Tematy 55,56,57 (Mateusz Bednarek)

Liczby kwantowe

Rozwiązaniem równania Schrödingera są pewne funkcje własne, które można scharakteryzować przy pomocy zestawu trzech liczb kwantowych n, l, m.

Liczby kwantowe nie mogą być dowolne, muszą przyjmować jedynie pewne wartości.

Liczba n jest nazywana główną liczbą kwantową może przyjmować wartości kolejnych liczb naturalnych (całkowitych, dodatnich): 1, 2, 3...... opisuje energię elektronu, tj. określa numer powłoki elektronowej,do której należy elektron;

Poboczna liczba kwantowa l może przybierać wartości 0, 1, 2... (n - 1) (gdzie n to główna liczba kwantowa); opisuje gęstość prawdopodobieństwa znalezienia się elektronu w określonej odległości od jądra, tj. określa kształt orbitalu: dla l=0 orbital jest chmurą kulistą (sferyczną), której gęstość maleje, gdy wzrasta odległość od jądra - kształt takiego orbitalu oznacza się literą s; dla l=1 orbital jest obrotową ósemką, a w jej płaszczyźnie węzłowej znajduje się jądro atomu - kształt takiego orbitalu oznacza się literą p.

Liczba m nazywana jest magnetyczną liczba kwantową. Liczba m osiąga wartości z przedziału <-l,+l> (gdzie l to poboczna liczba kwantowa); określa sposób rozszczepienia orbitalu w polu magnetycznym. W polu magnetycznym orbital typu s ma charakter bezkierunkowy, natomiast orbital typu p ma wyróżnione trzy prostopadłe kierunki.Istnieją trzy orbitale p o danej energii: px, py i pz.

Zestaw tych trzech liczb kwantowych nosi nazwę orbitalu.

Poszczególne orbitale określa się skrótami podanymi w tabeli, które zawierają głowną liczbę kwantową oraz poboczną liczbę kwantową, przy czym ta ostatnia podana jest w postaci

litery. Przyjęto nazywać wartość l = 0 literą s, l =1 literą p, l = 2 literą d oraz l = 3 literą f.

Obrazem graficznym orbitalu jest fragment przestrzeni, w której prawdopodobieństwo znalezienia elektronu jest duże. Każdy orbital ma inny kształt i orientację przestrzenną, a zajmujący go elektron charakteryzuje się inną energia. Orbitale typu s mają kształt kuli.

Pozostałe orbitale wykazują orientację przestrzenną, co znaczy, że niektóre kierunki w przestrzeni charakteryzują się wyższym prawdopodobieństwem spotkania elektronu. Np.: kształt orbitali p przypomina sferyczne ósemki nabite na poszczególne osie współrzędnych.

Istnieje znacznie większe prawdopodobieństwo spotkania elektronu wewnątrz tego orbitalu, niż na zewnątrz. Ale prawdopodobieństwo zajęcia orbitalu px, py lub pz jest takie samo

Takie orbitale nazywa się zdegenerowanymi. Orbital p jest trójkrotnie zdegenerowany, ze względu na równocenność energetyczną orbitali px, py i pz. Analogicznie orbital d jest pięciokrotnie zdegenerowanych.

Każdy orbital może pomieścić dwa elektrony. Muszą się one różnić liczbą spinową. Liczba spinowa s jest czwartą liczbą kwantową. Może przyjąć tylko dwie wartości: -1/2 lub +1/2. Na jednym orbitalu nie mogą się znajdować dwa elektrony o jednakowej liczbie spinowej. Zasada ta jest znana jako zakaz Pauliego: W atomie nie mogą znajdować się dwa elektrony charakteryzowane jednakowym zestawem liczb kwantowych.

Przedstawiając zakaz Pauliego stosuje się niekiedy „klatkowy” zapis orbitali. Zajęte orbitale są przedstawiane w postaci kwadratów zawierających strzałki o zwrotach zgodnych lub przeciwnie skierowanych. Jest to umowny sposób przedstawiania elektronów o tych samych lub przeciwnych liczbach spinowych. Zakaz Pauliego zabrania obecności dwu elektronów o tych samych spinach na jednym i tym samym orbitalu:

źle dobrze

Wraz ze wzrostem liczby atomowej pierwiastka wzrasta liczba elektronów. Zajmują one kolejne orbitale zaczynając od najniższych poziomów energetycznych. Kolejność zajmowania poszczególnych poziomów jest następująca: 1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 4s, 3d, 4p, 5s,

