Klasyczny rachunek zdań
Wstęp
Zajmiemy się obecnie klasycznym rachunkiem zdań (w skrócie KRZ), który jest bazowym rachunkiem logicznym. Rachunki zdań to formalne systemy dedukcyjne, w których analizuje się zależność wynikania jedynie od znaczenia spójników łączących zdania, natomiast nie wnika się zupełnie w strukturę wewnętrzną zdań. Dlatego, z punktu widzenia zastosowań, są to systemy dość słabe, np. poprawność prostych rozumowań analizowanych w module 1 nie daje się na ich gruncie uzasadnić. Są to jednak systemy istotne, gdyż zasady poprawności ustalone na ich gruncie zachowują swoją ważność również w systemach mocniejszych.
Wśród wielu znanych rachunków zdaniowych najprostszą logiką jest właśnie KRZ, a jego znajomość to dziś podstawa wszelkiej edukacji logicznej. Jest to również najstarszy system logiczny tego rodzaju, gdyż reguły, którymi będziemy się dalej zajmowali, były już znane logikom stoickim w III w. p.n.e.
Kolejno omówimy język KRZ i sposoby jego wykorzystania do formalizowania zdań złożonych w języku polskim. W temacie 2 poznamy szereg schematów reguł, które pozwalają na niezawodne wnioskowanie (tj. od zdań prawdziwych do prawdziwych). Następnie omówimy znaczenie spójników KRZ oraz ich stosunek do odpowiednich zwrotów z języka polskiego. Temat 4 wprowadza formalnie definicję wynikania w KRZ oraz pojęcie prawa logicznego, czyli tzw. tautologii. Na koniec podamy przykłady analizy rozumowań przy użyciu metod KRZ.
1. Język KRZ
1.1. Słownik
Język KRZ jest bardzo prosty, gdyż jako jedyne stałe występują tutaj wybrane spójniki, czyli funktory kategorii z/z lub z/z, z. Ponadto w grę wchodzą tylko funktory ekstensjonalne i to te najbardziej popularne. Zestaw wybranych funktorów może się zmieniać, my wyróżnimy tutaj pięć spójników, oznaczanych następującymi symbolami:
— jednoargumentowy funktor negacji: ¬,
— dwuargumentowe funktory:
• koniunkcji: ∧,
• alternatywy: ∨,
• implikacji: →,
• równoważności: ↔.
Intuicyjnie negacja ma odpowiadać zaprzeczeniu zdania, wyrażanemu w języku polskim np. przez zwrot „nieprawda, że”, koniunkcja odpowiada polskiemu „i”, alternatywa — „lub”, implikacja — „jeżeli..., to”, a równoważność — „wtedy i tylko wtedy, gdy”.
1.2. Zdania
Argumentami tych spójników są dowolne zdania w sensie logicznym, w języku KRZ reprezentowane przez zmienne zdaniowe. Zwyczajowo będziemy używać liter p, q, r, s, t... jako zmiennych zdaniowych. W przypadku negacji stawiamy symbol spójnika z lewej strony zdania, uzyskując, np. „¬p”, co czytamy „nieprawda, że p” (lub „negacja p”). W pozostałych przypadkach łączymy dwa zdania, wstawiając symbol spójnika pomiędzy jego argumenty, uzyskując: „p ∧ q”, „p ∨ q”, „p → q”, „p ↔ q”. Uzyskane w rezultacie wzory odczytujemy: „p i q”, „p lub q”, „jeżeli p, to q” i „p wtedy i tylko wtedy, gdy q” (lub „koniunkcja p i q” itd.). Zdania zbudowane z symboli tego języka sztucznego będziemy określać jako formuły klasycznego rachunku zdań.
Nazw: „negacja”, „koniunkcja” itd. będziemy używać nie tylko jako określeń wybranych przez nas spójników, ale również jako określenia formuł, których dany spójnik jest główną stałą logiczną. Zdania łączone spójnikiem będziemy nadal określać — w ogólnym przypadku — jako argumenty tego spójnika, jednak w przypadku implikacji lewy argument będziemy nazywali poprzednikiem, a prawy — następnikiem implikacji, natomiast w przypadku równoważności będziemy mówić o lewej i prawej stronie równoważności.
Oczywiście argumentami danego spójnika mogą być nie tylko zdania proste reprezentowane przez zmienne, ale również formuły złożone, które zawierają już stałe logiczne. Jeżeli w zdaniu mamy więcej spójników, to musimy za pomocą nawiasów zaznaczyć, jaka jest ich hierarchia, tzn. który jest funktorem głównym całego wyrażenia, a które są funktorami jego argumentów. Przykładowo formuła:
[p ∧ ¬(q ↔ r)] → ¬(s ∨ ¬q)
jest implikacją, której poprzednik to koniunkcja p i negacji równoważności
(q wtw r). Następnikiem jest negacja alternatywy złożonej z s i negacji q.
1.3. Poprawna formalizacja
Chcąc zastosować formalny aparat logiki do analizy rozumowań w języku naturalnym, musimy dokonać stosownego przekładu, czyli dokonać operacji formalizacji tekstu w języku naturalnym. Niestety, nie jesteśmy w stanie podać precyzyjnych reguł, które można stosować w sposób mechaniczny. Jest to niemożliwe z racji złożoności języków naturalnych i ich wieloznaczności. Możemy podać jedynie szereg wskazówek, które w zadowalającej (statystycznie) liczbie przypadków pozwalają na poprawną formalizację.
Przez poprawną formalizację rozumiemy tutaj przekład, w którym zdanie wyjściowe i otrzymana formuła mają takie same warunki prawdziwości. Należy jednak pamiętać, że nie dysponujemy tu precyzyjnymi kryteriami oceny efektu formalizacji — umiejętność formalizowania to duża sztuka i tylko trening czyni mistrza.
Dysponując tekstem, np. rozumowania, musimy jedynie wyróżnić te wyrażenia, które sygnalizują przesłanki i wnioski, oraz te, które odpowiadają wyróżnionym przez nas w KRZ spójnikom. Pozostałe ciągi wyrażeń traktujemy jako zdania proste, czyli przypisujemy im zmienne zdaniowe. Obowiązują tu dwie zasady poprawności:
— należy pamiętać, żeby różne wystąpienia tych samych zdań (lub różnych zdań, ale wyrażających ten sam sąd logiczny), zastąpić taką samą zmienną zdaniową,
— do zdań wyrażających różne sądy logiczne bezwzględnie przypisujemy różne zmienne.
Te pozornie proste wymogi w praktyce mogą przysporzyć wielu trudności, zwłaszcza wtedy, gdy analizujemy cudze rozumowania. Różne zdania wyrażające ten sam sąd logiczny mogą mieć bardzo odmienną strukturę, co przy nie dość dokładnej analizie może prowadzić do błędnego przypisania im różnych zmiennych. Natomiast nawet identycznie wyglądające zdania mogą czasem wyrażać inne sądy. Co więcej, często mogą w tekście występować nie tylko zdania, ale ich skróty, które należy prawidłowo rozwinąć do postaci zdań. Dlatego proces formalizacji musi być poprzedzony dokładną analizą znaczenia zdań w tekście.
Jeżeli w jakimś przypadku nie jesteśmy w stanie definitywnie rozstrzygnąć, w jakim znaczeniu są użyte pewne wyrażenia albo jaka jest struktura zdania złożonego, to powinniśmy osobno rozważyć różne możliwe do otrzymania schematy. Wybierając pomiędzy możliwymi wariantami, powinniśmy się kierować zasadą życzliwej interpretacji, czyli wybierać takie rozumienie, które zagwarantuje poprawność rozumowania (o ile jest to możliwe).
