Rozdział 14

14. ZADANIA Z WYKORZYSTANIEM KOMPUTEROWEGO WSPOMAGANIA STATYSTYKI

Zadania dotyczą przede wszystkim zagadnień związanych z wnioskowaniem statystycznym. Do tekstu każdego zadania dołączone są wydruki komputerowe. Wydruki mają z jednej strony zmniejszyć pracochłonność rozwiązywania zadań, z drugiej zaś służyć wyrobieniu umiejętności korzystania z komputerowego wspomagania obliczeń.

Wydruki komputerowe są podane w większości zadań w dwóch wersjach. Pierwsza wersja jest zawsze kopią ekranu odpowiedniej procedury programu Statgraphics, nr 5. Druga wersja jest fragmentem lub całością ekranu z tłumaczeniami polskimi lub odpowiednimi symbolami tam, gdzie jest to możliwe i sensowne. Kopiowanie fragmentów, a nie całego ekranu, jest dlatego uzasadnione, iż w niektórych procedurach podawane są na jednym ekranie tematycznie różne wyniki obliczeń. Mogą być one zatem wykorzystywane do różnego typu zadań. Wydruk drugi tworzono zawsze z wydruku pierwszego, oryginalnego, tłumacząc podstawowe sformułowania z języka angielskiego lub zastępując je odpowiednimi, powszechnie stosowanymi symbolami po to, aby nie uzależniać umiejętności posługiwania się komputerowym wspomaganiem obliczeń od znajomości języka angielskiego.

Dobrze jest korzystać z wydruku (pierwszego oryginalnego lub z jego drugiej wersji), gdyż w ten sposób znacznie skracamy czas rozwiązywania zadań. Bez odwoływania się do wydruków rozwiązanie zadań jest również możliwe, ale bardziej pracochłonne. Jaka jest praktycznie rola i przydatność komputerowego wspomagania statystyki może uświadomić nam dwukrotne rozwiązanie któregoś z zadań (bez oraz z wykorzystaniem wydruku). Wybór sposobu rozwiązywania zadań należy jednak w ostateczności do osoby rozwiązującej zadania.

Przed przystąpieniem do pracy proszę zapoznać się z podanymi niżej uwagami:

Uwaga 1) w tych zadaniach, w których nie jest to podane, a jest potrzebne, proszę przyjąć 1 - α = 0,95 lub α = 0,05.

Uwaga 2) wartości z odpowiednich tablic proszę podawać z przybliżeniem wtedy, gdy tablice nie są wystarczająco dokładne.

Zadanie 14.1

Na podstawie wieloletnich badań pewnej populacji ustalono, że prawdopodobieństwo urodzenia się dziewczynki wynosi 0,48 (bez względu na liczbę dzieci w małóeństwie i kolejność ich urodzeń).

a) Proszę wyznaczyć i wykreślić funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej, którą jest liczba dziewczynek w małóeństwie z trójką dzieci.

b) Które ze zdarzeń ma większe prawdopodobieństwo zaistnienia w małóeństwie z trójką dzieci: wszystkie dzieci są dziewczynkami czy też wszystkie dzieci są chłopcami?

ZAŁĄCZNIKI DO ZADANIA 14.1

Wersja 1: wydruk oryginalny, program Statgraphics 5:

Tail Area Probabilities

Distributions available:

(1) Bernoulli (7) Beta (13) Lognormal

(2) Binomial (8) Chi-square (14) Normal

(3) Discrete uniform (9) Erlang (15) Student's t

(4) Geometric (10) Exponential (16) Triangular

(5) Negative binomial (11) F (17) Uniform

(6) Poisson (12) Gamma (18) Weibull

Distribution number: 2

Number of trials: 3

Event probability: 0,48

Area at or below 0 = 0,140608

Area at or below 1 = 0,529984

Area at or below 2 = 0,889408

Area at or below 3 = 1

Wersja 2: wydruk skrócony i fragmentami przetłumaczony na język polski, program Statgraphics 5:

