Statystyka - teoria i przyklady, Studia UE Katowice FiR, I stopień, semestr III, Statystyka


Wnioskowanie statystyczne to proces myślowy polegający na formułowaniu sądów o całości przy dysponowaniu o niej ograniczoną liczbą informacji.

Zmienna losowa skokowa i jej rozkład

Zmienną losową X jest wielkość, która przy zajściu każdego zdarzenia losowego ω przyjmuje konkretną wartość 0x01 graphic
, co można zapisać w sposób następujący:

0x01 graphic

Innymi słowy zmienna losowa X jest liczbową prezentacją wyniku doświadczenia losowego, a więc jej wartość zależna jest od przypadku.

Jeśli doświadczenie polega na kontroli jakości 20 komputerów wyprodukowanych przez producenta tych wyrobów, to zmienną losową X będzie liczba wadliwych komputerów, która może przyjąć wartości: od 0 do 20. Jeśli poszczególnym wartościom 0x01 graphic
przyporządkujemy prawdopodobieństwa realizacji tej zmiennej losowej oznaczonej przez 0x01 graphic
, wówczas otrzymamy rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej, przy czym: 0x01 graphic

Znać rozkład zmiennej losowej skokowej X to znać realizacje tej zmiennej, czyli 0x01 graphic
, oraz odpowiadające im prawdopodobieństwa 0x01 graphic
.Rozkład zmiennej losowej skokowej można przedstawić za pomocą funkcji prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej lub tablicy.

Przykładem zmiennej losowej skokowej jest wielkość popytu na określone dobro. Popyt zależy bowiem od wielu czynników, takich jak: ceny dobra, ceny innych dóbr (substytucyjnych), dochód do dyspozycji gospodarstwa domowego zgłaszającego popyt na to dobro itp. Jest zatem, przynajmniej częściowo, zależny od przypadku.

Wartość oczekiwana zmiennej losowej skokowej0x01 graphic

Wartość oczekiwana jest zatem średnią arytmetyczną ważoną realizacji 0x01 graphic
zmiennej losowej X, a wagami są odpowiadające im prawdopodobieństwa 0x01 graphic
.

Wariancja zmiennej losowej skokowej 0x01 graphic

Odchylenie standardowej zmiennej losowej skokowej

0x01 graphic
0x01 graphic

Dystrybuanta zmiennej losowej 0x01 graphic
nazywa się prawdopodobieństwem tego, że zmienna losowa przyjmie wartości mniejsze lub równe określonej wartości 0x01 graphic
(czyli jest równa sumie prawdopodobieństw realizacji wartości zmiennej, mniejszych bądź równych 0x01 graphic
). Jest to funkcja określana wzorem:0x01 graphic

Dystrybuanta zmiennej losowej skokowej (dyskretnej) 0x01 graphic
Ważniejsze teoretyczne rozkłady zmiennej losowej skokowej

Zmienna losowa X ma rozkład zero-jedynkowy, jeżeli jej funkcja prawdopodobieństwa (rozkład) jest następująca:0x01 graphic

0x01 graphic

Wartość oczekiwana i wariancja w tym rozkładzie wynoszą:

0x01 graphic

Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy (Bernoulliego)0x01 graphic
, jeśli jej funkcja prawdopodobieństwa określona jest wzorem:

0x01 graphic
,

gdzie:

0x01 graphic
- liczba wariantów zmiennej losowej,

0x01 graphic
- liczba realizacji zdarzenia 0x01 graphic
,

0x01 graphic
- prawdopodobieństwo realizacji zdarzeń 0x01 graphic
w każdej z niezależnych realizacji.

Wartość oczekiwana w tym rozkładzie wynosi: 0x01 graphic

a wariancja: 0x01 graphic

Schemat Bernoulliego:

Z takim rozkładem mamy do czynienia w przypadku wyznaczania prawdopodobieństwa kolejnych wartości 0x01 graphic
w 0x01 graphic
doświadczeniach. Aby rozkład dwumianowy mógł znaleźć zastosowanie, muszą być spełnione następujące warunki:

Rozkład Poissona dotyczy zmiennej losowej skokowej. Znajduje on zastosowanie w sytuacjach, gdy próba jest liczna 0x01 graphic
oraz gdy prawdopodobieństwo zajścia sukcesu jest małe (co najwyżej kilkuprocentowe). Jego przydatność jest duża, np. w ustalaniu prawdopodobieństwa wadliwości produkcji czy awaryjności maszyn.