Dokonując formalizacji środkami KRZ, musimy też pamiętać, że zmienne zdaniowe mogą odpowiadać nie tylko zdaniom prostym. Jest przecież wiele spójników intensjonalnych, których nie jesteśmy w stanie wyróżnić, zatem zdania złożone zbudowane z ich pomocą musimy potraktować jako zdania proste na gruncie KRZ, czyli przydzielić im zmienną zdaniową. Rozważymy tu kolejno kilka problemów związanych z negacją, koniunkcją, alternatywą i implikacją.
1.4. Negacja
Negacja jest w języku polskim reprezentowana na wiele różnych sposobów. Zwrot „nieprawda, że”, który wybraliśmy jako formalny odpowiednik negacji, stosunkowo rzadko pojawia się w mowie potocznej. Znacznie częściej spotykamy się ze słówkiem „nie” zastosowanym w orzeczniku jako zaprzeczenie czasownika, czyli jako funktor funktorotwórczy kategorii (z/n)/(z/n) (np. „Antek nie śpi”) lub (z/n, n)/(z/n, n) (np. „Antek nie kocha Beaty”). Zazwyczaj zdania takie można potraktować jako równoważne zdaniom zbudowanym z użyciem „nieprawda, że” („Nieprawda, że Antek śpi”, „Nieprawda, że Antek kocha Beatę”).
Symbolu negacji można też użyć dla formalizacji wielu zdań, w których występują rzeczowniki, przymiotniki lub przysłówki z prefiksem„nie” (np. „niesolidny”, „niezręczny”, „niewinny”, „niepoprawnie”), ale znów trzeba zwracać uwagę na szereg przypadków, w których możemy uzyskać efekt niepożądany. Przykładowo, zdanie „Antek jest nieporadny” nie jest równoważne wyrażeniu „Nieprawda, że Antek jest poradny”, gdyż to drugie w ogóle nie jest zdaniem języka polskiego. Inne wyrażenia tego typu to: „niewola”, „nieboszczyk”, „nietakt”, „nieletni” itd. Zdania z wyrażeniami tego typu mogą zresztą wcale nie wymagać wprowadzania negacji przy formalizacji, np. „Pogoda jest niezmiennie dobra” zastąpimy po prostu zmienną zdaniową.
Język polski ma jeszcze jedną własność specyficzną, która wymaga uwagi przy przekładzie. Występowanie dwóch zwrotów przeczących w jednym zdaniu czasem wymaga użycia dwóch symboli negacji, a czasem tylko jednego. Dotyczy to zwłaszcza sytuacji, kiedy występują zwroty typu „niekiedy”, „nie zawsze”, „nigdy”, „nigdzie”, „nie wszędzie” itd., gdzie występuje mniej lub bardziej ukryta kwantyfikacja. Zdanie „Antek nigdzie nie znajdzie roboty” należy w związku z tym potraktować jako równoważne zdaniu „Nieprawda, że Antek znajdzie gdzieś robotę”. „Antek nie zawsze jest niesolidny” z pewnością nie oznacza „Antek zawsze jest solidny” (co otrzymalibyśmy po mechanicznym zastosowaniu zasady eliminacji podwójnej negacji), ale raczej „Antek czasem jest solidny”.
1.5. Koniunkcja
Symbol koniunkcji może w wielu przypadkach zastąpić takie wyrażenia, jak „i”, „oraz”, „a”, „ale”, „lecz”. Trzeba jednak pamiętać, że powyższe wyrażenia nie są w pełni synonimiczne, np. „a”, „ale” i „lecz” posiadają pewien sens służący konfrontacji bądź przeciwstawieniu znaczenia swoich argumentów, którego „i” nie posiada. Przykładowo, powiemy raczej: „Kowalski jest przystojny, ale bystry to nie jest” niż „Kowalski jest przystojny i nie jest bystry”. Pomijając jednak ten naddatek znaczeniowy słowa „ale” nad „i”, możemy uznać, że od strony ekstensjonalnej zachowują się one tak samo.
Prawie każde z wyrażeń podanych wyżej może w języku naturalnym wystąpić również jako funktor nazwotwórczy kategorii n/n, n, np.:
1. Tadek jest zdolny, ale leniwy.
2. Ania i Beata są zdolnymi studentkami.
W obu wypadkach można te zdania potraktować przy formalizacji jako zdania złożone koniunkcyjnie o postaci:
3. Tadek jest zdolny i Tadek jest leniwy.
4. Ania jest zdolną studentką i Beata jest zdolną studentką.
Należy jednak uważać i nie stosować takiego zabiegu mechanicznie. Rozważmy następujący przykład:
5. Ania i Beata są dobrymi koleżankami.
Zdanie to wydaje się mieć taką samą strukturę jak zdanie 2., ale nie możemy go potraktować jako koniunkcji o postaci „Ania jest dobrą koleżanką i Beata jest dobrą koleżanką”, a najwyżej jako koniunkcję „Ania jest dobrą koleżanką Beaty i Beata jest dobrą koleżanką Ani” W wielu analogicznych przypadkach wystarcza zresztą pozostawienie takiego zdania jako zdania prostego, np. tak zrobimy ze zdaniem „Ania i Marek są dobrym małżeństwem”.
1.6. Alternatywa 7
Symbol alternatywy odpowiada zasadniczo wyrażeniom „lub”, „albo”, „bądź”. Trzeba jednak pamiętać, że w języku polskim używamy tych zwrotów w co najmniej dwóch znaczeniach. Nasza alternatywa ∨ to tzw. alternatywa słaba (łączna), natomiast w języku naturalnym często mamy do czynienia z tzw. alternatywą mocną (rozłączną). Jest to również spójnik ekstensjonalny.
Pamiętajmy, że wyżej podane spójniki wyrażające alternatywę mogą też (podobnie jak koniunkcja) występować jako funktory nazwotwórcze kategorii n/n, n, np. w zdaniu „Wojtek zostanie policjantem lub strażakiem”. Zdanie tego rodzaju także można przekształcić na zdania złożone z użyciem spójnika alternatywy, co da w efekcie „Wojtek zostanie policjantem lub Wojtek zostanie strażakiem”.
1.7. Implikacja
Należy pamiętać, że „jeżeli..., to...” jest spójnikiem o wielu różnych znaczeniach i w wielu przypadkach formalizacja tego zwrotu z pomocą → jest wręcz niewskazana, bo może prowadzić do paradoksalnych efektów. Problem ten wyjaśnimy dokładniej po zdefiniowaniu znaczenia implikacji. Odnośnie synonimicznych form wyrażania implikacji warto zapamiętać, że (często) w tym samym znaczeniu używane są m.in. następujące sformułowania:
— jeżeli p, to q,
— gdy p, to i q,
— p, tylko jeżeli q,
— q, jeżeli p,
— q, chyba że nie p,
— o ile p, to q,
— q, o ile p.
2. Niezawodne reguły
2.1. Reguły
KRZ jako precyzyjnie zdefiniowany system logiczny został utworzony stosunkowo niedawno, bo dopiero na początku XX wieku. W szczególności sformułowano wtedy jego semantykę. Jednak wybrane zasady rachunku zdań zostały odkryte już w starożytności przez logików stoickich, a ich zasób znacznie poszerzono w średniowieczu. Intuicyjnie wyodrębniono (i stosowano) szereg reguł dedukcji, mimo braku semantyki, która pozwalałaby precyzyjnie sprawdzić ich poprawność.