(Wartości dystrybuanty rozkładu) Tail Area Probabilities

Distribution number: 2 (Numer dystrybuanty: 2 - rozkład dwumianowy)

Number of trials: 3 (n = 3)

Event probability: 0,48 (p = 0,48)

P(X ≤ k):

Area at or below 0 = 0,140608

Area at or below 1 = 0,529984

Area at or below 2 = 0,889408

Area at or below 3 = 1

Zadanie 14.2

Czas pracy (X) baterii pewnego typu jest zmienną losową o rozkładzie normalnym, określonym parametrami 370 godzin i 30 godzin, zapisujemy zatem X : N [370 godz., 30 godz.].

a) Gdyby na opakowaniu baterii podano gwarantowany czas pracy jako 340 godzin, wówczas jaki procent sprzedanych baterii mógłby być reklamowany?

b) Jaki czas pracy baterii byłby czasem minimalnym, gwarantowanym, gdyby producent dopuścił możliwość reklamacji: 1) 10% baterii, 2) 5% baterii, 3) 1% baterii? Po analizie kosztów producent zdecydował, że może uwzględnić reklamacje w nie więcej niż 1% sprzedanych baterii. Jaki czas pracy należy na opakowaniu baterii zapisać jako minimalny gwarantowany?

c) Jak często przedsiębiorca kupujący stale do obsługi urządzeń po 9 takich baterii trafi na baterie, których średni czas pracy będzie nie wyższy niż 390 godzin?

d) Jak często przedsiębiorca kupujący stale do obsługi urządzeń po 9 takich baterii trafi na baterie, których wariancja czasu pracy będzie nie wyższa niż 1100 godzin?

ZAŁĄCZNIKI DO ZADANIA 14.2, punkt a)

Wersja 1: wydruk oryginalny, program Statgraphics 5:

Tail Area Probabilities

Distributions available:

(1) Bernoulli (7) Beta (13) Lognormal

(2) Binomial (8) Chi-square (14) Normal

(3) Discrete uniform (9) Erlang (15) Student's t

(4) Geometric (10) Exponential (16) Triangular

(5) Negative binomial (11) F (17) Uniform

(6) Poisson (12) Gamma (18) Weibull

Distribution number: 14

Mean: 370

Standard deviation: 30

Area at or below 340 = 0,158655

Wersja 2: wydruk skrócony i fragmentami przetłumaczony na język polski, program Statgraphics 5:

(Wartości dystrybuanty rozkładu) Tail Area Probabilities

Distribution number: 14 (Numer dystrybuanty: 14 - rozkład normalny)

Mean: 370 (m = 370)

Standard deviation: 30 (σ = 30)

P(X ≤ x):

Area at or below 340 = 0,158655

ZAŁĄCZNIKI DO ZADANIA 14.2, punkt b)

Wersja 1: wydruk oryginalny, program Statgraphics 5:

Critical Values

Distributions available:

(1) Bernoulli (7) Beta (13) Lognormal

(2) Binomial (8) Chi-square (14) Normal

(3) Discrete uniform (9) Erlang (15) Student's t

(4) Geometric (10) Exponential (16) Triangular

(5) Negative binomial (11) F (17) Uniform

(6) Poisson (12) Gamma (18) Weibull

Distribution number: 14

Mean: 370

Standard deviation: 30

Area at or below 331,553 = 0,1

Area at or below 320,654 = 0,05

Area at or below 300,209 = 0,01

Wersja 2: wydruk skrócony i fragmentami przetłumaczony na język polski, program Statgraphics 5:

(Wartości krytyczne) Critical Values

Distribution number: 14 (Numer dystrybuanty: 14 - rozkład normalny)

Mean: 370 (m = 370)

Standard deviation: 30 (σ = 30)

P(X ≤ x):

Area at or below 331,553 = 0,1

Area at or below 320,654 = 0,05

Area at or below 300,209 = 0,01

ZAŁĄCZNIKI DO ZADANIA 14.2, punkt c)

Wersja 1: wydruk oryginalny, program Statgraphics 5:

Tail Area Probabilities

Distributions available:

(1) Bernoulli (7) Beta (13) Lognormal

(2) Binomial (8) Chi-square (14) Normal

(3) Discrete uniform (9) Erlang (15) Student's t

(4) Geometric (10) Exponential (16) Triangular

(5) Negative binomial (11) F (17) Uniform

(6) Poisson (12) Gamma (18) Weibull

Distribution number: 14

Mean: 370

Standard deviation: 10

Area at or below 390 = 0,97725

Wersja 2: wydruk skrócony i fragmentami przetłumaczony na język polski, program Statgraphics 5:

(Wartości dystrybuanty rozkładu) Tail Area Probabilities

Distribution number: 14 (Numer dystrybuanty: 14 - rozkład normalny)

Mean: 370 (m = 370)

Standard deviation: 10 (σ = 10)

P(X ≤ x):

Area at or below 390 = 0,97725

ZAŁĄCZNIKI DO ZADANIA 14.2, punkt d)

Wersja 1: wydruk oryginalny, program Statgraphics 5:

Tail Area Probabilities

Distributions available:

(1) Bernoulli (7) Beta (13) Lognormal

(2) Binomial (8) Chi-square (14) Normal

(3) Discrete uniform (9) Erlang (15) Student's t

(4) Geometric (10) Exponential (16) Triangular

(5) Negative binomial (11) F (17) Uniform

(6) Poisson (12) Gamma (18) Weibull

Distribution number: 8

Degrees of freedom: 8

Area at or below 11 = 0,798301

Wersja 2: wydruk skrócony i fragmentami przetłumaczony na język polski, program Statgraphics 5:

(Wartości dystrybuanty rozkładu) Tail Area Probabilities

Distribution number: 8 (Numer dystrybuanty: 8 - rozkład chi-kwadrat)

Degrees of freedom: 8 (stopnie swobody v : 8)

P(
)

Area at or below 11 = 0,798301

ZADANIE 14.3

Powstałe w bieżącym roku Stowarzyszenie Abstynentów Telewizyjnych zleciło statystykowi badanie, którego celem było oszacowanie średniego czasu spędzanego przed telewizorami w dni powszednie przez osoby dorosłe. Czas oglądania telewizji (w godzinach) zaobserwowany wśród sąsiadów prowadzącego badanie był następujący: 2, 5, 4, 1, 3, 4, 1, 3, 4. Na ich podstawie obliczono między innymi granice przedziału ufności dla średniego czasu oglądania (w godzinach): (1,418; 4,582) oraz dla wariancji czasu oglądania (w godz².): (0,7288; 11,9029).

a) Jakie współczynniki ufności przyjęto przy przedziałowej estymacji średniego czasu oglądania i wariancji czasu oglądania telewizji w dni powszednie przez osoby dorosłe?

b) Gdyby ponownie przedziałowo oszacować średni czas oglądania i wariancję czasu oglądania przy współczynniku ufności 0,96, wówczas jakiej relacji (równości, mniejszości, większości) można oczekiwać między długościami obu przedziałów ufności?

c) Jaki jest wynik weryfikacji hipotezy mówiącej, że średni czas oglądania telewizji w dni powszednie w populacji osób dorosłych wynosi 4 godziny?

d) Jakie zastrzeżenia można sformułować wobec tak przeprowadzonego badania?

ZAŁĄCZNIKI DO ZADANIA 14.3, punkt a)

Wersja 1: wydruk oryginalny, program Statgraphics 5:

One-Sample Analysis Results

2 5 4 1 3 4 1 3 4

Sample Statistics: Number of Obs. 9

Average 3

Variance 2

Std. Deviation 1,41421

Median 3

Confidence Interval for Mean: 99 Percent

Sample 1 1,41788 4,58212 8 D.F.

Confidence Interval for Variance: 99 Percent

Sample 1 0,728765 11,9029 8 D.F.

