Zadanie 1.

Rozpatruje się warstwę wody o grubości h_o, zalegająca między dwoma poziomymi równoległymi płytami, z których dolna jest nieruchoma. Pod wpływem lepkości płynu i ruchu górnej płyty ze stałą prędkością równą u_o następuje przepływ cieczy. Nad wodą panuje stałe ciśnienie atmosferyczne p_o. Gęstość płynu jest stała, płyta górna jest nieważka. Wyznaczyć profil prędkości i ciśnienia w ustalonym ruchu laminarnym.

Zadanie 2.

Warstewka cieczy o grubości d płynie pod wpływem siły ciężkości po płaszczyźnie nachylonej do poziomu pod kątem α. Lustro wody znajduje się w przestrzeniu otwartej. Określić prędkość cieczy przy założeniu, że przepływ jest ustalony i laminarny.

Zadanie 3.

Pod wpływem gradientu ciśnienia lepki płyn nieściśliwy przepływa między dwoma nieruchomymi równoległymi poziomymi płytami, odległymi od siebie o 2h_o i rozciągającymi się w nieskończoność. Gradient ciśnienia jest stały i równoległy do powierzchni płyt. Określić pole prędkości, strumień objętości i średnią prędkość płynu gdy przepływ jest ustalony a siły masowe są równe zeru:

Zadanie 4.

Określić pole prędkości dla danych poprzedniego zadania (zad. 3) w przypadku, gdy górna powierzchnia jest unoszona z prędkością u_o w kierunku (a) ruchu płynu oraz w kierunku (b) przeciwnym.

Zadanie 5.

Określić naprężenia styczne przepływów rozpatrywanych w dwóch poprzednich zadaniach (zad. 3 i 4) dla wartości współrzędnych y = h_o, y = - h_o, y = 0.

Zadanie 6.

Określić profil prędkości w ustalonym laminarnym przepływie lepkiego płynu nieściśliwego w poziomej rurze o przekroju kołowym o promieniu r_o. Pominąć siły masowe. Przyjąć, że ruch płynu odbywa się pod wpływem stałego gradientu ciśnienia, skierowanego wzdłuż osi rury s, o zwrocie przeciwnym do wektora prędkości.

Zadanie 7.

Opierając się na wzorze Hagena-Poiseuille'a podać zależność na współczynnik strat liniowych λ w ruchu laminarnym w przewodzie o przekroju kołowym.

Zadanie 8.

Przez poziomą rurkę o średnicy d = 4 mm płynie ciecz o gęstości ρ = 1000 kg/m³. Strumień objętości jest równy
Różnica wysokości w pionowych rurkach piezometrycznych na długości rurki 1 m wynosi 82 mm. Obliczyć dynamiczny współczynnik lepkości cieczy.

Zadanie 9.

Przez gładki przewód o średnicy d = 4 cm przepływa woda o temperaturze T_w = 10 ^oC z prędkością średnią v_sr = 1.5 m/s. Określić rodzaj przepływu, spadek hydrauliczny i naprężenie styczne przy ściance przewodu.

Zadanie 10.

Naprężenie styczne na wewnętrznej powierzchni rurociągu o średnicy d = 0.1 m, którym płynie woda, wynosi
Obliczyć spadek hydrauliczny.

Zadanie 11.

Szczelnie dopasowany do ścianek zbiornika kwadratowy właz o boku 1 m i dwóch krawędziach poziomych jest nachylony do poziomu pod kątem ၡ = 60 ^o (rys.). Środek geometryczny powierzchni włazu znajduje się na głębokości h_o = 8 m poniżej poziomy wody. Gęstość wody wynosi 1000 kg/m³. Na powierzchnię swobodną wody działa ciśnienie atmosferyczne p_a = 10⁵ Pa. Wyznaczyć wielkość naporu hydrostatycznego i głębokość zanurzenia środka parcia.

Zadanie12.

Temperatura powietrza w troposferze, czyli w dolnej warstwie atmosfery sięgającej do wysokości około 11 km, maleje z wysokością w przybliżeniu liniowo:

gdzie
0.00492 ^oC/m.

Zakładając, że powietrze jest gazem doskonałym podać związek między wysokością z a temperaturą T i ciśnieniem powietrza p w stanie statycznym. Określić temperaturę na wysokości 5 000 m jeśli temperatura powietrza na poziomie morza wynosi + 10 ^oC.

Startując z wysokości z_o = + 320 m pilot balonu odczytał ciśnienie p_o = 0.9873
Pa i temperaturę T_o = 300 K. Określić na jakiej wysokości znajduje się kosz balonu w chwili gdy odczytane ciśnienie wynosi p₁ = 0.9640
Pa.