Znajomość takich reguł jest przydatna również dzisiaj, pozwala bowiem na poziomie niemal intuicyjnym dokonywać poprawnych wnioskowań. Pomaga również w szybkiej ocenie poprawności rozumowań prezentowanych w argumentacji. Poniżej przedstawimy wybrane schematy podstawowych reguł dedukcji, których poprawność zależy od występowania odpowiednich spójników.
2.2. Modus ponendo ponens
Często określany krótko jako modus ponens lub reguła odrywania. Jest to schemat rozumowania o postaci:
p → q, p / q
Pozwala on na wydedukowanie z dwóch przesłanek — z których jedna ma postać implikacji, a druga jest jej poprzednikiem — następnika tej implikacji jako wniosku. Przykładowo ze zdań: „Jeżeli Jurek odebrał wypłatę, to poszedł do pubu” i „Jurek odebrał wypłatę” możemy wydedukować, że Jurek istotnie poszedł do pubu.
Warto zauważyć, że zarówno reguła modus ponens, jak i inne podane dalej, mogą być stosowane również do zdań o bardziej złożonej strukturze. Weźmy pod uwagę poniższe rozumowanie:
Jeżeli Romek nie chodził na wykłady, ale przeczytał podręcznik lub notatki od Kazika, to pójdzie na egzamin lub poprosi o przedłużenie sesji. Romek wprawdzie nie chodził na wykłady, ale przeczytał podręcznik lub notatki od Kazika. Zatem pójdzie na egzamin lub poprosi o przedłużenie sesji.
Ma ono następujący schemat:
[¬p ∧ (q ∨ r)] → (s ∨ t), ¬p ∧ (q ∨ r) / s ∨ t
Jednak łatwo zauważyć, że bez względu na stopień złożoności, przebiega ono również zgodnie ze schematem modus ponens.
2.3. Modus tolendo tollens
Często określany krótko jako modus tollens ma następujący schemat:
p → q, ¬q / ¬p
Według tego schematu przebiega na przykład rozumowanie:
Jeżeli Beata jest pilną studentką, to oddała już indeks do dziekanatu. Nie oddała. Zatem nie jest pilną studentką.
2.4. Modus tolendo ponens
Rozumowanie to ma schemat następujący:
p ∨ q, ¬p / q lub p ∨ q, ¬q / p
W rozumowaniu takim — mając alternatywę i zaprzeczenie jej dowolnego argumentu jako przesłanki — możemy wydedukować drugi człon tej alternatywy jako wniosek. Rozumowanie to określane jest czasem jako tzw. psi sylogizm, gdyż stoicki logik Chryzyp odwoływał się do niego jako przykładu na uzasadnienie przekonania, że psy również przeprowadzają rozumowania. Podobno pies Chryzypa, zatrzymawszy się na rozstajach w pościgu za lisem, powąchał przy jednej ścieżce, a kiedy nie poczuł tam śladu, to bez wahania ruszył w pościg drugą ścieżką. Miałoby to stanowić przykład bezwiednego zastosowania rozważanego tu schematu.
2.5. Sylogizm hipotetyczny
W najprostszej postaci wygląda następująco:
p → q, q → r / p → r
Może jednak składać się ze znacznie większej liczby przesłanek, np.:
p → q, q → r , r → s, s → t, t → w / p → w
Istotne dla sylogizmu hipotetycznego jest to, że we wniosku otrzymujemy implikację, która łączy poprzednik pierwszej przesłanki z następnikiem ostatniej, natomiast przesłanki tworzą łańcuch implikacji dowolnej długości.
Przykład:
Jeżeli Bolek spotka Kazika, to pójdą razem na piwo. Jeżeli pójdą na piwo, to Bolek znów przepuści wszystkie pieniądze. Zatem Bolek znów przepuści wszystkie pieniądze, jeśli spotka Kazika.
2.6. Dylematy konstrukcyjne
Są to rozumowania, w których jedna z przesłanek ma postać alternatywy, a ponadto występują przesłanki implikacyjne, których poprzedniki są argumentami tej alternatywy. Dwa najpopularniejsze warianty to dylemat konstrukcyjny prosty i złożony o schematach:
p ∨ q, p → r, q → r / r i p ∨ q, p → r, q → s / r ∨ s
Jeżeli przyjmiemy, że alternatywa może mieć więcej członów, to możemy otrzymać uogólnione warianty dylematów, np. dylemat prosty z alternatywą czteroczłonową ma postać:
p ∨ q ∨ r ∨ s, p → t, q → t, r → t, s → t / t
Zauważmy, że omówione tu schematy rozumowań są często wykorzystywane np. w dowodach matematycznych jako tzw. rozumowania przez rozważenie przypadków. Historycznie interesującego przykładu zastosowania obu dylematów dostarczają dwa rozumowania przypisywane kalifowi Omarowi:
Książki w Bibliotece Aleksandryjskiej są zgodne z Koranem lub nie. Jeżeli są zgodne z Koranem, to są zbędne. Jeżeli są niezgodne z Koranem, to są szkodliwe. Zatem są zbędne lub szkodliwe.
Książki w Bibliotece Aleksandryjskiej są zbędne lub szkodliwe. Jeżeli są zbędne, to należy je spalić. Jeżeli są szkodliwe, to tym bardziej należy je spalić. A więc trzeba je spalić.
2.7. Dylematy destrukcyjne
Jest to typ rozumowań, który tak się ma do rozważanych wyżej dylematów konstrukcyjnych, jak modus tollens do modus ponens. Forma prosta i złożona mają postać:
¬p ∨ ¬q, r → p, r → q / ¬r i ¬p ∨ ¬q, r → p, s → q / ¬r ∨ ¬s
Pominiemy podawanie przykładów rozumowań przeprowadzanych według powyższych przykładów.
2.8. Rozumowania z wykorzystaniem koniunkcji
Na zakończenie podamy kilka schematów rozumowań opartych o własności koniunkcji.
p ∧ q / p lub p ∧ q / q
p, q / p ∧ q lub p, q / q ∧ p
p → q, p → r / p → q ∧ r
Przykładowo, ze zdania „Adam jest inteligentny i bogaty” możemy poprawnie wywnioskować (zgodnie z pierwszym schematem), że „Adam jest inteligentny”. Ze zdań: „Alicja jest wysoka”, „Alicja jest blondynką” możemy (przez drugi schemat) wydedukować, że „Alicja jest wysoką blondynką”. Zauważmy, że w podanym wniosku spójnik „i” w ogóle nie występuje ani jako funktor zdaniotwórczy, ani nazwotwórczy. Jest to możliwe dlatego, że w pierwszej przesłance występuje samodzielnie przymiotnik, który we wniosku można potraktować jako funktor nazwotwórczy. Gdyby pierwsza przesłanka brzmiała np. „Alicja jest studentką”, to we wniosku musiałby wystąpić odpowiedni funktor („Alicja jest studentką i blondynką”).
To tylko kilka wybranych przykładów schematów rozumowań, które gwarantują niezawodność wnioskowania.