Prawdopodobieństwo w rozkładzie Poissona 0x01 graphic

gdzie:0x01 graphic
- średnia liczba zdarzeń,0x01 graphic

Rozkładem Poissona można przybliżyć rozkład dwumianowy, gdy spełnione są następujące warunki:

Rozkład normalny i inne rozkłady zmiennej losowej ciągłej

Zmienna losowa ciągła jest to taka zmienna, która przyjmuje wszystkie wartości z pewnego określonego przedziału liczbowego.

Zmienną losową ciągłą jest czas pracy przeznaczony na wyprodukowanie sztuki wyrobu przez pracowników pewnej fabryki, waha się on np. w przedziale od 3 do 5 godzin. Może zatem przyjąć dowolne wartości z tego przedziału, np. 3, 1; 4,23 itp.

Rozkład normalny to najważniejszy rozkład zmiennej losowej ciągłej. Odgrywa on w zastosowaniach statystyki ogromną rolę.

Zmienna losowa standaryzowana0x01 graphic
0x01 graphic

Rozkład chi-kwadrat 0x01 graphic

Zakładając, że 0x01 graphic
są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym o parametrach 0x01 graphic
zmienna losowa 0x01 graphic
określona jest w sposób następujący:0x01 graphic
ma rozkład 0x01 graphic
z 0x01 graphic
„liczbą stopni swobody”.

Zmienna losowa o rozkładzie chi-kwadrat przyjmuje wartości dodatnie, a jej rozkład zależy od liczby stopni swobody 0x01 graphic
. Dla małych wartości 0x01 graphic
jest to rozkład silnie asymetryczny, w miarę wzrostu 0x01 graphic
asymetria jest coraz mniejsza: 0x01 graphic
wyznaczamy najczęściej jako: 0x01 graphic

gdzie: 0x01 graphic
- liczebność próby,

0x01 graphic
- liczba szacowanych parametrów z próby.

Wartość oczekiwana w rozkładzie 0x01 graphic
0x01 graphic

Wariancja w rozkładzie0x01 graphic
0x01 graphic

Odchylenie standardowe w rozkładzie 0x01 graphic
0x01 graphic

Rozkład t-Studenta

Wartość oczekiwana w rozkładzie t-Studenta 0x01 graphic

Wariancja w rozkładzie t-Studenta0x01 graphic

Odchylenie standardowe w rozkładzie t-Studenta 0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Finanse publiczne - pytania z egzaminu, Studia UE Katowice FiR, I stopień, semestr III, Finanse Publ
test 2011, Studia UE Katowice FiR, I stopień, semestr III, Finanse Publiczne
wykłady Famulska, Studia UE Katowice FiR, I stopień, semestr III, Finanse Publiczne
Partnerstwo Publiczno-prawne, Studia UE Katowice FiR, I stopień, semestr III, Finanse Publiczne
sciaga finanse, Studia UE Katowice FiR, I stopień, semestr III, Finanse Publiczne
wyklad 1 - wprowadzenie do prawoznawstwa, Studia UE Katowice FiR, I stopień, semestr I, Prawo Szpor
ściąga Zaip, Studia UE Katowice FiR, I stopień, semestr V, Zarządzanie Aktywami i Pasywami Banku
Ściąga - Bieniok, Studia UE Katowice FiR, I stopień, semestr I, Zarządzanie
zaliczenie+rzeszotarska, Studia UE Katowice FiR, I stopień, semestr II, Makroekonomia
Funkcje państwa, Studia UE Katowice FiR, I stopień, semestr II, Makroekonomia
4 niezależności Banku Centralnego, Studia UE Katowice FiR, I stopień, semestr II, Makroekonomia
wyklad 2 - prawo konstytucyjne, Studia UE Katowice FiR, I stopień, semestr I, Prawo Szpor
wyklad 3 - wolnosc, Studia UE Katowice FiR, I stopień, semestr I, Prawo Szpor
Test prawda-fałsz, Studia UE Katowice FiR, I stopień, semestr II, Finanse
Działalność banków inwestycyjnych na rynku wtórnym papierów wartościowych - tekst, Studia UE Katowic

więcej podobnych podstron