WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

LABORATORIUM FIZYCZNE

Grupa szkoleniowa: E5D11 Podgrupa: 3 Prowadzący: dr inż. J.Raczyńska

Łukasz Madej Ocena z przygotowania Ocena końcowa:

do ćwiczeń:..................... ...........................

Sprawozdanie z Pracy Laboratoryjnej nr 1

Temat pracy: Rozkład normalny

I. Wstęp teoretyczny

Układy fizyczne, złożone z wielu identycznych elementów, które mogą przyjmować dwa lub więcej stanów w sposób niezależny to zespoły statystyczne. Do opisu takich zespołów stosujemy procedury zwane rozkładami statystycznymi. Pozwalają one określić prawdopodobieństwo wystąpienia danej sytuacji w zespole.

1. Rozkład dwumienny

p - prawdopodobieństwo wystąpienia jednej sytuacji

q - prawdopodobieństwo wystąpienia drugiej sytuacji

n - ilość elementów pierwszej sytuacji

N - liczba wszystkich elementów obu sytuacji

P(n) - prawdopodobieństwo, że n spośród N

Dwie sytuacje wyczerpują wszystkie istniejące możliwości, więc: p + q = 1

Funkcja P(n) jest funkcją dyskretną (skokową), a nie ciągłą oraz występuje tzw. warunek normalizacji, który mówi, że suma wszystkich możliwych prawdopodobieństw jest równa jedności:

2. Rozkład normalny ( Gaussa )

- wartość średnia określona wzorem:

- tzw. odchylenie standardowe:

Rozkład Gaussa obowiązuje w sąsiedztwie
, gdy n są bliskie
. Realny rozkład naturalny ma strukturę ziarnistą, ale często dla ułatwienia przyjmuję się, że jest funkcją ciągłą.

Odległość między dwoma punktami przecięcia wynosi
. Położenia tych punktów są symetryczne względem położenia maksimum i wynoszą:
,
,

Prawdopodobieństwo że badana wielkość n przyjmuje wartości zawarte w aktualnie interesującym nas przedziale wartości odpowiada polu zawartemu pod ciągłym rozkładem Gaussa, odciętym granicami n_a i n_b. Prawdopodobieństwo ,że n znajdzie się w przedziale (
,
) wynosi 0,683. Rozkład normalny dobrze opisuje występowanie błędów przypadkowych w doświadczeniu fizycznym.

Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia jest otrzymanie eksperymentalnego rozkładu ciągłego i wyznaczenie parametrów rozkładu.

II. Opracowanie wyników pomiarów

Tabela pomiarowa:

Numer przegrody (ni)	Suma kulek (xn)	Punkty Simpsona			Numer przegrody (ni)	Suma kulek (xn)	Punkty Simpsona
1	2				27	25	26
2	0	0,5			28	22	20,25
3	0	0,25			29	12	17,25
4	1	0,75			30	23	17,25
5	1	2			31	11	12,5
6	5	5			32	5	7
7	9	7,25			33	7	6
8	6	8,5			34	5	4,75
9	13	11,75			35	2	3,25
10	15	14,75			36	4	3,25
11	16	15,5			37	3	2,75
12	15	19,5			38	1	1,5
13	32	26,75			39	1	0,75
14	28	34,75			40	0
15	51	44,5
16	48	51,5
17	59	56,75
18	61	60,75
19	62	59,5
20	53	59,5
21	70	62,5
22	57	56
23	40	47,25
24	52	53,75
25	71	56,5
26	32	40

1. Schodkowy histogram zależności ilości kulek od numeru przedziału.

(Załącznik nr1 )

2. Obliczenie z zależności Simpsona punktów pomocniczych.

Obliczam kolejne punkty Simpsona korzystając ze wzoru:

Wyznaczmy kilka przykładowych punktów:

Wszystkie punkty Simpsona zamieszczone są w tabeli pomiarowej.

3. Ciągły wykres rozkładu normalny (Załącznik nr 2)

4. Wyznaczenie parametrów rozkładu
i wszystkimi metodami.

4.1 Obliczenie średniej:

• ze wzoru:

n_i - numer przegrody

x_n - suma kulek w poszczególnych przegrodach

N - liczba wszystkich kulek

• odczytana z wykresu:

• średnia wartość:

4.2 Obliczenie odchylenia standardowego:

• ze wzoru:

• odczytana z wykresu:

• z analizy danych:

Korzystam z pomocniczego wykresu:
(Załącznik nr 3)

• wartość średnia:

5. Obliczenie bezwzględnej i względnej ilości kulek w przedziałach.

Wartość bezwzględna: 343 Wartość względna:

• 
  przedział 18 - 23; liczba kul: 343; 37%

• 
  
  przedział 17 - 24; liczba kul: 454; 49%

• 
  przedział 14 - 27; liczba kul: 709; 77%

• przedział 11 - 30; liczba kul: 829; 90%

III. Wnioski

W wyniku doświadczenia udowodniliśmy, że nastąpił rozkład normalny, jednakże od typowego przypadku teoretycznego odbiega on w dużym stopniu. Na podstawie histogramu możemy zauważyć, że najwięcej kul wpadło do przegrody nr 25 (71 kul), ale również 70 kul wpadło do przegrody nr 21. Biorąc pod uwagę ogólną postać histogramu oraz rozkład punktów Simpsona, właśnie tę wartość uznajemy za średnią wartość odczytaną z wykresu. Taka dużą rozbieżność nastąpiła pod wpływem wielu błędów, które zostały spowodowane przez:

• geometrię równi (lekkie przekrzywienia mają wpływ na wpadanie kul do poszczególnych przedziałów),

• rozmiary przegród były mniejsze od rozmiarów kulek, w wyniku czego kulka blokowała się w przegrodzie przez co kolejne kule nie mogły wpadać do wyznaczonej statystycznie przegrody.

• zbyt mała liczba powtórzeń. Prawdopodobnie przy coraz większej liczbie powtórzeń wartości zbliżałyby się to typowych wielkości teoretycznych.

Prawdopodobieństwa wystąpienia kul w poszczególnych przedziałach jak można było się spodziewać także nie zgadzały się z wartościami teoretycznymi. Z pewnością dodatkowo przyczyniły się do tego duże rozbieżności w wartościach odchylenia standardowego wyznaczanego różnymi metodami.

Podsumowując, mimo iż doświadczenie było przeprowadzane przez studentów z dużą dokładnością nie udało się uniknąć błędów, które spowodowały w eksperymencie właśnie takie duże rozbieżności.

---