3. Semantyka
3.1. Podstawowe założenia i pojęcia
Wprowadziliśmy wcześniej pewien sposób rozumienia dla wyróżnionych przez nas spójników KRZ, przypisując im odpowiedniki w języku polskim. Zgodnie z nim np. implikację należy traktować jako spójnik odpowiadający polskiemu „jeżeli..., to”. Trudno uznać taki zabieg za semantykę języka KRZ, biorąc pod uwagę wieloznaczność odpowiednich zwrotów z języka polskiego. Kwestią stosunku spójników KRZ do odpowiednich wyrażeń języka polskiego zajmiemy się poniżej. Najpierw jednak wprowadzimy w bardziej precyzyjny sposób interpretację wybranych przez nas stałych logicznych.
Semantyka KRZ jest ekstensjonalna, co oznacza, że pod uwagę nie będziemy brali sądów logicznych wyrażanych przez dane zdanie, a tylko wartość logiczną, jaką ono posiada. Przypomnijmy też, że KRZ jest oparte o zasadę dwuwartościowości, co oznacza, iż o każdym zdaniu zakładamy, że przy dowolnej interpretacji ma ustaloną jedną (i zgodnie z zasadą niesprzeczności — tylko jedną) z dwóch wartości logicznych. Prawdę będziemy odtąd oznaczać symbolem 1, a fałsz symbolem 0. Podstawowym pojęciem naszej semantyki jest pojęcie wartościowania, zdefiniowanenastępująco:
Wartościowaniem nazywamy dowolne odwzorowanie V ze zbioru wszystkich zmiennych zdaniowych w zbiór {1, 0}.
Technicznie jest to zatem funkcja, która każdej zmiennej przypisuje bądź 1, bądź 0. Istnieje nieskończenie wiele różnych wartościowań, dlatego będziemy w konkretnych przykładach rozróżniać je, pisząc np. V1, V2, ... Wartość danej formuły przy pewnym wartościowaniu będziemy zapisywać następująco:V1(p) = 1, V2(q) = 0. W przypadku, gdy będziemy używać ustalonego w danym kontekście wartościowania, uprościmy zapis, pisząc po prostu: p = 1, q = 0 itd.
3.2. Definicje spójników
Aby oceniać wartość logiczną formuł złożonych, musimy ustalić jakiś sposób poszerzania wartościowań. Ponieważ ograniczyliśmy się do spójników ekstensjonalnych, więc można to zrobić, definiując znaczenie wszystkich spójników w terminach wartości ich argumentów.
Negacja dowolnego zdania po prostu zmienia jego wartość logiczną. Zatem p = 1 wtw, ¬p = 0 — i odwrotnie: p = 0 wtw, ¬p = 1.
W przypadku spójników dwuargumentowych sytuacja jest bardziej złożona, gdyż są cztery możliwe kombinacje. Wygodną formą reprezentacji takich definicji są tabelki zero-jedynkowe, w których w poszczególnych wierszach podajemy możliwe kombinacje wartości logicznych argumentów spójnika.
p |
q |
p ∧ q |
p ∨ q |
p → q |
p ↔ q |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
Tabela 1
Chociaż w tabelce występują zmienne zdaniowe p i q, to sytuacja będzie identyczna, gdy argumentami spójnika będą formuły złożone, o ile wcześniej ustali się ich wartość. Łatwo zauważyć, że powyższe definicje pozwalają dla dowolnego wartościowania i dowolnej formuły ustalić jej wartość. Dlatego poszerzymy nasz zapis z użyciem wartościowań V1, V2 itd. na formuły złożone, pisząc np. V1(p ∨ ¬q) = 1 lub — przy ustalonym wartościowaniu — p ∨ ¬q = 1.
Zilustrujmy, w jaki sposób możemy obliczyć wartość danej formuły przy ustalonym wartościowaniu zmiennych. Niech V1(p) = V1(q) = V1(r) = 1, wtedy V1(p → (q ∧ r)) = 1, gdyż zarówno wartość poprzednika, jak i następnika tej implikacji (czyli q ∧ r) wynosi 1. Jeżeli weźmiemy V2 takie, że V2(p) = V2(q) = 1 i V2(r) = 0, to wtedy V2(p → (q ∧ r)) = 0, gdyż V2(q ∧ r) = 0, ale poprzednik jest prawdziwy, a jest to jedyna sytuacja, kiedy implikacja jest fałszywa.
3.3. Semantyka a interpretacja
Zaprezentowana przez nas semantyka języka KRZ ma charakter czysto formalny i ekstensjonalny. Ponieważ wcześniej dokonaliśmy nieformalnej interpretacji spójników KRZ w terminach pewnych wyrażeń z języka polskiego, wypada zastanowić się, na ile jest ona trafna. Ma to znaczenie dla poprawności formalizacji tekstów w języku polskim, gdyż wyróżnione spójniki z języka naturalnego są wieloznaczne, a co więcej — niektóre z posiadanych przez nie znaczeń są intensjonalne. Stąd dobrze jest się zastanowić, czy w danym kontekście można zastąpić spójniki języka polskiego odpowiednimi stałymi logicznymi. Negacja i równoważność raczej nie sprawiają problemów, dlatego ograniczymy się do rozważenia kilku problemów związanych z koniunkcją, alternatywą i implikacją.
3.4. Koniunkcja
Zasadniczo „i” oraz jego synonimy można uznać za wierny odpowiednik koniunkcji. Spójnik ten jednak może być też używany intensjonalnie w celu zaznaczenia np. następstwa czasowego lub przestrzennego. Przykładowo poniższe zdania wydają się mieć inną wartość logiczną:
1. Zosia miała dziecko i wyszła za mąż.
2. Zosia wyszła za mąż i miała dziecko.
Ekstensjonalna koniunkcja jest jednak przemienna, co oznacza, że kolejność argumentów nie ma wpływu na wartość logiczną całości. Jeżeli oba zdania składowe są prawdziwe, to całość będzie prawdziwa w obu wypadkach. A jeżeli chociaż jeden składnik jest fałszywy, to całość też jest w obu wypadkach fałszywa. Skoro jednak co najmniej dla Zosi nie jest obojętne, w jakiej kolejności zaszły oba wydarzenia, to znaczy, że „i” nie jest w tym kontekście koniunkcją. W takich przypadkach właściwym rozwiązaniem jest potraktowanie zdań 1. i 2. jako dwóch różnych zdań prostych.
3.5. Alternatywa
Rozważany przez nas spójnik ∨ to alternatywa słaba (łączna), natomiast w języku naturalnym często mamy do czynienia z tzw. alternatywą mocną (rozłączną). Jest to również spójnik ekstensjonalny, tym tylko różniący się od alternatywy słabej, że zdanie zbudowane za jego pomocą jest fałszywe również wtedy, gdy oba argumenty są prawdziwe. Przykład: „Kowalski zostanie w kraju lub wyjedzie za granicę”. Istnieje wprawdzie w języku polskim pewna tendencja, aby używać „lub” w znaczeniu alternatywy słabej, a „albo” w znaczniu aternatywy mocnej, jednak nie jest to konsekwentnie przestrzegana zasada. W powyższym przykładzie użycie „lub” dla alternatywy mocnej nie wydaje się nienaturalne czy sztuczne, równie łatwo można by znaleźć przykłady pokazujące, że „albo” używa się wtedy, gdy chodzi o alternatywę słabą (np. „Pójdę do kina z Moniką albo z Alicją”).
W języku polskim, aby jednoznacznie wyrazić alternatywę mocną, powinniśmy użyć wyrażenia „albo..., albo...”. W przypadku gdy nie mamy wątpliwości, że alternatywa występująca w zdaniu jest mocna, wskazane jest wyraźne zaznaczenie tego w formalizacji. Można wprowadzić dodatkowy symbol bądź wyrazić mocną alternatywę z użyciem spójników już występujących w języku KRZ, np. zdanie o schemacie „albo p, albo q” możemy wyrazić przez formułę „¬(p ↔ q)”. Jest tak dlatego, że równoważność jest fałszywa dokładnie wtedy, gdy alternatywa mocna jest prawdziwa, a prawdziwa wtedy, gdy alternatywa mocna jest fałszywa.