Hypothesis Test for H₀: Mean = 4 Computed t statistic = -2,12132

vs Alt: NE Sig. Level = 0,066688

at Alpha = 0,05 so do not reject H₀.

Wersja 2: wydruk skrócony i fragmentami przetłumaczony na język polski, program Statgraphics 5:

(Wyniki analizy jednej próby) One-Sample Analysis Resultates

2 5 4 1 3 4 1 3 4

Sample Statistics: (n) Number of Obs. 9

(średnia arytmetyczna) Average 3

(wariancja) Variance 2

(odchylenie standardowe) Std. Deviation 1,41421

Median 3

Confidence Interval for Mean: 99 Percent (procent)

(przedział ufnoSci dla sredniej) 1,41788 4,58212 8 D.F.

Confidence Interval for Variance: 99 Percent (procent)

(przedział ufnoSci dla wariancji) 0,728765 11,9029 8 D.F.

ZAŁĄCZNIKI DO ZADANIA 14.3, punkt b) i punkt c)

Wersja 1: wydruk oryginalny, program Statgraphics 5:

One-Sample Analysis Results

2 5 4 1 3 4 1 3 4

Sample Statistics: Number of Obs. 9

Average 3

Variance 2

Std. Deviation 1,41421

Median 3

Confidence Interval for Mean: 96 Percent

Sample 1 1,84522 4,15478 8 D.F.

Confidence Interval for Variance: 96 Percent

Sample 1 0,880658 7,87306 8 D.F.

Hypothesis Test for H₀: Mean = 4 Computed t statistic = -2,12132

vs Alt: NE Sig. Level = 0,066688

at Alpha = 0,05 so do not reject H₀.

Wersja 2: wydruk skrócony i fragmentami przetłumaczony na język polski, program Statgraphics 5:

(Wyniki analizy jednej próby) One-Sample Analysis Resultates

2 5 4 1 3 4 1 3 4

Sample Statistics: (n) Number of Obs. 9

(średnia arytmetyczna) Average 3

(wariancja) Variance 2

(odchylenie standardowe) Std. Deviation 1,41421

Median 3

Confidence Interval for Mean: 96 Percent (procent)

(przedział ufności dla średniej) 1,84522 4,15478 8 D.F.

Confidence Interval for Variance: 96 Percent (procent)

(przedział ufności dla wariancji) 0,880658 7,87306 8 D.F.

Wersja 2: wydruk skrócony i fragmentami przetłumaczony na język polski, program Statgraphics 5:

Hypothesis Test for H₀ : Mean = 4 Computed t statistic = -2,12132

(Test dotyczący hipotezy H₀ : m = 4 ) (obliczona statystyka t)

(wobec alternatywy:) vs Alt: NE (Not-nie, Equal-równy) Sig. Level = 0,066688

(znaczący poziom istotności)

(przy poziomie istotności α) at Alpha = 0,05 so do not reject H₀.

(nie ma podstaw do odrzucenia

hipotezy sprawdzanej H₀)

Zadanie 14.4

Czy członkowie Partii Upartych mogą się cieszyć ze wzrostu w społeczeństwie frakcji swoich zwolenników, jeżeli w losowej próbie liczącej 1200 osób było ich w roku bieżącym 108, a w roku ubiegłym w tak samo licznej, niezależnej próbie znalazły się 84 osoby popierające tę partię?

Przy jakiej różnicy między liczbą zwolenników z obu 1200 elementowych prób podjęta wyżej, przy wybranym poziomie istotności, decyzja weryfikacyjna uległaby zmianie (bez zmiany poziomu istotności)?

Zadanie 14.5

Trzy konkurujące ze sobą firmy farmaceutyczne wyprodukowały leki przeciwbólowe o podobnym przeznaczeniu. Zakładamy, że czas działania leku jest zmienną losową o rozkładzie normalnym. Czasy działania leków o porównywalnych dawkach były dla losowo wybranych pacjentów następujące (w godz.):

Firma A (1): 8, 11, 12, 9,

Firma B (2): 8, 6, 4, 7, 5,

Firma C (3): 10, 8, 9.

a) Jakie znaczenie dla oceny jakości leków ma stwierdzenie, iż zróżnicowanie czasów działania poszczególnych leków jest:

1) niewielkie dla różnych leków, 2) jednakowe dla różnych leków?

b) Jakie wartości parametrów m i σ są wyrazem sukcesu firmy?

c) Czy zróżnicowanie czasu działania poszczególnych leków jest istotnie różne?

d) Której firmy lek ma istotnie dłuższą wartość średnią czasu działania?

