Wydział Zarządzania	Imię i Nazwisko 1. Marcin Zbroiński 2. Piotr Zając		ROK IIB		GRUPA 4		ZESPÓŁ 2
Pracownia Fizyczna	Temat: Mostek Wheatstone'a						Nr ćw. 32
Data wykonania 1998-04-23	Data oddania 98-05-06	Zwrot do poprawy		Data oddania		Data zaliczenia

I. Cel ćwiczenia

Pomiar nieznanych oporów oraz ich połączeń szeregowych i równoległych. Wskazanie statycznego wyniku pomiarów dla wybranego oporu.

II. Wprowadzenie

Mostek Wheatstone'a jest układem do pomiaru (porównywania) oporów. Tworzy go połączenie czterech oporów: R_x, R₂, R₃,R₄ oraz galwanometru o oporze R₅. Mostek jest zasilany z ogniwa galwanicznego lub zasilacza.

rys. Oporowy mostek Wheatstone`a

Niech I oznacza natężenie prądu płynącego z ogniwa, a natężenia prądów w odcinkach obwodu AB, AD, BC, DC, i BGD odpowiednio: I₁, I₂, I₃, I₄, I₅. W układzie są 4 węzły A, B, C, D. Dla trzech z nich układa się równania Kirchoffa. Jeśli kierunek prądu jest taki, jak wskazują strzałki, dla węzłów A, B i D otrzymujemy:

A: I - I₁ - I₃ = 0
B: I₁ - I₂ -I₅ = 0 (1)
D: I₅ +I₃ -I₄ = 0

Drugi układ równań Kirchoffa można ułożyć wydzielając w schemacie zamknięte obwody ABDA, BCDB i ACEA. Obchodząc każdy z tych obwodów według kierunku wskazówek zegara otrzymujemy dla obwodu:

ABDA: I₅R_x + I₅R₅ - I₃R₃ = 0
BCDB: I₂R₂ + I₄R₄ - I₅R₅ = 0 (2)
ACEA: I₃R₃ + I₄R₄ + IR_E =

Jeśli dana jest siła elektromotoryczna
oraz opory R₂, R₃,R₄ i R_E, można znaleźć natężenia wszystkich sześciu prądów I, I₁, I₂, I₃, I₄, I₅.

Metoda Wheatstone'a porównywania oporów polega na tzw. równoważeniu mostka, to znaczy na takim dopasowaniu oporów, by potencjały w punktach B i D były równe (V_B = V_D), czyli żeby prąd płynący przez galwanometr G był równy zeru. Przy I₅ = 0 drugie i trzecie równanie układu (1) dają:

I₂ = I₁ I₃ = I₄ (3)

a pierwsze i drugie równanie układu (2)

I₁R_x = I₃R₃ I₂R₂ ­= I₄R₄. (4)

Z równań (3) i (4) wynika, że

Ostatnie wyrażenie pozwala eksperymentalnie wyznaczyć R_x.

Mostek Wheatstone'a używany w ćwiczeniu przedstawiono na rysunku .

Prąd płynący z ogniwa galwanicznego E rozgałęzia się w punkcie A. Jedna jego część płynie przez szeregowo połączone opory R_x i R₂, druga przez przewód AC. Przez zmiany położenia punktu D zmienia się stosunek oporów R₃ do R₄. Na odcinku BGD prąd nie będzie płynął, jeżeli

Ponieważ R_AD i R_DC są oporami odcinków tego samego jednorodnego drutu, ich wielkości są proporcjonalne do długości:

Ponadto b jest różnicą całkowitej długości drutu l i odległości a, b=l-a. Ostatecznie otrzymujemy:

Dokładność pomiaru mostkiem Wheatstone'a z drutem oporowym zależy przede wszystkim od błędu wyznaczenia odległości a. Zgodnie z prawem przenoszenia błędu:

(5)

Tak więc błąd pomiaru będzie najmniejszy gdy pochodna wyrażenia (5) będzie równa 0:

Rozwiązanie a=1/2 l odpowiada po uwzględnieniu drugiej pochodnej minimalnej wartości błędu. Tak więc aby pomiar był najdokładniejszy należy tak dobrać opór R₂, aby stan równowagi mostka można było uzyskać w przybliżeniu w połowie długości drutu oporowego.