3.6. Implikacja
Ekstensjonalna definicja implikacji, zwanej często implikacją materialną, zawsze budziła największe zastrzeżenia. Zastanówmy się nad wartością logiczną zdań:
3. Jeżeli 2 + 2 = 5, to Kowalska ma dwójkę dzieci.
4. Jeżeli Kowalska ma dwójkę dzieci, to 2 + 2 = 4.
5. Jeżeli Adaś podniesie świnkę morską za ogon do góry, to jej oczy powypadają.
Bez względu na odczucia Czytelnika, trzeba stwierdzić, że wszystkie są prawdziwe, zgodnie z tabelkową definicją implikacji. Zdania 3. i 5. są prawdziwe, gdyż ich poprzedniki są fałszywe, a 4. dlatego, że następnik jest prawdziwy. Wartości logiczne pozostałych zdań (i ich związki treściowe) nie mają wpływu na nic. Paradoksalność dwóch pierwszych przykładów bierze się stąd, że następnik nie ma żadnego związku treściowego z poprzednikiem, podczas gdy „normalne” użycie wyrażenia „jeżeli..., to...” w języku naturalnym zakłada zachodzenie jakiegoś związku. Natomiast ekstensjonalna definicja implikacji odwołuje się wyłącznie do wartości logicznej argumentów.
Obrońcy implikacji materialnej argumentują, że przykłady tego typu wcale nie pokazują, że jej definicja jest zła. Powstają one bowiem właśnie przez pogwałcenie pragmatycznych norm poprawnego użycia „jeżeli..., to...”. Jeżeli się tego nie robi, problem znika. (Na marginesie warto zauważyć, że użycia „jeżeli..., to...”, nierespektujące związku treściowego argumentów, także zdarzają się w komunikacji potocznej — mówimy np. „Jeżeli Kowalski zda egzamin z logiki, to mi kaktus na dłoni wyrośnie”).
Sytuacja nie jest jednak taka prosta — przykład 5. to zdanie warunkowe, w którym poprzednik i następnik są treściowo powiązane. Można znaleźć znacznie więcej przykładów pokazujących, że wielu zdaniom o postaci okresów warunkowych i ewidentnym związku treściowym obu argumentów jesteśmy skłonni dawać inne wartości niż dyktuje definicjaimplikacji.Porównajmy dwa zdania:
6. Jeżeli Kant zmarł w 1804 roku, to zmarł w XX wieku.
7. Jeżeli Kant zmarł w 1805 roku, to zmarł w XX wieku.
Oba zdania z pewnością uznamy za fałszywe i choć w przypadku 6. będzie to zgodne z definicją implikacji (Kant istotnie umarł w 1804), to zdanie 7. powinniśmy uznać za prawdziwe (oba zdania składowe są fałszywe)!
Logicy niezadowoleni z takiego stanu rzeczy zaproponowali szereg nieklasycznych logik, formalizujących niektóre z intensjonalnych znaczeń implikacji (np. logiki implikacji ścisłej, logiki relewantne, logiki okresów warunkowych). Są to jednak konstrukcje znacznie bardziej skomplikowane, ich prezentacja przekracza zakres tego kursu.
Czy zatem definicja implikacji materialnej jest dobra? Wydaje się, że w wielu przypadkach można ją bezpiecznie zastosować. Zasadniczo nie budzi wątpliwości fakt, że gdy oba zdania są prawdziwe, to całość należy uznać za prawdziwą i że gdy poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy, to całość jest fałszywa. Wątpliwe przypadki zdarzają się wtedy, gdy poprzednik jest fałszywy. Jednak gdyby przypisać takim zdaniom fałszywość, to wtedy implikacja nie różniłaby się ekstensją od koniunkcji, natomiast uznanie obu przypadków za różnowartościowe dałoby w jednym przypadku taką samą ekstensję jak dla równoważności, w drugim zaś też zupełnie nieprzekonującą.
Przypisanie obu przypadkom prawdziwości jest co najmniej zgodne z użyciem „jeżeli..., to...” w matematyce, i to wydaje się argumentem rozstrzygającym. Na wielu przykładach z języka naturalnego również można zilustrować motywy przypisania prawdziwości zdaniom z fałszywym poprzednikiem.
Zastanówmy się na przykład nad zdaniem: „Jeżeli Kowalski wygra milion w totolotka, to kupi nowy samochód”. Z pewnością uznamy je za fałszywe, gdy Kowalski wygra milion w totolotka, ale nie kupi nowego samochodu. Gdy wygra i kupi, to oczywiście zdanie to uznamy za prawdziwe. Co się jednak stanie, gdy Kowalski nie wygra rzeczonej sumy? Jeżeli samochodu nie kupi, to nadal powinniśmy to zdanie uważać za prawdziwe — stwierdza ono pewną zależność, a fakt, że nie zrealizował się warunek wyrażony w poprzedniku nie uprawnia nas raczej do zaprzeczenia zachodzeniu tej zależności. Podobnie będzie, jeżeli Kowalski — mimo braku wygranej — kupi nowy samochód. Nie uprawnia nas to wcale do uznania za fałszywe całego zdania, bo nie podważa zachodzenia orzeczonej w nim zależności. Forma warunkowa wskazuje na to, że poprzednik wyraża warunek wystarczający dla zajścia następnika, ale nie warunek konieczny. Innymi słowy — wystarczy, żeby Kowalski wygrał, wtedy kupi sobie nowy samochód, ale nie musi tak być, bo inne okoliczności też mogą to umożliwić (np. Kowalski odziedziczył wysoki spadek albo został wybrany do sejmu i żyje teraz z diet poselskich).
Należy jednak pamiętać, że „jeżeli..., to...” jest spójnikiem o wielu różnych znaczeniach i w wielu przypadkach formalizacja tego zwrotu za pomocą implikacji materialnej jest wręcz niewskazana, bo może prowadzić do paradoksalnych efektów. Tak jest np. w przypadku tzw. kontrfaktycznych okresów warunkowych — np. „Jeżeli bym się z tobą nie ożenił, to byłbym szczęśliwym człowiekiem”. Każde zdanie tego typu automatycznie staje się prawdziwe z powodu fałszywości poprzednika. Na szczęście w języku polskim są one wyrażane częściej z użyciem wyrażenia „gdyby..., to...”, mamy więc nawet językowe wskazówki dla odróżnienia tego typu zdań od tych, które można formalizować z użyciem implikacji.
4. Tautologie
4.1. Metoda tabelkowa
W logice interesuje nas nie tyle to, jaką wartość dana formuła posiada przy określonym wartościowaniu, ale jak się zachowuje przy wszystkich. Jak to jednak sprawdzać, jeżeli wartościowań jest nieskończenie wiele? Łatwo zauważyć, że przy sprawdzaniu wartości formuł bierzemy pod uwagę nie całe wartościowanie, tylko to, co przypisuje ono zmiennym występującym w analizowanej formule. Jeżeli w formule nie ma zmiennej s, to dla wyniku sprawdzania nie ma znaczenia, czy s otrzyma 1, czy 0.
