Temat: Logarytmy, decybele, poziomy audio.

W praktyce radiotechnicznej okazało się, że określając względne wielkości wzmocnienia, lub poziomu transmisji, wygodniej jest używać logarytmów stosunku mocy lub napięć, niż samych stosunków tych wielkości.

1. Logarytmy.

Logarytmowanie jest to działanie polegające na wyznaczaniu wykładnika potęgi do której należy podnieść podstawę logarytmu aby otrzymać liczbę logarytmowaną.

Szukany wykładnik nazywany jest logarytmem.

jeśli A^B = C to B = log_AC

gdzie: C - liczba logarytmowana

A - podstawa logarytmu

B - wykładnik potęgi

Logarytm dziesiętny - to po prostu wykładnik potęgi do której należy podnieść liczbę 10 aby uzyskać liczbę logarytmowaną

 lg a = x          a = 10^x

czyli log₁₀100=2 bo 10² = 100

logarytm dziesiętny log₁₀ piszemy jako lg

np. lg1000 = 3 bo 10³ = 1000

lg2 = 0,3 bo 10^0,3 = 2

lg0,0001 = -4 bo 10^-4 = 0,0001

Właściwości logarytmów.

lg (a  · b) = lg a + lg b

lg aⁿ = lg (a  · a  · a  · .... a) = lg a + lg a + lg a + ...... lg a = n lg a    

A także:     lg a/b = lg (a  · b^-1) = lg a - lg b.   

Każdą liczbę można zapisać w postaci iloczynu potęgowego liczby zawartej pomiędzy 1 a 10, oraz odpowiedniej potęgi liczby 10.

Przybliżone tablice logarytmiczne jednocyfrowe do podręcznego użytku...

Proponuję zapamiętanie przybliżonych wartości logarytmów jedynie dwóch liczb:

lg 2 = 0,3010  (ok. 0,3)

lg 3 = 0,4771

Sami łatwo obliczymy stąd, że:

lg 4 = lg 2·2 = lg 2+ lg 2=2 lg 2  = 0,6

lg 8 = lg 2·2·2 = 3 lg 2  = 0,9

lg 5 = lg (10 : 2)  = lg 10 - lg2 = 1 - 0,3010  = 0,699 (ok. 0,7)

lg 2,5 = lg (5 : 2)  = 0,699 - 0,301  = 0,398 (ok. 0,4)

lg 1,5 = lg (3 : 2)  = 0,4771 - 0,3010  = 0,1761

lg
= lg 2^1/2  = 1/2 lg2  = 0,15

lg 6 = lg (2  · 3)  = 0,3010 + 0,4771  = 0,7780

lg 16 = lg 4² = 2 lg 4 = 1,2040       [inaczej:  lg 16 = lg (2  ·  8) = 0,3010 + 0,9030 = 1,2040] 

jeśli tak, to:     lg 1,6 = lg (16 : 10) = 1,2040 - 1 = 0,2040

lg 9 = lg 3² = 2  ·  lg 3 = 0,9542

2. Skala logarytmiczna

W zagadnieniach związanych z dźwiękiem najczęściej wyrażaną w mierze logarytmicznej wielkością jest częstotliwość. Przeanalizujmy jak skonstruowana jest skala logarytmiczna.

Mając przed sobą kartkę papieru w kratkę przyjmijmy, że naszą podstawową jednostką będzie dziesięć kratek. W takim układzie, co dziesięć kratek na naszym wykresie będziemy mieć przyrost częstotliwości o jeden rząd wielkości.1,10,100,1000 itd. UWAGA zaczynamy od 1 Hz a nie od zera (w mierze logarytmicznej nie ma zera).

Tak więc po dziesięciu kratkach będziemy mieli 10 Hz, po dwudziestu już 100 Hz a po trzydziestu kratkach 1000 Hz itd. Skąd to się bierze ? Policzmy logarytm dziesiętny z 1 Hz. Wyjdzie 0 - jesteśmy na początku naszego wykresu. Logarytm z 10Hz to 1działka (w naszym przypadku 10 kratek). Logarytm ze 100 Hz to 2działki - 20 kratek itd. Podobnie liczymy dla mniejszych wartości. I tak np. 2 Hz to 0,3 całej podstawowej jednostki, czyli 3 kratki, a 5 Hz to około 7 kratek itd. W mierze logarytmicznej przedstawia się wszelkie charakterystyki częstotliwościowe. Gdyby sporządzić wykres zależności jakiejś wielkości od częstotliwości w zakresie akustycznym (20 Hz - 20000 Hz) w mierze liniowej przyjmując, że jedna kratka to 20 Hz wykres miałby 5 metrów długości (raczej mało wygodne). W mierze logarytmicznej przyjmując jako podstawową działkę 10 kratek wykres będzie miał jakieś 15 cm.

