03.11.1999

Rozwiązanie zadania nr.7 z listy pierwszej

Janusz Garbera

88010

Środa, godz. 13¹⁵ - 15⁰⁰ , sala 142, bud. C-4

Prowadzący: dr inż. Wojciech J. Krzysztofik

Do podstawowych własności transformaty Fouriera należą:

Liniowość

af(t)+bg(t) = aF_k+bF_k

różniczkowalność

f '(t) = jkω_oF_k

przesunięcie w dziedzinie czasu

f(t-t_o) = e^-jkωotoF_k

Wykorzystując te własności można w prosty sposób wyznaczyć transformaty Fouriera sygnałów zadanych w zadaniu.

Rozwiązanie

Jeżeli sygnały mają skończoną energię (tak jak w zadaniu) to możemy użyć metody różniczkowania oraz wyżej wymienionych własności transformaty Fouriera.

F(jϖ)

a)

Po zróżniczkowaniu otrzymujemy :

jϖF(jϖ)

Po kolejnym zróżniczkowaniu otrzymujemy:

-ϖ²F(jϖ)

Obliczmy transformatę Fouriera:

Mamy więc:

b)

Używając tej samej metody:

F(jϖ)

Po zróżniczkowaniu:

jϖF(jϖ)

Po kolejnym zróżniczkowaniu:

-ϖ²F(jϖ)

Obliczmy transformatę Fouriera:

Stąd:

c)

F(jϖ)

Po zróżniczkowaniu:

jϖF(jϖ)

Po ponownym zróżniczkowaniu:

-ϖ²F(jϖ)

Obliczmy transformatę Fouriera:

Więc:

Wnioski

Jak widać wykorzystując własności transformaty Fouriera możemy w dość prosty sposób przedstawić dowolny przebieg o skończonej energii w dziedzinie częstotliwości . W podpunkcie c) możemy zaobserwować ciekawą własność .Mimo , że przebieg jest częścią funkcji cos(t) , której widmo składa się tylko z jednego prążka ,nasz przebieg ma ich więcej. Te dalsze składowe zerują przebieg poza przedziałem (-π/2, π/2) .

---