Statystyka matematyczna - wzory, ŚCIĄGI Z RÓŻNYCH DZIEDZIN, Statystyka


STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Przez zmienną losową rozumiemy zmienną, która w wyniku doświadczenia może przyjąć wartość z pewnego zbioru liczb rzeczywistych i to z określonym prawdopodobieństwem.

Zmienną losową nazywamy każdą funkcję mierzalną określoną na przestrzeni zdarzeń elementarnych E i przybierającą wartość ze zbioru liczb rzeczywistych.

Zmienne skokowe:

Rozkład prawdopodobieństwa dla tej zmiennej:

0x01 graphic

xi - punkty skokowe

pi - skoki

Dystrybuanta zmiennej losowej X:

F(x) = P(X<x)

Dystrybuanta zmiennej skokowej:

0x01 graphic

Parametry rozkładu zmiennej losowej:

- parametry informujące o rozrzucie zmiennej losowej (wariancja)

-parametry reprezentujące przeciętną (średnią) wielkość zmiennej losowej (najczęściej Nadzieja matematyczna - Wartość oczekiwana EX)

Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X typu skokowego nazywamy liczbę E(X) określ. wzorem:

0x01 graphic

Wariancją zmiennej losowej typu skokowego nazywamy liczbę określoną wzorem:

0x01 graphic

lub

0x01 graphic

Pierwiastek kwadratowy z wariancji nosi nazwę odchylenia standardowego zm. losowej:

0x01 graphic

Zmienne ciągłe

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej X :

0x01 graphic

Prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową typu ciągłego wartości z przedziału (a,b):

0x01 graphic

Prawdopodobieństwo przyjęcia przez zm. los . typu ciągłego konkretnej wartości liczbowej:

0x01 graphic

Dystrybuanta dla zmiennej losowej typu ciągłego:

0x01 graphic

ze wzoru wynika zależność:

0x01 graphic

Wartość oczekiwana zmiennej losowej ciągłej:

0x01 graphic

Wariancja zmiennej losowej ciągłej:

0x01 graphic

Rozkład normalny (Gaussa - Laplace'a):

0x01 graphic

m = E(X)

0x01 graphic

e = 2,1718

Standaryzacja zmiennych losowych:

0x01 graphic

PODSTAWY TEORETYCZNE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ

Przedmiotem zainteresowań statystyki matem. są zasady i metody uogólniania wyników z próby losowej na całą populację generalną, z której ta próba została pobrana. Ten typ postępowania nosi nazwę wnioskowania statystycznego. W ramach wnioskowania statystycznego wyróżnia się dwa zasadnicze działy:

  1. estymację czyli szacowanie wartości parametrów lub postaci rozkładu zmiennej losowej w populacji generalnej, na podstawie rozkładu empirycznego uzyskanego dla próby

  2. weryfikację (testowanie) hipotez statystycznych, czyli sprawdzanie określonych przypuszczeń (założeń) wysuniętych w stosunku do parametrów (lub rozkładów) populacji generalnej na podstawie wyników z próby

Podstawowe rozkłady statystyk z próby:

Średnia arytmetyczna:

0x01 graphic

Wariancja z próby:

0x01 graphic

Rozkład średniej arytmetycznej z próby:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Średnia arytmetyczna z próby ma więc rozkład normalny ze średnią m i odchyleniem standardowym 0x01 graphic
, co zapisujemy jako 0x01 graphic
0x01 graphic
. Wynika stąd że nadzieja matematyczna średniej arytmetycznej z próby jest równa wartości oczekiwanej badanej zmiennej w populacji.

Standaryzacja (przekształcona statystyka 0x01 graphic
):

0x01 graphic
, N(0,1)

Studentyzacja (statystyka t studenta) - stosujemy ją gdy nieznane jest odchylenie standardowe w populacji i występują małe próby:

0x01 graphic

gdzie S jest odchyleniem standardowym z próby:

0x01 graphic

Liczba stopni swobody jest jedynym parametrem rozkładu Studenta; jest ona równa liczbie niezależnych obserwacji określających statystykę t. Przyjmuje się że E(t)=0 i 0x01 graphic
, dla n >3.

Rozkład wariancji z próby:

0x01 graphic
, to przy wnioskowaniu o wariancji 0x01 graphic
w populacji posługujemy się wzorem:

0x01 graphic
*

Statystyka ta ma rozkład Chi - kwadrat o n-1 stopniach swobody.

W sposób bardziej ogólny rozkład 0x01 graphic
definiuje się jako rozkład statystyki:

0x01 graphic

Statystyka * ma wartość oczekiwaną równą n-1 i wariancję 2(n-1) czyli:

0x01 graphic
oraz 0x01 graphic

Można też wyznaczyć wartość oczekiwaną oraz wariancję statystyki 0x01 graphic
z próby pochodzącej z populacji o rozkładzie normalnym:

0x01 graphic

0x01 graphic

Porównywanie wariancji: (rozkład Sanecora):

0x01 graphic
, w liczniku zawsze większa wariancja!!!

0x01 graphic

0x01 graphic

Estymator Z parametru Q nazywamy nieobciążonym jeżeli jego wartość oczekiwana jest równa szacowanemu parametrowi :

E(Z) = Q

ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA

0x01 graphic

0x01 graphic

lub

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic
odczytujemy z tablic

0x01 graphic

0x01 graphic

Dla wariancji wynik do kwadratu

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

Oszacowanie odsetka z uwzględnieniem błędu statystycznego d:

  1. gdy bazujemy na wynikach losowania:

0x01 graphic

  1. bez losowania wstępnego:
    0x01 graphic

Gdy nie mamy informacji ani o p ani o wskaźniku struktury 0x01 graphic
to w miejsce 0x01 graphic
wstawiamy 0,5.!!!!!

Praca pochodzi z serwisu www.e-sciagi.pl



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
statystyka-krótki rys historyczny (9 str), ŚCIĄGI Z RÓŻNYCH DZIEDZIN, Statystyka
podstawowe pojęcia statystyka, ŚCIĄGI Z RÓŻNYCH DZIEDZIN, Statystyka
statystyka - prawdopodobienstwo, ŚCIĄGI Z RÓŻNYCH DZIEDZIN, Statystyka
Statystyka - Zadanie TV, ŚCIĄGI Z RÓŻNYCH DZIEDZIN, Statystyka
statystyka.23, ŚCIĄGI Z RÓŻNYCH DZIEDZIN, Statystyka
STATYSTYKA - analiza korelacji i regresji, ŚCIĄGI Z RÓŻNYCH DZIEDZIN, Statystyka
STATYSTYKA - trend liniowy, ŚCIĄGI Z RÓŻNYCH DZIEDZIN, Statystyka
Statystyka - teoria, ŚCIĄGI Z RÓŻNYCH DZIEDZIN, Statystyka
statystyka-definicje (3 str), ŚCIĄGI Z RÓŻNYCH DZIEDZIN, Statystyka
statystyka 1, ŚCIĄGI Z RÓŻNYCH DZIEDZIN, Statystyka
STATYSTYKA - szereg czasowy, ŚCIĄGI Z RÓŻNYCH DZIEDZIN, Statystyka

więcej podobnych podstron