3. Miary poziomu mocy i napięcia.

Urządzenia elektroakustyczne są ściśle związane z akustyką, z dźwiękiem i z fizjologią słyszenia. Dlatego właściwości tych urządzeń są określane za pomocą parametrów wyrażanych w jednostkach miar stosowanych w akustyce.

Na przykład głośnik, zasilany przez akustyczny wzmacniacz mocy, wypromieniowuje moc akustyczną, wywołując w otaczającej przestrzeni odpowiednie natężenie dźwięku, ciśnienie akustyczne itp. Wielkości te ze względu na sposób odczuwania ich przez ucho ludzkie, są wyrażane w mierze logarytmicznej.Stąd parametry niektórych urządzeń, takie jak: napięcie wejściowe lub wyjściowe, wzmocnienie, zmiana wzmocnienia w funkcji częstotliwości, odstęp sygnału użytecznego od zakłóceń itp. są również określane w mierze logarytmicznej.

W praktyce często interesuje nas nie tyle poziom mocy, a raczej wzmocnienie lub osłabienie mocy. Przykładowo moc sygnału może być wzmacniana dwukrotnie, pięćsetkrotnie, tysiąckrotnie, ale też może być osłabiana na przykład dwunastokrotnie, czy milionkrotnie.

Wzmocnienie mocy równe dwa można zapisać po prostu: 2x (czytaj dwa razy). Podobnie można zapisać 500x czy 1000x.

Analogicznie dwunastokrotne osłabienie można zapisać:
X , podobnie
X Znów trzeba zapisywać mnóstwo zer.

Dla wyeliminowania tych zer od dawna stosuje się zapis logarytmiczny, czyli związany z potęgowaniem. Nie jest to żadna nowa wielkość: liczba wyrażająca wzmocnienie (osłabienie), czyli stosunek wartości końcowej do początkowej zostaje po prostu zlogarytmowana (logarytm o podstawie 10).

Otrzymana liczba wyraża wzmocnienie (osłabienie) w tak zwanych belach, oznaczanych literą [B].

Jednostką podstawową tej miary jest bel [B]. W belach określa się logarytm stosunku dwóch mocy.

Przykładowo:

wzmocnienie mocy 2 razy to zmiana o log2 = 0,30103B

wzmocnienie mocy 500 razy to zmiana o log500 = 2,69897B

wzmocnienie mocy 1000 razy to zmiana o log1000 = 3B

osłabienie mocy 12 razy (wzmocnienie 1/12 razy)

to zmiana o log(1/12) = -1,07918B

osłabienie mocy milion razy to zmiana o log(1/1000000) = -6B

Względny poziom mocy w belach:

poziom_[B] = lg

[B]

dziesięciokrotnie mniejszą jednostką jest decybel [dB]

Względny poziom mocy w decybelach:

poziom_[dB] = 10lg

[dB]

a ponieważ
=
=
=

to dla napięcia względny poziom napięcia w decybelach:

poziom_[dB] = 20 lg
[dB]

gdzie:
,
- porównywane wartości skuteczne napięć.

Stosunek dwóch mocy lub napięć jest miarą względną, która nie precyzuje,

o jaką wartość mocy lub napięcia chodzi.

Aby podać bezwzględną wartość tych wielkości, należy je porównać z odpowiednią jednostką odniesienia.

Za taką jednostkę przyjęto wartość mocy elektrycznej P_O równą 1mW

wydzieloną na rezystancji R_O = 600 omów.

Stąd bezwzględny poziom mocy określa się następującą zależnością:

L =10 lg
= 10lg
[dBm]

gdzie: L - poziom mocy w dBm

P_X - moc porównywana w mW,

P_O - moc odniesienia 1mW.

Jak widać, bel i decybel nie jest miarą ani mocy, ani napięcia, ani żadnej wielkości fizycznej. Jest to tylko sposób przedstawienia stosunku dwóch wartości. Decybele znakomicie nadają się do wyrażania na przykład wzmocnienia wzmacniacza, albo stosunku mocy. Ale w zasadzie, bez dodatkowej umowy, nie można wyrażać w decybelach ani mocy, ani napięcia. Miara logarytmiczna jest jednak bardzo wygodna i dobrze byłoby wyrażać w ten sposób także wartości mocy i napięcia. Żeby to zrobić, wystarczy przyjąć jakiś punkt odniesienia, a potem, właśnie w decybelach, określać moc czy napięcie w stosunku do tej przyjętej wartości odniesienia.