(Na pytania punktu c) i d) proszę odpowiedzieć na podstawie parami porównywanych firm).

ZAŁĄCZNIKI DO ZADANIA 14.5, punkt d)

Wersja 1: wydruk oryginalny, program Statgraphics 5:

Firma 1 i firma 2

Two-Sample Analysis Results

8 11 12 9 8 6 4 7 5 Pooled

Sample Statistics: Number of Obs. 4 5 9

Average 10 6 7,77778

Variance 3,33333 2,5 2,85714

Std. Deviation 1,82574 1,58114 1,69031

Median 10 6 8

Difference between Means = 4

Conf. Interval For Diff. in Means: 95 Percent

(Equal Vars.) Sample 1 - Sample 2 1,31799 6,68201 7 D.F.

(Unequal Vars.) Sample 1 - Sample 2 1,17904 6,82096 6,0 D.F.

Ratio of Variances = 1,33333

Conf. Interval for Ratio of Variances: 95 Percent

Sample 1 - Sample 2 0,133609 20,1361 3 4 D.F. Hypothesis Test for H₀: Diff = 0 Computed t statistic = 3,52767

vs Alt: GT Sig. Level = 4,81396E-3

at Alpha = 0,05 so reject H₀.

Wersja 2: wydruk skrócony i fragmentami przetłumaczony na język polski, program Statgraphics 5:

Hypothesis Test for H₀: Diff = 0 Computed t statistic = 3,52767

(Test dotyczący hipotezy:) H₀: m₁ - m₂ = 0 (obliczona statystyka t)

(wobec alternatywy:) vs Alt: GT (G n Greater, T - Then) Sig. Level = 4,1396E-3

(znaczący poziom istotności)

(przy poziomie istotności α) at Alpha = 0,05 so reject H₀.

(odrzucamy hipotezę sprawdzaną H₀)

Wersja 1: wydruk oryginalny, program Statgraphics 5:

Firma 1 i firma 3

Two-Sample Analysis Results

8 11 12 9 10 8 9 Pooled

Sample Statistics: Number of Obs. 4 3 7

Average 10 9 9,57143

Variance 3,33333 1 2,4

Std. Deviation 1,82574 1 1,54919

Median 10 9 9

Difference between Means = 1

Conf. Interval For Diff. in Means: 95 Percent

(Equal Vars.) Sample 1 - Sample 2 -2,04254 4,04254 5 D.F.

(Unequal Vars.) Sample 1 - Sample 2 -1,82355 3,82355 4.7 D.F.

Ratio of Variances = 3,33333

Conf. Interval for Ratio of Variances: 95 Percent

Sample 1 - Sample 2 0,0851089 53,481 3 2 D.F.

Hypothesis Test for H₀: Diff = 0 Computed t statistic = 0,845154

vs Alt: GT Sig. Level = 0,218294

at Alpha = 0,05 so do not reject H₀.

Wersja 2: wydruk skrócony i fragmentami przetłumaczony na język polski, program Statgraphics 5:

Hypothesis Test for H₀: Diff = 0 Computed t statistic = 0,845154

(Test dotyczący hipotezy:) H₀: m₁ - m₂ = 0 (obliczona statystyka t)

(wobec alternatywy:) vs Alt: GT (G - Greater, T - Then) Sig. Level = 0,218294

(znaczący poziom istotności)

(przy poziomie istotności α) at Alpha = 0,05 so do not reject H₀.

(nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy sprawdzanej H₀)

Wersja 1: wydruk oryginalny, program statgraphics 5:

Firma nr 3 i firma nr 2

Two-Sample Analysis Results

10 8 9 8 6 4 7 5 Pooled

Sample Statistics: Number of Obs. 3 5 8

Average 9 6 7,125

Variance 1 2,5 2

Std. Deviation 1 1,58114 1,41421

Median 9 6 7,5

Difference between Means = 3

Conf. Interval For Diff. in Means: 95 Percent

(Equal Vars.) Sample 1 - Sample 2 0,472074 5,52793 6 D.F.

(Unequal Vars.) Sample 1 - Sample 2 0,754727 5,24527 5,9 D.F.

Ratio of Variances = 0.4

Conf. Interval for Ratio of Variances: 95 Percent

Sample 1 - Sample 2 0,0375596 15,6994 2 4 D.F.

Hypothesis Test for H₀: Diff = 0 Computed t statistic = 2,90474

vs Alt: GT Sig. Level = 0,0135831

at Alpha = 0,05 so reject H₀.

Wersja 2: wydruk skrócony i fragmentami przetłumaczony na język polski, program Statgraphics 5:

Hypothesis Test for H0: Diff = 0 Computed t statistic = 2,90474

(Test dotyczący hipotezy:) H₀: m₁ - m₂ = 0 (obliczona statystyka t)

(wobec alternatywy:) vs Alt: GT (G - Greater, T - Then) Sig. Level = 0,0135831

(znaczący poziom istotności)

(przy poziomie istotności α) at Alpha = 0,05 so reject H₀.

(odrzucamy hipotezę sprawdzaną H₀)

Zadanie 14.6

Z badań wynika, że iloraz inteligencji jest zmienną losową o rozkładzie normalnym, a populacje ludzkie różnią się jedynie parametrami tego rozkładu. W celu sprawdzenia tej hipotezy wylosowano i zbadano 150 uczniów szkół podstawowych, których średnia arytmetyczna ilorazu inteligencji wyniosła 111,23 punkta a odchylenie standardowe 19,3814 punkta. Pozostałe dane zamieszczono niżej:

Liczebności empiryczne	8	35	54	44	9
Liczebności teoretyczne	8	34	59	39	10

Proszę zweryfikować hipotezę o zgodności rozkładu z normalnym.

Proszę podać poziom istotności, przy którym podjęta wyżej decyzja weryfikacyjna mogłaby ulec zmianie.

ZAŁĄCZNIKI DO ZADANIA 14.6

Wersja 1: wydruk oryginalny, program Statgraphics 5:

Chisquare Test

Lower Limit	Upper Limit	Observed Frequency	Expected Frequency	Chisquare
at or below 80000 100000 120000 above 140000	80000 100000 120000 140000	8 35 54 44 9	8,0 34,1 59,0 38,5 10,3	.000135 .021677 .425224 .788557 .170619

Chisquare = 1,40621 with 2 d.f. Sig. level = 0,495045

Wersja 2: wydruk skrócony i fragmentami przetłumaczony na język polski, program Statgraphics 5:

Chisquare Test (Test chi-kwadrat)

(Dolna granica) Lower Limit	(Górna granica) Upper Limit	Observed Frequency (liczebności obserwowane)	Expected Frequency (liczebności oczekiwane)	(Chi-kwadrat) Chisquare
at or below (≤) 80000 100000 120000 above (>) 140000	80000 100000 120000 140000	8 35 54 44 9	8,0 34,1 59,0 38,5 10,3	.000135 .021677 .425224 .788557 .170619

(Chi - kwadrat) Chisquare = 1,40621 (z 2 stopniami swobody) with 2 d.f. Sig.level = 0,495045 (znaczący poziom istotności)

Zadanie 14.7

Trzy konkurujące ze sobą firmy farmaceutyczne wyprodukowały leki przeciwbólowe o podobnym przeznaczeniu. Zakładamy, że czas działania leku jest zmienną losową o rozkładzie normalnym. Natomiast czasy działania leków o porównywalnych dawkach były dla losowo wybranych pacjentów następujące (w godz):

Firma A (1): 8, 11, 12, 9,

Firma B (2): 8, 6, 4, 7, 5,

Firma C (3): 10, 8, 9.

