książeczka mat, Do Matury, Matematyka


Liczby rzeczywiste jest to zbiór liczb wymiernych i niewymiernych.

Liczba wymierna to taka liczba, którą można zapisać w postaci ułamka zwykłego, gdzie licznik i mianownik będą liczbami całkowitymi przy czym mianownik będzie różny od zera.

Liczby niewymierne są to liczby rzeczywiste, których nie można przedstawić w formie ułamka zwykłego n/m.

Liczby całkowite to zbiór liczb wymiernych, naturalnych (1, 2, 3, 4, ...), zera oraz liczb przeciwnych do naturalnych (-1, -2, -3, ...).

Liczby naturalne to zbiór liczb całkowitych dodatnich oraz zero.

Liczba pierwsza - liczba naturalna, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i siebie samą, np. 2,3,5,7,11,13,17,19,23

Działania na potęgach : 

am∙an=am+n

am/ an= am-n

(am)n= am∙n

(a∙b)n =an∙bn

(a/b)n= an/bn

Działania na pierwiastkach :

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

 0x01 graphic

 0x01 graphic

0x01 graphic

Wzory skróconego mnożenia : 

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2

(a2-b2)=(a-b)-(a+b)

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

a3+b3= (a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3= (a-b)(a2+ab+b2)

1

Funkcja Liniowa f(x)= ax+b : własności

Miejsce zerowe funkcji jest punktem, w którym funkcja przecina oś OX, oblicza się je z x0= -b/a  

Monotoniczność funkcji liniowej

  • a>0 funkcja rosnąca

  • a<0 funkcja malejąca

  • a=0 funkcja stała

Parzystość
Funkcja jest parzysta, gdy a=0 (funkcja stała).
Funkcja jest nieparzysta, gdy b=0 (przechodzi przez środek układu wsp.).

Różnowartościowość
Funkcja jest różnowartościowa, jeśli a≠0, w przeciwnym wypadku nie jest różnowartościowa (jest stała i zawsze przyjmuje tę samą wartość).

Okresowość
a≠0funkcja nie jest okresowa.
a=0funkcja jest okresowa (stała), jej okresem jest każda liczba R.

Wykresy dwóch funkcji
Jeśli porównać wykresy dwóch funkcji, to mogą one być:

  • równoległe, gdy a1 = a2 - oba współczynniki są równe

  • prostopadłe, gdy a1= -1/ a2

Warunki równoległości i prostopadłości prostych.
Dane są dwie proste:

k : y =ax + b

l : y = ax +b.
Warunek równoległości prostych.
Proste w układzie współrzędnych są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki kierunkowe tych prostych są równe:

k || l a=c

wzór funkcji równoległej: y= - ⅓x +b
Warunek prostopadłości prostych.
Proste w układzie współrzędnych są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy -1:

k┴l a∙c = -1
wzór f. prostopadłej : y= - 2/3 x+b

x- odcięta y rzędna

2

Aby obliczyć współczynnik a należy odjąć współrzędne Y1-X1 i Y2-X2 a następnie podzielić je przez siebie np.

Punkty A=(-4;2) oraz B=(2;6) są symetryczne względem prostej k. Wyznacz równanie prostej.

a= 6-2 / 2+4 = 2/3

2= 2/3 * (-4) +b

b= 4 2/3 więc y= 2/3 x + 4 2/3

Następnie obliczamy środek symetrii poprzez wyliczenie średniej z y i x

-4 +2 = -2 -2/2 = -1

6+2=8 8/2= 4

Jego współrzędne to O=(-1,4)

Następnie aby obliczyć współczynnik drugiego równania korzystamy ze wzoru a= -1/a1

a1- to to pierwsze a

mając a wyliczasz b

równanie symetralnej do tego zadania: y= - 1 ½ x+ 2 ½

Wzór ogólny: y=ax2+bx+c

Jeśli a>0 to:

Zw=<0;+∞)

f maleje (-∞;0> i rośnie <0;+ ∞)

Funkcja nie przyjmuje wartości największej i dla argumentu 0 przyjmuje wartość najmniejszą- 0 Ramiona zwrócone są do góry.

Jeśli a<0 właściwości są odwrotne.