Zadanie13.

Zbiornik o długości l i wysokości h, wypełniony wodą do poziomu h_w < h porusza się na poziomym odcinku drogi z przyśpieszeniem
. Przekrój poziomy zbiornika ma kształt prostokątny, a dwie krawędzie są równoległe do kierunku ruchu. Określić położenie powierzchni swobodnej wody i podać rozkład ciśnienia jeśli: l = 10 m, g = 9.81 m/s², a = 1 m/s² (rys.)

Zadanie14.

Cylindryczny zbiornik wypełniony cieczą wiruje dokoła pionowej osi ze stałą prędkością kątową ၷ (rys.). Wyznaczyć kształt powierzchni swobodnej cieczy oraz podać rozkład ciśnienia.

Zadanie15.

Obliczyć napór hydrostatyczny wody na prostokątną pionową ściankę zbiornika oraz moment siły naporu względem linii AB. Szerokość ścianki wynosi L = 2 m, wysokość H_o = 3 m. Poziom wody sięga górnej krawędzi zbiornika.

Zadanie16:

W wodzie znajduje się sześcienna bryła o krawędzi a = 2 m. Głębokość zanurzenia powierzchni górnej ścianki, która zalega poziomo, wynosi h₁ = 20 m. Ciśnienie atmosferyczne na wysokości lustra wody jest równe p_o = 1.02Ⴔ10⁵ Pa. Gęstość wody wynosi
= 1000 kg/m³. Obliczyć siłę wyporu W działającą na ciało.

Zadanie17.

Określić napór hydrostatyczny oraz głębokość jego środka dla pionowej ściany o kształcie trójkąta prostokątnego obciążonej parciem wody. Przyprostokątna a jest położona poziomo oraz nachylonej do poziomu pod kątem
drugiej przyprostokątnej b. Współrzędna pozioma x, pionowa zwrócona w dół h, prostopadła do x i leżąca w płaszczyźnie trójkąta y. Bok a trójkąta zanurzony jest do współrzędnej y_o. Przeprowadzić obliczenia dla danych: a = 2 m, b = 3 m,
= 30 ^o, y_o = 3 m

Zadanie18.

Określić wartość naporu hydrostatycznego oraz głębokość jego środka dla pionowej kołowej ściany o średnicy D (rys.). Współrzędną poziomą oznacza się przez x, pionową zwrócą w dół h. Środek koła znajduje się na głębokości H.

Zadanie19.

Sprawdzić czy płyn nieściśliwy, będący pod działaniem jednostkowej siły masowej:

a)
,

b)

jest w stanie równowagi.

Zadanie20.

Określić siłę i współrzędne środka naporu przyłożenia na pionowej płaskiej ściance ograniczonej parabolą (rys.). Gęstość cieczy jest stała
const.

Zadanie21.

W cieczy o gęstości
pływa jednorodne ciało o objętości V_o i gęstości
Obliczyć objętość V_n części ciała znajdującej się nad lustrem cieczy.

Zadanie22.

W łódce o długości L i trójkątnym przekroju poprzecznym płynie ładunek o masie (brutto- łącznie z łódką) m = 2 000 kg. Obliczyć głębokość zanurzenia h jeśli przekrój jest trójkątem równobocznym a L = 10 m.

Zadanie23.

Z otwartego pionowego zbiornika o średnicy D = 4 m i wysokości h = 3 m wypływa woda przez kwadratowy otwór znajdujący się w dnie. Bok kwadratu jest równy a = 10 cm. Obliczyć czas opróżniania zbiornika, który w chwili początkowej był zapełniony wodą. Współczynnik zwężenia strugi wynosi ψ = 0.64.

Zadanie24.

Kulisty zbiornik jest całkowicie wypełniony wodą, która w chwili t = 0 zaczyna wypływać przez mały otwór o polu powierzchni F_o, znajdujący się w najniższym punkcie kuli. Obliczyć czas wypływu i porównać czasy wypływu z górnej i z dolnej półczaszy

Zadanie25.

Zbiornik walcowy o średnicy D = 2 m i wysokości H = 4 m wypełniony jest wodą do wysokoś-ci trzech metrów. W dnie znajduje się otwór kołowy o średnicy d = 5 cm, przez który woda wypływa na zewnątrz zbiornika. Jednocześnie zbiornik ten napełniany jest strumieniem wody
m³/s. Współczynnik zwężenia strugi wypływającej w dnie zbiornika jest równy ψ = 0.64. Obliczyć czas opróżniania zbiornika, określić przy jakiej średnicy otworu kołowego nastąpi wyrównanie wypływu w dnie z dopływem wody.

Zadanie26.