Czy czynnik, pochodzenie leku, różnicuje średnią długość czasu działania leku przeciwbólowego w statystycznie znaczący sposób?

ZAŁĄCZNIKI DO ZADANIA 14.7

Wersja 1: wydruk oryginalny, program Statgraphics 5:

Firma 1, firma 2 i firma 3

One-Way Analysis of Variance

Data: 8 11 12 9 8 6 4 7 5 10 8 9

Level codes: 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3

Labels:

Means plot: Conf. Int. Confidence level: 95 Range test: LSD

Analysis of variance

Source of variation Sum of Squares d.f. Mean square F-ratio Sig. level

Between groups 38,916667 2 19,458333 7,960 .0102

Within groups 22,000000 9 2,444444

Total (corrected) 60,916667 11

0 missing value(s) have been excluded.

Wersja 2: wydruk skrócony i fragmentami przetłumaczony na język polski, program Statgraphics 5:

(Analiza wariancji z klasyfikacją pojedynczą) One-Way Analysis of Variance

Data (dane dotyczące zmiennej zależnej): 8 11 12 9 8 6 4 7 5 10 8 9

Level codes (dane dotyczące poziomów czynnika): 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3

Source of variation Sum of Squares d.f. Mean square F-ratio Sig.level

(Źródło (Suma kwadratów) (stopnie F_obl.

zróżnicowania) swobody)

Between groups 38,916667 2 19,458333 7,960 .0102

(międzygrupowe)

Within groups 22,000000 9 2,444444

(wewnątrzgrupowe)

Total (corrected) 60,916667 11

(ogólne)

Zadanie 14.8

Na podstawie informacji o wartościach księgowych i rynkowych 117 spółek rynku podstawowego w IV kwartale 1998 roku ("Rynek Giełdowy" nr 4/1998) oszacowano, metodą najmniejszych kwadratów, parametry liniowego modelu regresji wartości rynkowych spółek względem ich wartości księgowych otrzymując:

y_i = 2,128 x_i - 228,411 + e_i, r² = 0,8499, i = 1,..., 117.

[0,083] [86,483] [875,785]

a) Proszę zweryfikować hipotezę o braku wpływu wartości księgowych spółek na ich wartości rynkowe.

b) Proszę podać poziom istotności, przy którym podjęta wyżej decyzja weryfikacyjna może ulec zmianie.

c) Proszę zinterpretować odchylenie standardowe składnika resztowego oraz współczynnik determinacji.

ZAŁĄCZNIK DO ZADANIA 14.8

Wersja 1: wydruk oryginalny, program Statgraphics 5:

Regression Analysis - Linear model: Y = a x + b

Dependent variable: RPSPKWLA.swrrp4kw98 Independent variable: RPSPKWLA.wksrp4kw9

Standard T Prob.

Parameter Estimate Error Value Level

Intercept -228,411 86,4834 -2,6411 .00941

Slope 2,12758 0,083368 25,5203 .00000

Analysis of Variance

Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio Prob. Level

Model 4,9954E0008 1 4,9954E0008 6,513E0002 .00000

Residual 88204957 115 767000

Total (Corr.) 5,8774E0008 116

Correlation Coefficient = 0,921914 R-squared = 84,99 percent

Stnd. Error of Est. = 875785

Zadanie 14.9

W koszyku "Polityki" (z 9 stycznia 1999 roku) podano informacje o cenie fiata 126p w latach 1989-1998, w złotych (PLN): 1200, 2600, 3290, 4510, 6170, 8000, 9750, 11410, 12900, 10800.