Tak postępowaliśmy w przykładzie z poprzedniego tematu z wartościowaniami V1 i V2, które ustaliliśmy tylko dla 3 zmiennych występujących w rozważanej formule. Skoro abstrahujemy od zmiennych niewystępujących we wzorze, to nasza nieskończona liczba różnych wartościowań redukuje się do skończonej liczby wartościowań cząstkowych, które różnią się od siebie tylko dla ustalonych zmiennych. Liczba takich wartościowań jest wyznaczona wzorem 2n, gdzie n to liczba różnych zmiennych we wzorze, np. dla formuły złożonej z trzech różnych zmiennych p, q, r mamy 8 różnych podstawień 1 i 0, a dla formuły złożonej z czterech różnych zmiennych mamy ich 16.
W ten sposób można metodę tabelkową stosować do analizy dowolnej formuły. Sprawdźmy to na przykładzie formuły (p ∧ q) → (p ∨ r), gdzie w tabelce uwzględniamy 8 możliwych rodzajów wartościowań, a w kolejnych kolumnach podformuły (czyli składniki) sprawdzanej formuły. Wynik liczymy dla każdego wartościowania z osobna, po kolei od lewej ku prawej (aż do kolumny wynikowej). Jak widać, żeby wyliczyć wartość formuły złożonej, musimy najpierw systematycznie wyliczyć wartości jej składników.
p |
q |
r |
p ∧ q |
p ∨ q |
(p ∧ q) → (p ∨ r) |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Tabela 2
4.2. Klasyfikacja formuł
Zauważmy, że powyższa formuła jest prawdziwa niezależnie od wartościowania. Takie formuły, uniwersalnie prawdziwe, będziemy określać mianem tautologii, czyli prawd logicznych. Formuła, która przy każdym wartościowaniu jest fałszywa, to kontrtautologia albo fałsz logiczny. Przykładowo, negacja powyższej formuły (i ogólnie — każdej tautologii) daje nam kontrtautologię. Dla oznaczenia dowolnej kontrtautologii będziemy używać symbolu ⊥.
Zarówno tautologie, jak i kontrtautologie są zdaniami analitycznymi naszego języka. Formuły, których wartość logiczna nie jest stała, lecz zmienia się w zależności od wartościowania (jak w przykładzie z formułą p → (q ∧ r) podanym w poprzednim temacie), to formuły kontyngentne.
Wszystkie formuły, które nie są kontrtautologiami, nazywamy formułami spełnialnymi, gdyż istnieje co najmniej jedno wartościowanie, przy którym są one prawdziwe (które je spełnia albo weryfikuje).Zauważmy, że każda tautologia też jest formułą spełnialną, gdyż jest prawdziwa przy każdym wartościowaniu.
4.3. Ważniejsze tautologie
W tradycyjnym wykładzie logiki przywiązuje się dużą wagę do tautologii, podając często ich obszerne listy i obdarzając wybrane formuły nazwami. Poniżej przytoczymy kilka ważniejszych.
— prawo wyłączonego środka:
p ∨ ¬p,
— prawo (nie)sprzeczności:
¬(p ∧ ¬p),
— prawo tożsamości:
p → p (lub p ↔ p),
— sylogizm hipotetyczny :
[(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r),
— modus ponendo ponens:
[(p → q) ∧ p] → q,
— modus tolendo tolens:
[(p → q) ∧ ¬q] → ¬p,
— prawo podwójnej negacji:
¬¬p ↔ p,
— prawo zamienności implikacji z alternatywą:
(p → q) ↔ (¬p ∨ q),
— prawo kontrapozycji:
(p → q) ↔ (¬q → ¬p),
— prawa DeMorgana:
¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q), ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q),
¬(p → q) ↔ (p ∧ ¬q),
— prawa idempotencji:
p ↔ (p ∧ p), p ↔ (p ∨ p),
— prawa dystrybucji:
[p ∧ (q ∨ r)] ↔ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)], [p ∨ (q ∧ r)] ↔ [(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)],
— prawa absorpcji:
p ↔ [p ∧ (p ∨ q)],
p ↔ [p ∨ (p ∧ q)],
p ↔ [p ∧ (q ∨ ¬q)], p ↔ [p ∨ (q ∧ ¬q)],
— prawo eksportacji/importacji:
[p → (q → r)] ↔ [(p ∧ q) → r].
Trzy pierwsze to tzw. najwyższe prawa myślenia, przez wieki pełniące uprzywilejowaną rolę w wykładzie logiki tradycyjnej. Zauważmy, że prawo wyłączonego środka stanowi formalny wyraz zasady dwuwartościowości. Warto zwrócić też uwagę na podane wyżej tautologie o postaci równoważności, ponieważ ich znajomość pozwala na dokonywanie zamiany formuł występujących po jednej stronie równoważności na formuły występujące po drugiej stronie. Zwłaszcza prawo podwójnej negacji pozwala otrzymywać proste warianty innych tautologii. Przykładowo, na mocy tego prawa można otrzymać (p → ¬q) ↔ (q → ¬p) jako wariant prawa kontrapozycji.
Na koniec zauważmy, że na liście występują trzy tautologie o identycznych nazwach jak podane w temacie 2 schematy poprawnych rozumowań. Aby przekonać się, czy nie jest to tylko przypadkowa zbieżność, musimy najpierw wprowadzić definicjewynikania na gruncie KRZ.
4.4. Wynikanie
Niech X oznacza dowolny zbiór formuł. Powiemy, że:
Ze zbioru X wynika p wtw, V(p) = 1, dla dowolnego wartościowania V, przy którym V(X) = 1.
Przez V(X) = 1 rozumiemy, że wszystkie formuły ze zbioru X są prawdziwe przy tym wartościowaniu. Natomiast p reprezentuje w podanej definicji(iwpodanychniżej zasadach) dowolną formułę, która występuje jako wniosek, a nie tylko zdania proste.
Relacja wynikania zdefiniowanadlaKRZmatakisamsens,jakrelacjawynikaniaw języku naturalnym. Co więcej, w podanej tutaj definicjinieodwołujemy się do wieloznacznego wyrażenia modalnego „musi”, a jedynie do dobrze zdefiniowanegopojęcia wartościowania. Zwróćmy uwagę na zachodzenie następującego związku między wynikaniem a tautologicznością:
1. p wynika z X wtw, implikacja, której poprzednik jest koniunkcją wszystkich elementów X, a następnik to p, jest tautologią.
Podana zasada wyjaśnia związek pomiędzy schematami poprawnych rozumowań z tematu 2, a podanymi wyżej tautologiami o takich samych nazwach i uzasadnia formalnie, dlaczego uznaliśmy rozumowania o takiej formie za poprawne. Również dla innych schematów rozumowań z tematu 2, np. dla różnych rodzajów dylematów, można wskazać stosowne tautologie, które uzasadniają ich poprawność. Warto też zauważyć, że każda podana wyżej tautologia o postaci równoważności gwarantuje poprawność aż dwóch schematów rozumowań. Dzieje się tak dlatego, że równoważność jest obustronną implikacją. Zatem poprawny jest zarówno schemat, w którym lewa strona równoważności jest przesłanką, a prawa wnioskiem, jak i schemat, w którym funkcja przesłanki i wniosku przypisana jest na odwrót.