III. Wyniki pomiarów i opracowanie wyników

• Pomiary wstępne

Długość drutu
100cm

Błąd pomiaru długości drutu

Napięcie zasilania

• Opracowanie wyników

Odchylenie standardowe dla stu pomiarów :

Błąd dla sześciu pomiarów z rozstępu (liczba pomiarów mniejsza niż 10):

Pomiary dla pierwszego rezystora R_X1

Lp.	a [cm]	b [cm]	R2 [ ]	RX1 [ ]
1	50,00	50,00	10,00	10,00	3,52 10^-1
2	45,80	54,20	12,00	10,14	2,05 10^-1
3	43,80	56,20	13,00	10,13	2,13 10^-1
4	42,20	57,80	15,00	10,95	1,28 10^-1
5	39,00	61,00	18,00	11,51	8,37 10^-1
6	36,30	63,70	19,00	10,83	5,48 10^-2
Wartość średnia	=	10,59 [ ]	Błąd	=	2,43 10^-1 [ ]

Pomiary dla pierwszego rezystora R_X2

Lp.	a [cm]	b [cm]	R2 [ ]	RX2 [ ]
1	50,20	49,80	20,00	20,16	9,22 10^-4
2	47,90	52,10	22,00	20,23	1,26 10^-3
3	44,80	55,20	25,00	20,29	9,77 10^-3
4	43,00	57,00	27,00	20,37	3,15 10^-2
5	42,20	57,80	28,00	20,44	6,35 10^-2
6	40,40	59,60	29,00	19,66	2,84 10^-1
Wartość średnia	=	20,19 [ ]	Błąd	=	1,27 10^-1 [ ]

Pomiary dla połączenia szeregowego rezystorów R_X1 i R_X2

Lp.	a [cm]	b [cm]	R2 [ ]	R [ ]
1	43,00	57,00	40,00	30,18	5,53 10^-4
2	41,90	58,10	42,00	30,29	8,14 10^-3
3	41,30	58,70	43,00	30,25	3,01 10^-3
4	39,10	60,90	47,00	30,18	5,41 10^-4
5	43,60	56,40	39,00	30,15	2,50 10^-3
6	44,90	55,10	37,00	30,15	2,33 10^-3
Wartość średnia	=	30,20 [ ]	Błąd	=	2,26 10^-2 [ ]

Wartość teoretyczną obliczam ze wzoru na połączenie szeregowe dwóch rezystorów

=30,78

Porównując wartość średnią z wartością teoretyczną obliczam

0,58 [
]

Pomiary dla połączenia równoległego rezystorów R_X1 i R_X2

Lp.	a [cm]	b [cm]	R2 [ ]	R [ ]
1	52,00	48,00	6,00	6,50	7,04 10^-3
2	48,40	51,60	7,00	6,57	3,25 10^-4
3	45,10	54,90	8,00	6,57	1,43 10^-4
4	42,30	57,70	9,00	6,60	1,96 10^-4
5	39,80	60,20	10,00	6,61	7,49 10^-4
6	37,70	62,30	11,00	6,66	5,27 10^-3
Wartość średnia	=	6,58 [ ]	Błąd	=	2,52 10^-2 [ ]

Wartość teoretyczną obliczam ze wzoru na połączenie równoległe dwóch rezystorów

Porównując wartość średnią z wartością teoretyczną obliczam

0,37[
]