Przyjmując t = 1,..., n; oszacowano, metodą najmniejszych kwadratów, współczynnik trendu, który wyniósł 1313,03 zł/rok i obliczono współczynnik determinacji, którego wartość wyniosła 0,943.

a) Proszę zapisać i wykreślić (naszkicować) funkcję trendu liniowego.

b) Proszę podać prognozę ceny fiata 126p na rok 2000, proszę podać średni błąd prognozy i przedział ufności prognozy wiedząc, że dla t = 1,..., n; mamy:
 = 8 640 002,4 (zł)².

ZAŁĄCZNIK DO ZADANIA 14.9

Wersja 1: wydruk oryginalny, program Statgraphics 5:

Regression Analysis - Linear model: Y = a t + b

Dependent variable: KPOLITYK.CenaFiata Independent variable: 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Standard T Prob.

Parameter Estimate Error Value Level

Intercept -158,667 709,93 -0,223496 .82875

Slope 1313,03 114,416 11,476 .00000

Analysis of Variance

Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio Prob. Level

Model 1,4223E0008 1 1,4223E0008 1,317E0002 .00000

Residual 8640002,4 8 1080000,3

Total (Corr.) 1,5087E0008 9

Correlation Coefficient = 0,970945 R-squared = 94,27 percent

Stnd. Error of Est. = 1039,23

Zadanie 14.10

Półroczne zmiany indeksu giełdowego WIG w latach 1991-1998 opisane są następującym modelem trendu liniowego (t = 1,..., n):

y_t = 1080,92 t - 598,05 + e_t, r² = 0,8119.

[139,06] [1344,66] [2564,16]

Statystyka Durbina-Watsona: d = 1,637.

a) Proszę zweryfikować hipotezę o braku korelacji (pierwszego rzędu) między składnikami losowymi modelu trendu liniowego indeksu WIG w półroczach lat 1991-1998.

b) Proszę zbudować przedział ufności dla współczynnika trendu.

ZAŁĄCZNIKI DO ZADANIA 14.10, punkt a)

Wersja 1: wydruk oryginalny, program Statgraphics 5:

Model fitting results for: WIGPKW98.WIGp91_8

Independent variable coefficient std. error t-value sig.level

CONSTANT -598,05 1344,658085 -0,4448 0,6633

ZC91DO98.t1_16 1080,925 139,061229 7,7730 0,0000

R-SQ. (ADJ.) = 0,7984 SE = 2564,162358 MAE = 1760,615625 DurbWat = 1,637

Wersja 2: wydruk skrócony i fragmentami przetłumaczony na język polski, program Statgraphics 5:

(Wyniki estymacji modelu dla zmiennej:) Model fitting results for: WIGPKW98.WIGp91_8

Independent variable coefficient std. error t-value sig.level

(zmienna niezależna) (współczynnik) (błąd standardowy) (wartość t) (znaczący po-

ziom istotności)

CONSTANT -598,05 1344,658085 -0,4448 0,6633

(wyraz wolny)

ZC91DO98.t1_16 1080,925 139,061229 7,7730 0,0000

(współczynnik trendu) 

R-SQ. (ADJ.) = 0,7984 SE = 2564,162358 MAE = 1760,615625 DurbWat = 1,637

(R - skorygowane) (błąd standardowy) (statystyka Durbina-Watsona)

ZAŁĄCZNIKI DO ZADANIA 14.10, punkt b)

Wersja 1: wydruk oryginalny, program Statgraphics 5:

95 percent confidence intervals for coefficient estimates

Estimate Standard error Lower Limit Upper Limit

CONSTANT -598,05 1344,66 -3482,780 2286,68

ZC91DO98.t1_16 1080,92 139,061 782,593 1379,26

Wersja 2: wydruk skrócony i fragmentami przetłumaczony na język polski, program Statgraphics 5:

95 percent confidence intervals for coefficient estimates (95% przedziały ufności estymowanych współczynników)

Estimate Standard error Lower Limit Upper Limit

(ocena) (błąd stan- (dolna granica) (górna granica)

dardowy)

CONSTANT -598,050 1344,66 -3482,78 2286,68

(wyraz wolny)

ZC91DO98.t1_16 1080,92 139,061 782,593 1379,26

(współczynnik trendu) 

---