Powyższa równoważność daje nam możliwość sprawdzania poprawności dowolnych rozumowań w języku KRZ przy wykorzystaniu metody tabelkowej. Jednak metoda ta jest wysoce niepraktyczna — wzór 2n jest wprawdzie prosty, ale jednak wykładniczy, i już przy stosunkowo niewielkich wartościach n (czyli liczbie różnych zmiennych) zmusza nas do konstruowania olbrzymich tabelek. W wielu wypadkach znacznie lepsze efekty daje metoda sprawdzania niewprost. Aby ją wprowadzić, musimy najpierw zdefiniować pojęcie zbioru sprzecznego i wyjaśnić jego związek z wynikaniem.
4.5. Zbiór sprzeczny
Jest to taki zbiór, który przy dowolnym wartościowaniu zawiera przynajmniej jedną formułę fałszywą (inaczej: nie ma wartościowania, przy którym wszystkie jego elementy są prawdziwe).
Podobnie zbiór formuł, który nie jest sprzeczny, nazwiemy zbiorem spełnialnym, gdy istnieje co najmniej jedno wartościowanie, przy którym wszystkie elementy tego zbioru są równocześnie prawdziwe.
Na gruncie KRZ między sprzecznością a wynikaniem zachodzi istotny związek, który wyraża następująca zasada:
2. Ze zbioru X wynika p wtw, zbiór zawierający X i ¬p jest sprzeczny.
Podobnie dla tautologii:
3. Dana formuła jest tautologią wtw, zbiór zawierający negację tej formuły jest sprzeczny.
Konsekwencją podanych zasad jest możliwość zastosowania krótszej metody sprawdzania tautologiczności i wynikania, która określana jest jako metoda sprawdzania niewprost. Zamiast wypisywać wszystkie możliwe wartościowania i dla każdego liczyć wynik, zakładamy, że analizowana formuła nie jest tautologią i próbujemy skonstruować wartościowanie falsyfikujące, czyli takie, przy którym dana formuła okaże się fałszywa (odpowiada to szukaniu wartościowania, przy którym prawdziwa jest negacja sprawdzanej formuły). Albo nam się to udaje, albo (gdy formuła jest tautologią) popadamy w sprzeczność, która wyraża się tym, że zmuszeni jesteśmy jakiejś podformule przypisać i 1, i 0.
Załóżmy np., że sylogizm hipotetyczny [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) nie jest tautologią. Ponieważ jest to implikacja, więc jest to możliwe tylko przy takim wartościowaniu V, dla którego V((p → q) ∧ (q → r)) = 1, a V(p → r) = 0. Wtedy V(p) = 1, a V(r) = 0, natomiast oba człony koniunkcji (p → q) ∧ (q → r) są prawdziwe. Skoro V(p → q) = 1 i V(p) = 1, to V(q) = 1, ale skoro V(q → r) = 1, a V(r) = 0, to V(q) = 0. Mamy zatem sprzeczność na wartości q i nie istnieje wartościowanie falsyfikujące [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r). Jest to zatem tautologia.
5. Rozumowania
Obecnie zastosujemy metodę sprawdzania niewprost do analizy poprawności rozumowań w języku polskim. Każde rozumowanie będziemy najpierw formalizowali w języku KRZ, zgodnie z zasadami podanymi w temacie 1, a następnie sprawdzali, czy wniosek wynika z przesłanek. Dla uproszczenia analizy rozumowania przedstawiamy w formie pełnej, tj. bez pomijanianiezbędnych przesłanek, oraz w postaci kanonicznej, czyli kolejno przesłanki i wniosek na końcu.
Poddając analizie rozumowania występujące w tekstach, które nie były pisane przez logików dla logików, musimy oczywiście pamiętać, że możemy napotkać dodatkowe trudności już w fazie formalizacji. Problemem może być często nawet zidentyfikowanie,cojestprzesłanką, a co wnioskiem. Ponadto zazwyczaj wiele elementów należy z rozumowania wyrzucić, gdyż są tylko retorycznymi ozdobnikami (np. powtórzeniami), a inne trzeba dodać, gdyż zostały pominięte jako oczywiste (rozumowania entymematyczne).
5.1. Cogito Kartezjusza
Ważne i znane rozumowania nie zawsze mają skomplikowaną strukturę. Znane rozumowanie Kartezjusza (XVII wiek), którym posłużył się w celu uzasadnienia wiary we własne istnienie, można sformułować następująco:
Jeżeli wiem, że istnieję, to istnieję. Wiem, że istnieję, jeżeli wiem, że myślę i wiem, że myślę, jeżeli myślę. Ale myślę, więc jestem.
Schemat powyższego rozumowania zapiszemy następująco:
p → q, (r → p) ∧ (s → r) / s → q
Wykazanie poprawności tego rozumowania nie nastręcza trudności. Zakładamy niewprost, że obie przesłanki są prawdziwe, a wniosek fałszywy. Wtedy s = 1 a q = 0 (jedyny przypadek, gdy implikacja jest fałszywa). Ponieważ pierwsza przesłanka jest prawdziwą implikacją, ale q = 0, więc i p = 0. Obie implikacje tworzące drugą przesłankę też są prawdziwe, zatem skoro s = 1, to r = 1, ale skoro p = 0, to r = 0. Otrzymaliśmy sprzeczność, gdyż r nie może być równocześnie prawdziwe i fałszywe. To oznacza, że nasze założenie o fałszywości wniosku było błędne, zatem wniosek wynika z przesłanek.
Poprawność tego rozumowania może być wykazana również w inny sposób — przez odwołanie się do omawianych w temacie 2 i 4 reguł lub tautologii. Zauważmy, że jeżeli zastosujemy rozłączenie obu członów koniunkcji zgodnie z jedną z reguł podanych dla tego spójnika, to otrzymamy 3 przesłanki o postaci implikacji. Jeżeli zmienimy teraz ich kolejność, przestawiając pierwszą z trzecią, to otrzymujemy 3-przesłankowy przypadek sylogizmu hipotetycznego, w którym łańcuch 3 implikacji zaczyna się od „s” a kończy na „q”. Wniosek po prostu łączy skrajne zdania.
5.2. Trochę teorii
Umiejętność sprawnego analizowania rozumowań wymaga dobrego zapamiętania definicjispójników, co sprowadza się do sprawnego obliczania wartości argumentów w oparciu o ustaloną wartość łączącego je spójnika bądź odwrotnie, do ustalania wartości zdania złożonego w oparciu o wartość argumentów. Warto zapamiętać to w postaci reguł:
a) jeżeli p ∧ q = 1, to p = 1 i q = 1 (i odwrotnie: jeżeli p = 1 i q = 1, to p ∧ q = 1),
b) jeżeli p ∨ q = 0, to p = 0 i q = 0 (i odwrotnie),
c) jeżeli p → q = 0, to p = 1 i q = 0 (i odwrotnie),
d) jeżeli p ∧ q = 0 i jeden składnik jest prawdziwy (p albo q), to drugi jest fałszywy,
e) jeżeli p ∨ q = 1 i jeden składnik jest fałszywy, to drugi jest prawdziwy,
f) jeżeli p → q = 1 i p = 1, to q = 1,
g) jeżeli p → q = 1 i q = 0, to p = 0,
h) jeżeli p ↔ q = 1 i jedna ze stron ma ustaloną wartość (1 lub 0), to druga ma taką samą,
i) jeżeli p ↔ q = 0 i jedna ze stron ma ustaloną wartość (1 lub 0), to druga ma odwrotną,
j) jeżeli p = 1, to p ∨ q = 1, q ∨ p = 1, q → p = 1,
k) jeżeli p = 0, to p ∧ q = 1, q ∧ p = 1, p → q = 1.