4d, 5p, 6s, 4f, 5d, 6p, 7s, 5f, 6d, co przedstawiono na rysunku:

Zasadniczo energia elektronów zależy od głównej liczby kwantowej n. Im większa główna liczba kwantowa, tym elektron osiąga wyższą energię. Co prawda orbitale s, p i d różnią się energią, ale decydujące znaczenie ma numer powłoki. Zasada ta jest zachowana na pierwszych trzech poziomach energetycznych atomu. Na wyższych poziomach energetycznych energia elektronów zależy nie tylko od głównej liczby kwantowej, lecz także - i to w istotniejszy sposób niż poprzednio - od pobocznej liczby kwantowej. Wpływ

pobocznej liczby kwantowej może być tak duży, że niektóre poziomy energetyczne d lub f o mniejszej głównej liczbie kwantowej będą charakteryzowały się wyższą energią od poziomów o większej głównej liczbie kwantowej. Ma to miejsce np.: w przypadku orbitali

4s - 3d lub 6s - 4f - 5d. Wcześniej zapełnia się orbital 4s niż 3d, 6s niż 4f, mimo iż inaczej to nakazywałaby wartość głównej liczby kwantowej.

Kolejność zapełniania orbitali zdegenerowanych jest zgodna z regułą Hundta, która mówi, że pary elektronowe na tych orbitalach pojawiają się dopiero po zapełnieniu wszystkich orbitali zdegenerowanych przez pojedyncze elektrony. Spiny tych niesparowanych elektronów są jednakowe. Np. w przypadku orbitalu d, na którym może zmieścić się 10 elektronów, pierwsze pięć elektronów będzie zajmowało kolejno wolne orbitale pozostając niesparowanymi

Dopiero dalsze elektrony zajmują wolne miejsca tworząc pary np. szósty elektron:

Studnia potencjału - rejon otaczający minimum lokalne energii potencjalnej. Energia uwięziona w studni potencjału nie może przekształcić się w inną postad energii (energię kinetyczną w przypadku grawitacyjnej studni potencjału), ponieważ jest uwięziona w lokalnym minimum studni. Z tego względu, ciało nie może podążyć do globalnego minimum energii potencjalnej tak, jak miałoby to miejsce z powodu entropii w naturalnych warunkach.

Jeżeli energia cząsteczki nie pozwala jej na opuszczenie określonego obszaru powstają tzw. stany związane.

Stan związany ma skwantowany wektor falowy k, tzn. tylko niektóre wartości wektora falowego są spełnione, ponieważ musi powstać fala, która ma węzły na barierach.

Potencjał nieskończenie głębokiej prostokątnej studni ma tę własność, że wiąże cząstkę o skończonej energii E≥ 0. W mechanice klasycznej dozwolona jest dowolna wartość energii, natomiast w mechanice kwantowej dozwolone są tylko pewne dyskretne wartości własne E_n. Dla niezbyt dużych wartości liczby kwantowej n odpowiadające im wartości własne i funkcje własne użyte być mogą jako przybliżenie odpowiadających im wartości własnych i funkcji własnych dla potencjału o dużym, lecz skończonym V₀.

Nieskończona studnia potencjału.

Cząstka nie może istnieć w obszarze o nieskończonej energii potencjalnej więc nie będzie istniała w „ścianach studni”.Wewnątrz studni funkcja falowa opisująca cząsteczkę musi spełniać równanie Schrodingera dla U(x)=0.

W obszarach I i III cząsteczka nie występuje i funkcja falowa zanika:

W obszarze II równanie Schrödingera ma postać:

Rozwiązanie tego równania zapisujemy w postaci :

Z ciągłości funkcji falowej dla
otrzymujemy :

Oba te warunki muszą być spełnione, więc wybieramy taką wartość k, by

jednocześnie zakładając, że A = 0, albo wybieramy takie k,by

i B = 0.

Ze związku
i ze wzorów na dozwolone wartości k otrzymujemy:

Dochodzimy więc do wniosku, że dozwolone są tylko pewne wartości energii całkowitej E, czyli że jest ona skwantowana.Wiemy też że najniższa dowolna energia jest większa od zera. według mechaniki klasycznej energia przyjmuje dowolne wartości, w tym również wartość zero.

