y prowadzi
do wyników zawyżonych, bowiem bardzo małe jest prawdopodobieństwo takiego zdarzenia, w którym błędy systematyczne wszystkich wielkości pomocniczych jednocześnie przyjmują wartości graniczne i niekorzystny układ znaków.

W pomiarach pośrednich błędy systematyczne dla poszczegól-nych wielkości pomocniczych układają się losowo i niezależnie

Błąd wypadkowy można obliczać także jako tzw. błąd średni kwadratowy (jego wartość jest bardziej prawdopodobna i nie przekracza wartości błędu granicznego).

błąd średni kwadratowy

PODSUMOWANIE

W procesie pomiaru występują zarówno błędy systematyczne,
jak i błędy przypadkowe.

W praktyce, jeżeli wartości błędów przypadkowych nie przekraczają 1/10 wartości błędu całkowitego, to można przyjąć, że błędy przypadkowe są pomijalnie małe w odniesieniu do błędów przypadkowych.

Ilustracja klasyfikacji błędów - rezultat strzelania do tarcz

Reprezentacja błędu : odległość między śladem przejścia kuli
a środkiem tarczy

r_w

R

R_A

E

I =?

r_w

Z

Z

Z

I'

R

A

X

Y

E

SYSTEM

POMIAROWY

Obiekt

Pomiaru

---