Pominęliśmy reguły dla negacji jako dość oczywiste. Przypadki a)-c) podają sytuacje, kiedy można ustalić wartość obu argumentów w oparciu o wartość zdania złożonego (lub odwrotnie). Przypadki d)-i) pokazują, kiedy z wartości całego zdania i jednego z argumentów można wydedukować wartość drugiego. Przykładowo, powyżej w analizie rozumowania skorzystaliśmy z c), f) i g). Natomiast j) i k) to przypadki, kiedy wartość tylko jednego składnika pozwala ustalić wartość całości.
5.3. Coś z życia
Rozważmy następujące rozumowanie:
Jeżeli Alicja pojechała do Galerii, to kupiła nową sukienkę lub torebkę. Alicja nie kupiła torebki. Zatem nie pojechała do Galerii.
Rozumowanie to ma następujący schemat (gdzie r oznacza zdanie „kupiła torebkę”):
p → (q ∨ r), ¬r / ¬p
Ponownie szukamy wartościowania falsyfikującego. Ponieważ p = 1 (skoro jego negacja — czyli wniosek — jest fałszywa), więc następnik pierwszej przesłanki jest prawdziwą alternatywą. Skoro r = 0 (gdyż druga przesłanka jest prawdziwa), to q = 1. Nie otrzymaliśmy sprzeczności, zatem analizowane rozumowanie jest niepoprawne. Wydaje się to zgodne z intuicyjną oceną tego rozumowania, gdyż druga przesłanka nie wyklucza, że Alicja była w Galerii i kupiła tam nową sukienkę. Poprawne rozumowanie otrzymamy, jeżeli obecny wniosek zastąpimy np. następującym: „Alicja nie pojechała do Galerii lub kupiła nową sukienkę”.
Inny przykład:
Jeżeli Kazik odebrał wypłatę, to poszedł do pubu. Jeżeli nie przepuścił pieniędzy z kolegami, to oddał je żonie. Jednak nie jest prawdą, że jeżeli odebrał wypłatę, to oddał pieniądze żonie. Więc poszedł do pubu i przepuścił pieniądze z kolegami.
W wyniku formalizacji otrzymujemy schemat:
p → q, ¬r → s, ¬(p → s) / q ∧ r
Zakładamy, że przesłanki są prawdziwe a wniosek fałszywy. Ani wniosek, ani dwie pierwsze przesłanki nie pozwalają na ustalenie wartości argumentów. Natomiast p → s = 0, więc p = 1 a s = 0. Zatem q = 1, a wtedy r = 0. Jeżeli teraz dopasujemy uzyskane wartości r i s do drugiej przesłanki, to otrzymamy prawdziwy poprzednik i fałszywy następnik, co daje sprzeczność, gdyż z założenia ta implikacja jest prawdziwa. Zatem podane rozumowanie jest poprawne.
5.4. Bóg i zło
Na koniec rozważymy trochę bardziej skomplikowany przykład. W taki właśnie sposób w III wieku gnostycy uzasadniali swój pogląd, że stwórcą świata nie jest doskonały Bóg, ale jakaś podrzędna istota duchowa.
Doskonałość Boga polega na tym, że jest on zarazem wszechwiedzący, wszechmogący i nieskończenie dobry. Jeżeli zło istnieje, to Bóg o nim nie wie albo wie o nim, ale nie może lub nie chce go powstrzymać, o ile jest stwórcą tego świata. Jednak — jeżeli nie wie, że zło istnieje — to nie jest wszechwiedzący. Jeżeli nie może zła powstrzymać, to nie jest wszechmogący. Natomiast jeżeli nie chce go powstrzymać, to nie jest nieskończenie dobry. Zatem, skoro zło istnieje, to Bóg nie jest doskonały lub nie On stworzył świat.
Proponujemy następującą formalizację, w której kolejne zmienne reprezentują zdania: p — Bóg jest doskonały, q — Bóg jest wszechwiedzący, r — Bóg jest wszechmogący, s — Bóg jest nieskończenie dobry, t — zło istnieje, u — Bóg wie o istnieniu zła, v — Bóg może zło powstrzymać, w — Bóg chce zło powstrzymać, z — Bóg stworzył świat.
p ↔ (q ∧ r ∧ s), z → (t → {¬u ∨ [u ∧ (¬v ∨ ¬w)]}), ¬u → ¬q, ¬v → ¬r, ¬w → ¬s / t → (¬p ∨ ¬z)
Po przypisaniu prawdy przesłankom, zaś fałszu wnioskowi, mamy: t = p = z = 1. Skoro p = 1, to z pierwszej przesłanki mamy: q = r = s = 1. Stosując te wartości do następników przesłanek trzeciej, czwartej i piątej, otrzymujemy: u = v = w = 1. Skoro z = 1 i t = 1, to z drugiej przesłanki mamy ¬u ∨ [u ∧ (¬v ∨ ¬w)] = 1. Ponieważ u = 1, więc ¬u = 0 i u ∧ (¬v ∨ ¬w) = 1. Zatem ¬v ∨ ¬w = 1, co jest jednak niemożliwe, skoro v = 1 i w = 1.
Uzyskana sprzeczność pokazuje, że rozumowanie jest poprawne, natomiast otwartą sprawą jest, czy wszystkie przesłanki są prawdziwe. Ponieważ jest to kurs logiki, nie zaś teologii, więc tej sprawy dalej analizować nie będziemy. Zauważmy natomiast przy okazji, że formalizacja rozumowań pozwala też często wyrazić je w bardziej zwięzłej formie. Czytelnik zechce sprawdzić, że z → (t → {¬u ∨ [u ∧ (¬v ∨ ¬w)]}) jest równoważne prostszej formule z → [t → (¬u ∨ ¬v ∨ ¬w)]. Zatem w badanym rozumowaniu można zastąpić drugą przesłankę zdaniem: „Jeżeli zło istnieje, to Bóg o nim nie wie albo nie może lub nie chce go powstrzymać, o ile jest stwórcą tego świata”.
Bibliografia
1. Ajdukiewicz K., 1959: Zarys logiki, PZWS,Warszawa.
2. Borkowski L., 1976: Elementy logiki formalnej, PWN, Warszawa.
3. Bremer J., W., 2004: Wprowadzenie do logiki, Wydawnictwo WAM, Kraków.
4. Forbes G., 1994: Modern Logic, Oxford University Press, Oxford.
5. Gumański L., 1990: Wprowadzenie w logikę współczesną, PWN, Warszawa.
6. Hodges W., 1991: Logic, Penguin, London.
7. Hołówka T., 2005: Kultura logiczna w przykładach, PWN, Warszawa.
8. Kmita J., 1977: Wykłady z logiki i metodologii nauk, PWN, Warszawa.
9. Łukowski P., 1990: Ćwiczenia z logiki, OFEK, Łódź.
10. Przybyłowski J., 2001: Logika z ogólną metodologią nauk, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk.
11. Skarbek W., 2004: Logika dla humanistów, NWP, Piotrków Trybunalski.
12. Stanosz B., 1984: Wprowadzenie do logiki formalnej, PWN, Warszawa.
13. Tokarz M., 1984: Wprowadzenie do logiki, Uniwersytet Śląski, Katowice.
14. Trzęsicki K., 1996: Logika, nauka i sztuka, Temida, Białystok.
15. Wójcicki R., 2003: Wykłady z logiki z elementami teorii wiedzy, Scholar, Warszawa.
BibliografiastronWWW
16. John Carroll University. Witryna internetowa.
www.jcu.edu/philosophy/gensler, stan z 20.12.2005.