Szczególnie interesująca jest pierwsza wartość własna energii dla nieskończenie głębokiej studni prostokątnej, którą nazywa się energią drgań zerowych. Jest to najniższa możliwa energia całkowita, jaką może mieć cząstka ograniczona przez potencjał nieskończenie głębokiej studni. Energia drgań zerowych nie jest równa zeru. Zjawisko to jest w zasadzie wynikiem zasady nieoznaczoności. Jeśli obszar, w którym przebywa cząstka jest ograniczony przez potencjał, wówczas znamy współrzędną x tej cząstki z niepewnością rzędu
Zatem niepewność x-owej składowej pędu tej cząstki musi być przynajmniej równa:

Z zasady nieoznaczoności wynika, że cząstka związana przez ten potencjał nie może mieć całkowitej energii równej zeru, bo oznaczałoby to, że niepewność jej pędu też jest równa zeru. W szczególnym przypadku wartości własnej E1 pęd jest równy co do wartości bezwzględnej:

Cząstka może poruszać się w dowolnym kierunku; faktyczna więc wartość pędu nie jest określona i jego niepewność jest rzędu:

Wnioskujemy więc, że istnienie energii drgań zerowych wynika z konieczności istnienia ruchu zerowego. Stoi to w sprzeczności z zasadami fizyki klasycznej.

W analogiczny sposób można pokazać, że dla studni potencjału spełniającej warunek V(x)=0 dla 0≤x≤a

otrzymywane funkcje falowe są postaci:

Stałą A znajdujemy z warunku unormowania prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w pudle, a mianowicie :

Ponieważ:

Zatem i unormowana funkcja falowa ma postać

Nieskończenie głęboka studnia potencjału, a model Bohra

Model Bohra usunął sprzeczności z prawami elektrodynamiki. Kwantowa teoria Bohra stała się punktem zwrotnym w opisie procesów wewnątrz atomów. Kwantowa teoria Bohra dawała wyniki zgodne z doświadczeniem, zwłaszcza dla wodoru, ale nie wyjaśniała faktu, dlaczego pojęć mechaniki klasycznej nie można stosować dla mikrocząstek. Elektron w pułapce może przyjmować tylko określone skwantowane wartości energii(poziomy energetyczne). W zależności od stanu w jakim znajduje sie elektron zmienia sie rownież prawdopodobienśtwo jego wykrycia zgoła podobnie wygląda również model atomu wodoru Bohra, który założył istnienie stanów stacjonarnych atomu zależnych od wartości momentu pędu elektronów krążących wokól jądra, w obu przypadkach przejście z jednego stanu na drugi wiaże sie z dostarczeniem/wyzwoleniem energii.

Efekt tunelowy - zjawisko tunelowe zwane też efektem tunelowym - zjawisko przejścia cząstki przez barierę potencjału o wysokości większej niż energia cząstki, opisane przez mechanikę kwantową. Z punktu widzenia fizyki klasycznej stanowi paradoks łamiący klasycznie rozumianą zasadę zachowania energii, gdyż cząstka przez pewien czas przebywa w obszarze zabronionym przez zasadę zachowania energii.

Cząstka klasyczna w dole potencjału\

Rozpatrzmy dla uproszczenia cząstkę o jednym stopniu swobody mogącą poruszać się tylko wzdłuż osi OX. Niech cząstka ta ma energię kinetyczną E_k i znajduje się w dole potencjału. Potencjał ten reprezentowany jest przez energię potencjalną cząstki E_p(x). Energia cząstki jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej

E=E_k +E_p(x)

Ponieważ energia kinetyczna jest nieujemna, klasyczna fizyka dopuszcza tylko ruch w obszarach gdzie

E-E_p(x) ≥ 0

Zatem cząstka może przebywać w obszarach x1 < x < x2 oraz x > x3, natomiast w obszarze x2 < x < x3 nie może się znaleźć, ponieważ jej energia kinetyczna byłaby wówczas mniejsza od zera.

Cząstkę taką można traktować jak piłkę toczącą się wewnątrz dołka. Piłka będzie wtaczać się na ściankę dołka tylko do momentu, w którym straci całą energię kinetyczną.

Cząstka kwantowa w dole potencjału - w zakresie odległości porównywalnych z rozmiarem atomu dominuje opis kwantowomechaniczny z zastosowaniem praw mechaniki kwantowej. Za cząstkę kwantową można uważać elektron w stanie stacjonarnym w potencjale atomu lub nukleon w potencjale jądra. W mechanice kwantowej cząstka nie jest bryłą sztywną o określonej wielkości i sprecyzowanym położeniu. Cząstka jest reprezentowana przez funkcję falową, która określa prawdopodobieństwo lokalizacji cząstki w określonym obszarze przestrzeni poprzez kwadrat modułu funkcji falowej w tym obszarze.