Wzór postaci kanonicznej: y= a(x-p)2 +q

Jeśli chcemy przesunąć wykres o wektor v= [p,q] to

xw= współrzędna x + p= p i yw= wsp. y +q= q

Wierzchołek= [p,q] lub x1+x2 /2

p= - b/2a

q= - ∆/4a

= b2-4ac

Aby znaleźć postać iloczynową ∆ > 0 czyli być na plusie. Wtedy wyliczamy 2 miejsca „0”:

x1= -b-√/2a x2= -b+√/2a

Wzór funkcji w post. Iloczynowej to: f(x)=a(x-x1)(x-x2)

Gdy ∆ wynosi 0 ma 1 miejsce zerowe które obliczamy ze wzoru:

x0=-b/2a

Wtedy postać wygląda tak: f(x)= a(x-­x0)2

Gdy ∆ jest mniejsze od 0 postać iloczynowa nie istnieje

3

Wzór funkcji kwadratowej y=ax2+bx+c można przekształcić do postaci kanonicznej y= a(x-p)2 +q za pomocą wzorów na p i q (powyżej)

a∙q >0 ∆ <0 miejsce zerowe nie istnieje

a∙q= 0 ∆ =0 jest jedno miejsce zerowe

a∙q< 0 ∆ >0 są 2 miejsca zerowe

w tym wypadku

-2∙8 < 0 czyli ∆ >0 mamy więc 2 miejsca 0

Aby naszkicować wykres funkcji kwadratowej:

- Podajemy współrzędne punktu przecięcia wykresu z OY- (0,c)

- Wyznaczamy p i q czyli wsp. wierzchołka

- obliczamy msc „0”

- Zaznaczamy msc „0” i sprawdzamy czy odległość między nimi podzielona na 2 wynosi tyle co współczynnik a

- Rysujemy parabolę

Aby obliczyć pkt przecięcia z OY podstawiamy za x 0

Rozwiązywanie równań kwadratowych to nic innego tylko znalezienie msc „0” więc wszystko przyrównujemy do 0. Następnie szukamy ∆ zgodnie z powyższymi warunkami równanie może mieć 1 lub 2 rozwiązania. Właśnie x1 i x2 są rozwiązaniami.

loga1=0 np. log31=0

logab=c acb

logaak=k

logaxk=k logax

aloga x=x

loga(b∙c)= logab+ logac

logab/c= logab - logac

logab= logcb / logca

4

Sinusem kąta ostrego α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do przeciwprostokątnej

0x08 graphic
Sin α= a/c

Cosinusem kąta ostrego α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej przy kącie α do przeciwprostokątnej

Cos α=b/c

Tangensem kąta ostrego α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do przyprostokątnej leżącej przy kącie α

Tg α= a/c

Cotangensem kąta ostrego α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej przy kącie α do przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α

Ctg α= b/a

30o

45 o

60 o

Sin α

½

√2/2

√3/2

Cos α

√3/2

√2/2

½

Tg α

√3/3

1

√3

Ctg α

√3

1

√3/3

0x08 graphic

Pole koła P = πr2

Długość okręgu L = 2πr

Długość łuku l=α/360°·2πr

Pole wycinka koła o kącie środkowym α

P=α/360° ·πr2

Pole odcinka koła o kącie środkowym α

P=α/360° πr2 - r2sinα /2

5

P prostokąta= a∙b

Pole kwadratu= a∙a

Przekątna kwadratu a√2

P równoległ. P= a∙h= a∙b∙sinα

P rombu= P=a∙h= d1∙d2 / 2= a2 sinα

d1 i d2 są przekątnymi

P trapezu: P= (a+b)∙h /2

Jeżeli czworokąt wypukły można wpisać w koło to

P= r∙p

p= ½ obwodu

r- promień

Jeżeli przekątne czworokąta mają dł d1 i d2 i przecinają się pod kątem ostrym α to

P= ½∙d1∙d2∙ sinα

Jeżeli przekątne czworokąta mają dł d1∙d2 i przecinają się pod kątem ostrym to P= ½∙d1∙d2

Stosunek pól figur podobnych równa się kwadratowi skali. (najpierw obliczamy pola, a potem dzielimy je przez siebie- wychodzi skala do kwadratu)