Wyznaczenie krzywej rozkładu

Lp.	a [cm]	b [cm]	R2 [ ]	RX3 [ ]
1	49,30	50,70	30,00	29,2	3,96 10-05
2	48,40	51,60	31,00	29,1	7,71 10^-3
3	47,60	52,40	32,00	29,1	9,33 10^-3
4	46,90	53,10	33,00	29,1	3,39 10^-4
5	46,10	53,90	34,00	29,1	7,32 10^-3
6	45,50	54,50	35,00	29,2	3,01 10^-3
7	44,80	55,20	36,00	29,2	2,71 10^-3
8	44,10	55,90	37,00	29,2	5,91 10^-4
9	43,50	56,50	38,00	29,3	8,34 10^-3
10	42,80	57,20	39,00	29,2	2,73 10^-4
11	42,30	57,70	40,00	29,3	2,52 10^-2
12	41,70	58,30	41,00	29,3	2,58 10^-2
13	41,10	58,90	42,00	29,3	2,02 10^-2
14	40,50	59,50	43,00	29,3	1,07 10^-2
15	40,00	60,00	44,00	29,3	2,82 10^-2
16	39,40	60,60	45,00	29,3	8,49 10^-3
17	38,90	61,10	46,00	29,3	1,47 10^-2
18	38,40	61,60	47,00	29,3	1,78 10^-2
19	38,00	62,00	48,00	29,4	6,45 10^-2
20	37,50	62,50	49,00	29,4	5,51 10^-2
21	37,00	63,00	50,00	29,4	3,99 10^-2
Lp.	a [cm]	b [cm]	R2 [ ]	RX3 [ ]
22	36,60	63,40	51,00	29,4	7,64 10^-2
23	36,10	63,90	52,00	29,4	4,49 10^-2
24	35,70	64,30	53,00	29,4	6,80 10^-2
25	35,30	64,70	54,00	29,5	8,81 10^-2
26	34,80	65,20	55,00	29,4	3,63 10^-2
27	34,00	66,00	57,00	29,4	3,93 10^-2
28	33,30	66,70	59,00	29,5	8,44 10^-2
29	32,50	67,50	61,00	29,4	4,21 10^-2
30	31,80	68,20	63,00	29,4	4,41 10^-2
31	31,10	68,90	65,00	29,3	3,04 10^-2
32	30,50	69,50	67,00	29,4	5,64 10^-2
33	29,90	70,10	69,00	29,4	7,05 10^-2
34	29,30	70,70	71,00	29,4	6,71 10^-2
35	28,70	71,30	73,00	29,4	4,80 10^-2
36	28,20	71,80	75,00	29,5	8,50 10^-2
37	27,70	72,30	77,00	29,5	1,12 10^-1
38	27,10	72,90	79,00	29,4	4,09 10^-2
39	26,60	73,40	81,00	29,4	3,57 10^-2
40	26,10	73,90	83,00	29,3	2,21 10^-2
41	25,70	74,30	85,00	29,4	5,56 10^-2
42	25,20	74,80	87,00	29,3	2,10 10^-2
43	24,80	75,20	89,00	29,4	3,45 10^-2
44	24,50	75,50	91,00	29,5	1,33 10^-1
45	24,10	75,90	93,00	29,5	1,33 10^-1
46	23,70	76,30	95,00	29,5	1,18 10^-1
47	23,40	76,60	97,00	29,6	2,18 10^-1
48	23,10	76,90	99,00	29,7	3,29 10^-1
49	22,70	77,30	101,00	29,7	2,44 10^-1
50	22,30	77,70	103,00	29,6	1,57 10^-1
51	80,40	19,60	7,00	28,7	2,03 10^-1
52	78,20	21,80	8,00	28,7	2,19 10^-1
53	76,10	23,90	9,00	28,7	2,58 10^-1
54	74,20	25,80	10,00	28,8	1,65 10^-1
55	72,30	27,70	11,00	28,7	2,06 10^-1
56	70,50	29,50	12,00	28,7	2,38 10^-1
57	68,80	31,20	13,00	28,7	2,49 10^-1
58	67,10	32,90	14,00	28,6	3,75 10^-1
59	65,60	34,40	15,00	28,6	3,14 10^-1
60	64,10	35,90	16,00	28,6	3,56 10^-1
61	62,70	37,30	17,00	28,6	3,47 10^-1
62	61,40	38,60	18,00	28,6	2,84 10^-1
63	60,00	40,00	19,00	28,5	4,43 10^-1
64	58,90	41,10	20,00	28,7	2,54 10^-1
65	57,70	42,30	21,00	28,6	2,70 10^-1
66	56,50	43,50	22,00	28,6	3,49 10^-1
67	55,60	44,40	23,00	28,8	1,32 10^-1
Lp.	a [cm]	b [cm]	R2 [ ]	RX3 [ ]
68	54,50	45,50	24,00	28,7	1,75 10^-1
69	53,50	46,50	25,00	28,8	1,61 10^-1
70	52,50	47,50	26,00	28,7	1,84 10^-1
71	51,50	48,50	27,00	28,7	2,45 10^-1
72	50,60	49,40	28,00	28,7	2,35 10^-1
73	49,90	50,10	29,00	28,9	7,90 10^-2
74	49,20	50,80	30,00	29,1	1,21 10^-2
75	48,30	51,70	31,00	29,0	4,16 10^-2
76	47,60	52,40	32,00	29,1	9,33 10^-3
77	46,90	53,10	33,00	29,1	3,39 10^-4
78	46,10	53,90	34,00	29,1	7,32 10^-3
79	45,50	54,50	35,00	29,2	3,01 10^-3
80	44,80	55,20	36,00	29,2	2,71 10^-3
81	44,10	55,90	37,00	29,2	5,91 10^-4
82	43,50	56,50	38,00	29,3	8,34 10^-3
83	42,80	57,20	39,00	29,2	2,73 10^-4
84	42,20	57,80	40,00	29,2	1,51 10^-3
85	41,60	58,40	41,00	29,2	1,61 10^-3
86	41,00	59,00	42,00	29,2	4,47 10^-4
87	40,50	59,50	43,00	29,3	1,07 10^-2
88	39,90	60,10	44,00	29,2	2,12 10^-3
89	39,40	60,60	45,00	29,3	8,49 10^-3
90	38,80	61,20	46,00	29,2	3,64 10^-6
91	38,40	61,60	47,00	29,3	1,78 10^-2
92	38,00	62,00	48,00	29,4	6,45 10^-2
93	37,40	62,60	49,00	29,3	1,20 10^-2
94	36,90	63,10	50,00	29,2	5,48 10^-3
95	36,50	63,50	51,00	29,3	2,24 10^-2
96	36,00	64,00	52,00	29,3	7,17 10^-3
97	35,60	64,40	53,00	29,3	1,76 10^-2
98	35,20	64,80	54,00	29,3	2,82 10^-2
99	34,80	65,20	55,00	29,4	3,63 10^-2
100	34,40	65,60	56,00	29,4	4,02 10^-2