W elektroakustyce częściej operuje się napięciem odniesienia, które wynika z następującego przeliczenia:

U_O =
=
= 0,7746 ≈ 0,775 [V]

gdzie:

P_O - moc odniesienia 1mW = 1∙ 10^-3 [W]

R_O - rezystancja odniesienia 600 Ω

Zatem bezwzględny poziom napięcia oblicza się ze wzoru :

L = 20 lg
= 20 lg
[dBu]

gdzie: L - poziom napicia w dBu

U_X - porównywana wartość napięcia w V

U_O - zaokrąglona wartość napięcia odniesienia U_O = 0,7746 V

Tablica poziomów w decybelach - wzmacnianie

dB	6	12	18	20	26	34	40	46	54	60	80
Stosunek napięć	2	4	8	10	20	50	100	200	500	1000	10000

Tablica poziomów w decybelach - tłumienie

dB	-6	-12	-18	-20	-26	-34	-40	-46	-54	-60	-80
Stosunek napięć	1:2	1:4	1:8	1:10	1:20	1:50	1:100	1:200	1:500	1:1000	1:10000

Wartości w kolorze niebieskim są łatwe do zapamiętania i przydatne w praktyce.

4. Wzmocnienie napięciowe

Wzmocnienie napięciowe_[dB] W_U= 20 lg U₂/ U₁ [dB]

Stosunek U₂/U₁ - zwany jest współczynnikiem wzmocnienia napięciowego k_U
Warto zauważyć, że gdy jest on większy od jedności k_U > 1 to logarytm tego stosunku jest dodatni, mamy wtedy do czynienia ze wzmacnianiem sygnału.
Wartość decybeli jest też dodatnia.
Natomiast, gdy k_U < 1 to logarytm wzmocnienia jest ujemny i sygnał jest zmniejszany/tłumiony/.
Wartość decybeli jest ujemna.

Sumowanie poziomów w decybelach wykonuje się algebraicznie z uwzględnieniem znaków.
Wzmocnienia się mnoży.
stosunkowi U₂/U₁ równemu 10^-3 odpowiada (-3) ∙ 20 = - 60 dB
stosunkowi U₂/U₁ równemu 10^-2 odpowiada (-2) ∙ 20 = - 40 dB
stosunkowi U₂/U₁ równemu 10^-1 odpowiada (-1) ∙ 20 = - 20 dB
stosunkowi U₂/U₁ równemu 10⁰ odpowiada (0) ∙ 20 = 0 dB
stosunkowi U₂/U₁ równemu 10¹ odpowiada (1) ∙ 20 = 20 dB
stosunkowi U₂/U₁ równemu 10² odpowiada (2) ∙ 20 = 40 dB

5. Wzmocnienie mocy

Wzmocnienie mocy_[dB] W_P =10 lg P₂/P₁ [dB]

Stosunek P₂/P₁ - zwany jest współczynnikiem wzmocnienia mocy k_P

6. Podsumowanie.

Dla celów praktycznych wystarczy zapamiętać, że aby wzmocnienie napięciowe wyrazić w decybelach korzystamy z wzoru:

W_U [dB] = 20 log k_U

Gdy natomiast na decybele przeliczamy wzmocnienie (lub osłabienie) mocy korzystamy z wzoru:

W_P [dB] = 10 log k_P

gdzie:
k_U - wzmocnienie napięciowe,
k_P - wzmocnienie mocy.

W praktyce prawie zawsze chodzi o przeliczenie na decybele wzmocnienia napięciowego, dlatego warto zapamiętać kilka typowych wartości i pewne proste reguły.

Dla napięć wzmocnienie

1000 razy to +60dB,

100 razy to +40dB

10 razy to +20dB

2 razy to +6dB

wzmocnienie równe

1 to 0dB

0,1 to -20dB

0,01 to -40dB

1,41 czyli
to +3dB bo 20lg
=20 ·
· 0,3=20 · 0,15=3dB

0,707 czyli
to -3dB

2 razy to 6dB

0,5 razy to -6dB

3 razy to 9,5dB; w przybliżeniu 10dB

4 to 12dB bo (4=2×2)

5 to 14dB

7 to 17dB

8 to 18dB

Ponieważ mnożenie liczb odpowiada dodawaniu logarytmów, również przy dodawaniu decybeli trzeba pamiętać, że chodzi o mnożenie wzmocnienia wyrażonego w "razach" stąd np.:

20 razy to 2×10=6dB+20dB = 26dB

50 razy to 5×10=14dB+20dB = 34dB

140 razy to 1,4×100=3dB+40dB = 43dB

7. Przykłady obliczeń

Przykład 1:

Wzmocnienie wynosi 26dB.

Pytanie: Ile razy zostanie wzmocniony sygnał na wyjściu U₂ ?

Odp. 26dB = 20dB+6dB a więc 10 krotność x 2 krotność = 20 krotność

Przykład 2 :

Z mikrofonu otrzymujemy sygnał o wartości 0,775 mV.

Ile decybeli należy wzmocnić na wejściu aby uzyskać liniowy poziom +6 dBu ?

Odp. Ponieważ +6dBu = 1,55 V, więc sygnał mikrofonowy należy wzmocnić 2000 razy, czyli 60 dB + 6 dB

Przykład 3 :

Wzmocnienie k = 50

Ile to jest decybeli ?

Odp. 50 = 0,5 ∙ 100 czyli licząc w decybelach - 6 dB + 40 dB = 34 dB

4

---