Promień wodzący elementu płynu poruszającego się w przestrzeni podany jest wzorem:

, gdzie a, b - stałe.

Znaleźć hodograf prędkości i przyśpieszenia.

Zadanie27.

Funkcja ϕ = x² - 2y² + z² podaje potencjał prędkości przepływu płynu. Wyznaczyć wektor prędkości, linie prądu i trajektorie elementów płynu.

Zadanie28.

Płaski ruch płynu opisany jest przez pole prędkości
, gdzie a, b, e - stałe.Wyznaczyć linie prądu i tory elementów płynu. Wyznaczyć linię prądu, która w chwili t_o przechodzi przez x_o, y_o. Podać równanie trajektorii elementu płynu przechodzącego w chwili t_o przez punkt x_o, y_o.

Zadanie29.

Składowe pola prędkości są równe: v_x = ay, v_y = - ax, v_z = b. Podać równanie linii prądu.

Zadanie30.

Ruch płynu opisuje pole prędkości:
.

a) Obliczyć lokalne położenie elementu płynu, który w chwili t = 2 znajdował się w punkcie: P(3, 4, -2)

b) Wyznaczyć przyśpieszenie tego elementu płynu.

Zadanie31.

Funkcja prądu w płaskim nieustalonym przepływie ma postać:

ψ(x,y,t) = 3xy² + (2 + t²)y

Wyznaczyć pole prędkości przepływu. Obliczyć prędkość i przyśpieszenie elementu płynu, który w chwili t = 0 zajmował położenie

Zadanie32.

Cylindryczny zbiornik wypełniony cieczą wiruje dokoła pionowej osi ze stała prędkością kątową ω. Określić kształt powierzchni swobodnej i wyznaczyć rozkład ciśnień.

Zadanie33.

Ustalony przepływ płynu opisują składowe wektora prędkości:

v_x = x², v_y = y², v_z = z².

Określić składowe wektora przyśpieszenia elementu płynu oraz obliczyć przyśpieszenie w punkcie P(1, 2, 3). Wyznaczyć linię prądu przechodzącą przez ten punkt.

Zadanie34.

Napisać równanie rodziny linii prądu w płaskim przepływie płynu:

Zadanie35.

Potencjał prędkości przepływu jest równy

5x - 4y. Wyznaczyć pole prędkości.

Zadanie36.

Określić przepływ opisany potencjałem zespolonym; f(z) = (a + ib)z, gdzie z = x + iy.

Wielkości a i b to stałe rzeczywiste.

Zadanie37

Swobodny strumień cieczy nieściśliwej napływa prostopadle na płaskie ciało stałe. Określić pole prędkości, linie prądy i trajektorie elementu płynu przyjmując, że przepływ jest ustalony i potencjalny, a potencjał prędkości podany wzorem:

Zadanie38.

Określić składowe prędkości w płaskim przepływie określonym potencjałem prędkości w(z) = kz, gdzie k jest liczbą zespoloną.

Zadanie39.

Pole prędkości przepływu płynu opisują składowe wektora prędkości:

v_x = ay, v_y = - ax, v_z = 0.

Podać równanie rodziny linii prądu.

Zadanie40.

Pole prędkości płynu określone jest składowymi:

v_x = ax + bt, v_y = - ay + bt, v_z = 0.

Wyznaczyć rodziny linii prądu i torów. Okreslić linię prądu i tor przechodzący przez punkt x = 1, y = 1 w chwili t = 0.

Zadanie41.

Przepływ laminarny i ustalony płynu nieściśliwego w rurze o kołowym przekroju poprzecznym opisuje wzór Hagena:

gdzie: v_max - prędkość maksymalna płynu w osi rury, m/s,

r_o - promień rury, m.

Wykazać, że prędkość średnia przepływu płynu jest równa połowie prędkości maksymalnej.

Zadanie42.

Reakcja chemiczna zachodzi w obszarze sześciennym o krawędzi 2 m. Jeden z wierzchołków sześcianu leży w początku układu współrzędnych, a krawędzie są równoległe do odpowiednich osi układu. Pole prędkości składnika uczestniczącego w reakcji chemicznej opisuje wektor prędkości:

Obliczyć strumień objętości składnika przepływający przez powierzchnię sześcianu.

Zadanie43.

Składowe prędkości płynu nieściśliwego wynoszą:

v_x = 3x+2, v_y = 2x+3x²

Wyznaczyć składową prędkości v_z.

Zadanie44.

Potencjał prędkości płaskiego przepływu podaje funkcja
Wyznaczyć składowe prędkości, funkcje prądu oraz naszkicować linie stałej wartości potencjału prędkości i linie stałej wartości funkcji prądu.

Zadanie45.

Udowodnij twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego.

---