Obw = a + b + c + d

P=1/2 (a+b)·h

e = a+b /2

a= 2x+b

x= a-b /2

a=a+b /2

y= a+b / 2 (tylko w równoramiennym, a y to a= 2x+y)

0x08 graphic
0x08 graphic

Ob = 4a

P = a · h = a2 · sinα

P=1/2 d1·d2

d= a√2 - przekątna

a+c=b+d

liczba przekątnych w nkącie wynosi

n(n-3) /2

suma kątów kąta wynosi 180o(n-2)

w dowolnym kącie wypukłym suma kątów zewnętrznych wynosi 720 o

6

Obw = a + b + c

P=½ah

P= ½ ab sinγ =½ bc sinα = ½ ac sinβ

P= /p(p-a) (p-b)(p-c) / (// pod pierwiastkiem)

gdzie p=½ (a+b+c) - wzór Herona)

R=abc/4P - (promień okręgu opisanego),

r= P/p- (promień okręgu wpisanego).

0x08 graphic

Obw= a + b + c + d

P=½d1·d2·sinα

d1, d2 - przekątne czworokąta,

α - kąt zawarty między przekątnymi

h - wysokość czworokąta

Pole czworokąta wpisanego w okrąg:

P= /(p-a) (p-b) (p-c) (p-d)/ gdzie p= ½ (a+b+c+d)

0x08 graphic

0x08 graphic

Ob = 2a + 2b

P = a · h = a · b · sinα

P=1/2d1·d2·sinγ

0x08 graphic

Ob = 2a + 2b

P = a · b

d= /a2+b2/

Ob = 4a

P = a2

P=1/2d2

d=a√2

0x08 graphic

7

Wektory: v=(A;B) dla A=(xA;yA) i B= (xB;yB)

v= (xB-xA ; yB-yA)

Wektory są przeciwne gdy A+B=0

Środek wektora/odcinka: S= ( xA+xB /2 ; yA+yB /2)

Proste: równanie kierunkowe prostej k:y=ax+b

a- współczynnik

a= tg α

tg(180o- α)=-tg α

postać ogólna: k: Ax+By+C=0 => A2+B2≠0

Równoległość/prostopadłość:

l: y=ax+b k:y=cx+d

l || k a=c

lub A1x+B1y+C1=0 k:A2x+B2y+C2=0

l || k A1/ A2 = B1/ B2

l┴k a∙c=-1 lub

l┴k A1A2+ B1B2=0

Odległość punktu od prostej:

0x08 graphic
d=|Ax0+By0+C| / [A2+B2] => [] pod pierwiastkiem

0x08 graphic
0x08 graphic
równanie okręgu:

0x08 graphic
(x-a)2+(y-b)2=r2

x2+y2-2ax-2by+C=0 gdzie c=a2+b2-r2

SP=[x-xs ; y-ys]

Wyznaczanie dziedziny funkcji:

wiec jeśli masz jakiś ułamek -> wtedy to co w mianowniku musi być różne od zera !
jeżeli masz jakiś pierwiastek -> wówczas pod pierwiastkiem liczba nie może być ujemna, może być zerem i dodatnia dlatego pisze sie większa lub równa zero

8

S=(xs;ys) lub (a;b)

P(x;y)



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
WIELOMIANY, Zadania przygotowujące do matury z matematyki
wielomiany, Do Matury, Matematyka
matma- geometria analityczna- powtórka, Do Matury, Matematyka
matma wzory, Do Matury, Matematyka
Ciągi- wzory warunki, Do Matury, Matematyka
Matematya Funkcja Kwadratowa, Do Matury, Matematyka
Które z wyrazów ciągu, Do Matury, Matematyka
matematyka 24.11, Do Matury, Matematyka
Funkcje, Do Matury, Matematyka
geometria analityczna- wzory, Do Matury, Matematyka
Matematyka Funkcja Kwadratowa, Do Matury, Matematyka
CIĄGI, Zadania przygotowujące do matury z matematyki
WIELOMIANY, Zadania przygotowujące do matury z matematyki
wielomiany, Do Matury, Matematyka

więcej podobnych podstron