Marcin Maciejewski IV eso gr. A Szczecin dn. 03.02.2007

Annaliza układów regulacyjnych metodami cyfrowymi

„ Filtry cyfrowe”

Filtrem cyfrowym nazywamy przetwornik czasowo-dyskretnego sygnału wejściowego x[n] na czasowo-dyskretny sygnał wyjściowy y[n]. Filtry cyfrowe charakteryzuje kilka własności, z których najważniejsze to:
            - dynamika, czyli jak dobrze tłumi nasz filtr w paśmie zaporowym.
            - częstotliwość graniczna lub dwie częstotliwości graniczne, gdy mamy do czynienia z filtrem pasmowym.
            - szerokość zbocza (krawędź), czyli jak "szybko" filtr tłumi.

       Ze względu na pasmo przenoszenia rozróżniamy filtry:
            - górnoprzepustowy - highpass
            - dolnoprzepustowy - lowpass
            - środkowoprzepustowy - bandpass
            - środkowozaporowy - pass-reject

Filtry pasmowe (środkowoprzepustowy, środkowozaporowy) stanowią sumę dwóch odpowiednich filtrów górno- lub dolnoprzepustowych.

       Filtr dolnoprzepustowy - filtr, który przepuszcza niskie częstotliwości i tłumi wysokie częstotliwości:

       Filtr górnoprzepustowy - filtr, który przepuszcza wysokie częstotliwości i tłumi niskie częstotliwości:

       Filtr środkowoprzepustowy - filtr, który przepuszcza pewne pasmo częstotliwości i tłumi częstotliwości poniżej i powyżej tego pasma:

       Filtr środkowozaporowy - filtr, który tłumi pewne pasmo częstotliwości i przepuszcza częstotliwości pasma niższego i wyższego:

      Filtry cyfrowe ze względu na typ odpowiedzi impulsowej dzielimy na:
            - filtry typu NOI (IIR) - nieskończona odpowiedź impulsowa, Infinite Impulse Response.
            - filtry typu SOI (FIR) - skończona odpowiedź impulsowa, Finite Impulse Response.

Filtry cyfrowe IIR do uzyskania bieżącej próbki sygnału wyjściowego wykorzystują próbkę bieżącą i próbki poprzednie sygnału wejściowego oraz poprzednie próbki sygnału wyjściowego:       

      Podstawowy sposób realizacji filtrów cyfrowych polega na tym, że sygnał analogowy ciągły zostaje skonwertowany (spróbkowany) na sygnał cyfrowy (dyskretny). Próbkowanie jest procesem reprezentowania sygnału o czasie ciągłym za pomocą ciągu próbek pobieranych w dyskretnych równomiernych chwilach czasu. Przedstawiono to na rysunku:

      Konwersja jest realizowana przez procesor, który może być zrealizowany w postaci komputera PC wyposażonego w kartę pomiarową. Algorytm, według którego następuje przetwarzanie sygnału wejściowego w sygnał wyjściowy, nazywamy funkcją przetwarzania filtru lub charakterystyką filtracji. Wyróżnia się następujące charakterystyki filtracji:

            - Równanie różnicowe w dziedzinie czasu
            - Impulsową funkcję przejścia układu dyskretnego
            - Transmitancję H(z) filtru
            - Charakterystykę częstotliwościową

Algorytm, według którego następuje przetwarzanie sygnału, także może być realizowany w różny sposób. Określa się kilka własności, którymi różnią się algorytmy przetwarzania. Algorytmy różnią się przede wszystkim swoimi właściwościami w paśmie zaporowym i przepustowym, czyli rodzajami aproksymacji lub interpolacji. Pasma te przedstawiono na poniższej ogólnej charakterystyce amplitudowej filtru, na przykładzie filtru dolnoprzepustowego.

      Wyróżnia się następujące sposoby aproksymacji sygnału:

            - Butterwortha,
            - Czebysheva - typu I,
            - Czebysheva - typu II,
            - Eliptycznej.

      Filtr Butterwortha w stosunku do innych filtrów ma najbardziej płaski przebieg charakterystyki amplitudowej w paśmie przepustowym. Odbywa się to kosztem załamania charakterystyki pod koniec pasma przepustowego. W paśmie przejściowym wykazuje w porównaniu z innymi filtrami tego samego rzędu najmniejszy spadek amplitudy.
      W filtrze Butterwortha najważniejszym celem jest uzyskanie maksymalnej płaskości charakterystyki amplitudowej. Charakterystyka powinna zaczynać się maksymalnie płasko dla zerowej częstotliwości i przeginać się dopiero w pobliżu częstotliwości granicznej. Filtr Butterwortha charakteryzuje się idealnie płaską charakterystyką w paśmie zaporowym i przepustowym.
      Filtr Czebyszewa typu I, charakteryzuje się monotoniczną charakterystyką amplitudową w zakresie pasma zaporowego i stałą amplitudą oscylacji tej charakterystyki w zakresie przepustowym.
      Filtr Czebyszewa typu II, posiada odwrócone cechy filtru typu I. Charakteryzuje się stałą amplitudą oscylacji charakterystyki amplitudowej w zakresie zaporowym i monotoniczną charakterystyką amplitudową w zakresie pasma przepustowego.
      Filtr eliptyczny posiada optymalnie (maksymalnie) strome dla danego filtru zbocze w paśmie przejściowym. Oparty jest na funkcji eliptycznej Jacobiego. Charakteryzuje się stałą amplitudą oscylacji charakterystyki amplitudowej zarówno w paśmie zaporowym jak i w paśmie przepustowym.
      Cechy powyższych filtrów objawiają się oscylacjami lub ich brakiem, uwidocznionymi na obrazach sygnału przepuszczonych przez te filtry. Oscylacje te wynikają też z innych przyczyn takich jak m.in. opóźniony czas reakcji na odpowiedź impulsową itp.
      Aby filtr działał prawidłowo musi spełniać dwa warunki:
            - na wyjściu nie może pojawić się żaden sygnał dopóki nie pojawi się on na wejściu. Najprościej mówiąc filtr nie wydaje z siebie żadnego sygnału dopóki sygnał nie pojawi się na jego wejściu.
            - stabilność - jeżeli amplituda na wejściu jest skończona to amplituda na wyjściu też jest skończona. Filtr nie może się wzbudzać, nie może stać się generatorem.

      Stosując różnego rodzaju algorytmy możemy wybrać dla filtru alternatywę dynamiki lub jakości zbocza. Filtr zbliżony do prostokąta daje strome krawędzie filtru o nie najciekawszej dynamice. Zastosowanie charakterystyk o łagodnych krawędziach polepsza dynamikę, ale pogarsza parametry w szerokościach zbocza. Jedynie zastosowanie większej ilości obliczeń umożliwia rezygnację z tego kompromisu. Zastosowanie szerszej charakterystyki filtracji poprawia zdecydowanie oba parametry filtru. Dzieje się to niestety kosztem czasu potrzebnego na obliczenia. Z powyższych doświadczeń widać, że do każdego filtru należy podejść w indywidualny sposób, aby móc określić jego parametry by odpowiadały one naszym wymaganiom.

---