Wartość średnia wynosi:
29,17

Odchylenie:

Przedział		Liczba
Rśr-3σ - Rśr-2σ	28,29 - 28,59	5
Rśr-2σ - Rśr-σ	28,59 - 28,87	17
Rśr-σ - Rśr	28,87 - 29,17	12
Rśr - Rśr+σ	29,17 - 29,47	58
Rśr+σ - Rśr+2σ	29,47 - 29,77	8
Rśr+2σ - Rśr+3σ	29,77 - 30,07	0

• Porównanie z wartościami teoretycznymi dla rozkładu Gaussa.

Wartości teoretyczne dla punktów granicznych przedziałów obliczone ze wzoru:

R
28,29	0,02
28,59	0,21
28,87	0,81
29,17	1,33
29,47	0,81
29,77	0,18
30,07	0,01

Rozkład krzywej Gaussa teoretyczny

Rozkład otrzymany

• Test
  

Do stwierdzenia zgodności otrzymanego doświadczalnie histogramu z krzywą Gaussa posługujemy testem
, zakładając poziom istotności
:

Stawiamy hipotezy:

H_o - rozkład uzyskany z doświadczenia jest rozkładem Gaussa

H₁ - rozkład uzyskany z doświadczenia nie jest rozkładem

Gaussa

Chisquare Test

-----------------------------------------------------------------------

Lower Upper Observed Expected

Limit Limit Frequency Frequency Chisquare

-----------------------------------------------------------------------

at or below 28.720 19 6.5 23.914

28.720 28.864 3 8.6 3.637

28.864 28.936 1 6.3 4.486

28.936 29.008 1 7.6 5.778

29.008 29.080 0 8.7 8.725

29.080 29.152 8 9.4 0.208

29.152 29.224 15 9.6 0 3.099

29.224 29.296 0 9.2 9.176

29.296 29.368 21 8.3 19.343

29.368 29.440 21 7.1 27.084

29.440 29.512 7 5.7 0.272

29.512 29.656 2 7.5 4.073

above 29.656 2 5.3 2.087

-----------------------------------------------------------------------

Chisquare = 111.881 with 10 d.f. Sig. level = 0

Wynik testu pokazano w powyższej tabeli. Obliczona wartość
przy 10 stopniach swobody odpowiada poziomowi istotności
. Ponieważ jest on niższy niż założona wartość
, więc hipotezę o zgodności rozkładu należy odrzucić. IV. Wnioski

Zgodnie ze wstępem teoretycznym zostało potwierdzone twierdzenie że największy błąd popełniamy przy pomiarze długości a. Błędy rezystorów nastawnych i miliamperomierza są pomijalnie małe. przy pomiarach popełnialiśmy błędy systematyczne z:

• błędu rezystorów dekadowych ( na zakresie do 10
  , na zakresie do 100
  )

• wynikające z tego że miliamperomierz którego używaliśmy nie jest przyrządem idealnym i ma małą rezystancje wewnętrzną (
  )

• z rezystancji źródła napięcia

oraz błąd przypadkowy przy odczycie długości a.

Pomiar połączeń szeregowych i równoległych
i
potwierdził z dużą dokładnością wzory teoretyczne. Po wykonaniu stu pomiarów
i analizie wyników stwierdziliśmy że rozkład wyników nie należy do rozkładu Gaussa, czyli rozkład popełnionych przez nas błędów przypadkowych nie jest opisany funkcją

Według tabeli rozdanej przez prowadzącego

Weryfikacja hipotez została przeprowadzona w programie STATGRAF

Według Jerzy Dąbrowski ”Statgraphics” str.136

---