Postać funkcji falowej w konkretnym obszarze przestrzeni zakłada się, a następnie rozwiązuje równanie Schrödingera dla tego obszaru. Jeżeli analizowany jest jednowymiarowy ruch cząstki, czyli tylko wzdłuż wyróżnionej osi, w polu zadanego potencjału, wówczas do opisu stosuje się równanie Schrödingera w postaci:

Jest to tak zwane równanie Schrödingera bez czasu ze stacjonarnym, czyli niezależnym od czasu rozwiązaniem odpowiadającym fali stojącej i stałą energią stanu cząstki. Zakłada się, że wewnątrz dołu potencjału równanie to ma rozwiązanie w postaci superpozycji dwu funkcji falowych interpretowanych jako fale biegnące w przeciwnych kierunkach; dodatnim i ujemnym wzdłuż osi OX.

Zakłada się istnienie rozwiązania równania w postaci funkcji falowej w obszarze jamy potencjału, wewnątrz bariery z czysto urojoną wartością współczynnika k, która opisuje tłumienie fali w obszarze dużych wartości potencjału, jak i założoną postać funkcji falowej poza barierą, czyli:

Poza barierą potencjału nie istnieje rozwiązanie, które można by interpretować jako falę odbitą, jeżeli miałaby to być jedyna bariera potencjału, dlatego funkcja falowa w tym obszarze nie jest superpozycją. Funkcja falowa musi pozostawać ciągła na granicy obszarów z różną wartością potencjału.

Z tego, że amplituda B jest mniejsza od amplitudy A, zaś kwadrat amplitudy funkcji falowej określa prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w danym miejscu, wynika istnienie niezerowego prawdopodobieństwa, że rozwiązanie istnieje poza jamą potencjału, czyli niezerowe prawdopodobieństwo znalezienia tam cząstki.

Współczynnik przenikania

Prawdopodobieństwo przeniknięcia cząstki przez barierę potencjału równe jest ilorazowi kwadratów amplitud B i A:

i nazywany jest współczynnikiem przenikania lub współczynnikiem transmisji. Wartość tego współczynnika zależy od energii stanu stacjonarnego cząstki, wysokości i rozciągłości oraz kształtu bariery potencjału, w tym od względnej energii cząstki w obszarze jamy potencjału.

Interpretacja w oparciu o zasadę nieoznaczoności

Efekt tunelowy można wyjaśnić również bez odwoływania się do pojęcia funkcji falowej tylko na podstawie zasady nieoznaczoności. Zgodnie z tą zasadą iloczyn niepewności energii i czasu pomiaru energii musi spełniać warunek:

Wynika stąd, że przez pewien krótki moment energia cząstki może wzrosnąć na tyle, że będzie większa od wysokości bariery potencjału i cząstka może znaleźć się po drugiej stronie bariery. W tej interpretacji zjawisko to nie będzie przenikaniem, a raczej wirtualnym (bezczasowym) przeskakiwaniem nad przeszkodą. O ile sam przeskok pozostaje wirtualny, o tyle zlokalizowanie cząstki poza przeszkodą jest już zupełnie realne. Rachunki na konkretnym przykładzie mogą jednak prowadzić do wniosku, że czas istnienia takiej fluktuacji jest krótszy niż czas propagacji na odległość równą rozległości bariery potencjału.

Efekt tunelowy w przyrodzie i w technice

Fuzja jądrowa będąca źródłem energii Słooca zachodzi w dużym stopniu dzięki zjawisku tunelowemu. Zjawisko to umożliwia pokonanie bariery odpychania kulombowskiego jąder atomów w temperaturze niższej, niż wynikałoby to z praw termodynamiki. Efekt tunelowy stwarza również nadzieje na obniżenie temperatury fuzji przeprowadzanej w sposób kontrolowany. Dzięki zjawisku tunelowemu następuje emisja cząstek α w procesie rozpadu promieniotwórczego masywnych jąder atomowych.

We współczesnej technice na zjawisku tunelowym oparte jest funkcjonowanie wielu półprzewodnikowych elementów elektronicznych (np. dioda tunelowa) oraz urządzeń takich jak skaningowy mikroskop tunelowy.

1

---