PRZESTRZEŃ METRYCZNA Niech X≠0 pewien zbiór Odwzorowanie d:XxX<0,+∞) Spełniające warunki warunki 1 Vx,yX d(x,y)=0  x=y 2 - | | - d(x,y)=d(x,y) 3 - | | - d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) Nazywamy metryką w zbiorze X, wtedy parę (X,d) nazywamy przestrzenią metryczną Kula otwarta Niech (X,d) przestrzeń metryczna Kula otwarta o środku w punkcie AX i promieniu r>0 nazywamy zbiór K(a,r)={xX:d(a,x)<r} -Punkt AUX nazywamy punktem wewnętrznym w zbiorze U jeśli r>0, że K(a,r) -Punkt aX nazywamy punktem skupienia zbioru UX jeśli Vr>0 K(a,r)U{a}0 Zbiór wszystkich punktów skupienia oznaczamy U^d -Jeśli aU/U^d to a nazywamy punktem izolowanym w zbiorze U -Zbiór UX nazywamy zbiorem otwartym jeśli VaU a jest wewnętrzny w U Niech UX Wtedy 1 Int U zbiorem otwartym 2 U otwarty  Int U=U -Zbiór UX nazywamy zbiorem domkniętym jeżeli X/U jest zbiorem otwartym -Domknięcie zbioru UX nazywamy zbiorem UvU^d i oznaczamy jako Ū -Niech UX wtedy 1 Ū jest zbiorem domkniętym 2 U domknięty  U= Ū -Otoczeniem punktu aX nazywamy dowolny zbiór otwarty UX i taki że aU -Niech (X,d) przestrzeń mestryczna Vr>0 i VaX K(a,r) jest zbiorem otwartym Zbiór UX nazywamy spójnym, gdy nie istnieją dwa zbiory otwarte A,BX, takie że 1 AB=0 2 AU0 BU0 3 U UX jest spójny  Vx,yU i x<y jeśli x<z<y to zU Zbiór UX nazywamy zwartym jeśli V{xn}U {xnk}{xn} taki że lim(k→) xnkU Zbiór UX jest ograniczony jeśli  x0X  r> takie że UK(x0,r) Jeżeli UX zwarty to U ograniczony i domknięty Jeśli UR^n domknięty i ograniczony to U zwarty -Niech {xn}X mówimy że {xn} spełnia warunek Couchyego w x jeśli V>0 m,n>n0 d(xn,xm)< Jeśli {xn}X zbieżny w X to {xn} spełnia warunki Coushecgo w X -Przestrzeń metryczna (X,d) w której każdy ciąg spełnia warunki Couchyego jest zbierzny w X nazywamy przestrzenią zupełną R^n (n≥1) jest przestrzenią zupełną Podzbiór dowolnej przestrzeni zupełnej jest przestrzenią zupełną -Jeśli {xn}R to ciąg {xn} nazywamy ciągiem liczbowym wtedy Vx,yR d(x,y)=|x-y| zatem lim(n→) an=aR V>0 n n>n a0-an|< -Twierdzenie o 3 ciągach Niech {an}{bn}{cn}R oraz lim(n→) an=lim(n→) cn=bR to jest Vn>n0 anbncn to lim(n→)bn=b -niech {an}R oraz {an}{ank} jeśli  lim(k→) ank (właściwa lub niewłaściwa)to tę granice nazywamy granicą częściową lub punktem skupienia ciągu {an} Niech A zbiór wszystkich granic częściowych ciągu {an}R wtedy granica górna oraz dolna ciągu {an} określony odpowiednio jako {+ gdy + lim (n→) sup an={supA gdy + i AR0 {- gdy   gdy - lim (n→) inf an={infA gdy - i AR0 {+ gdy  SZEREGI -Warunki konieczne zbieżności szeregu Jeśli szereg an jest zbieżny to lim (n→) an =0 jeżeli nie jest zbieżny to jest rozbieżny -Kryterium porównawcze Niech {an}{bn}, wtedy jeżeli n0 Vn>n0 anbn to 1 Jeśli bn zbieżny to an też zbieżny 2 Jeśli bn rozbieżny to an też rozbieżny -Zasada zagęszczania Niech {an}(, oraz VnN an+1an wtedy szeregi an oraz 2^na2k są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne -kryterium Couchyego niech {an}(,) oraz lim (n→) ^nan=q wtedy jeśli 1 q<1 to an zbieżny 2 q>1 to an rozbieżny 3 q=1 to kryterium nie rozstrzyga zbieżności

-kryterium d 'Alamberta Niech {an}(,) oraz q= lim (n→) an+1/an wtedy jeśli 1 q<1 to an zbieżny 2 q>1 to an rozbieżny 3 q=1 to kryterium nie rozstrzyga zbieżności -Szereg (-1)^n+1an gdzie VnN an>0 nazywamy szeregiem przemiennym Kryterium zbieżności Niech (-1)^n+1an szereg przemienny oraz 1 lim (n→) =0 2VnN an+1an to szereg (-1)^n+1an Jest zbieżny i a1-a2 (-1)^n+1an a1 -Szereg an nazywamy bezwzględnie zbieżnym gdy zbieżny jest szereg an| -Jeśli szereg an jest zbieżny a an| jest rozbieżny to szereg  an nazywamy szeregiem zbieżnym warunkowo FUNKCJE -Niech (x,dx) (y,dy) przestrzenie metryczne oraz f:DfX→Y i x0Df^dMówimy, że f ma w punkcie x0 granica qy co zapisujemy lim (x→x0) f(x)=q  V{xn}Df/{x0}i lim (n→)xn=x0  lim (n→) f(xn)=q -Niech f: DfX→Y i x0Df Mówimy ze f jest ciągła w punkcie x0 V{xn}Df i lim (n→) xn=x0  lim (n→) f(xn)=f(x0) -funkcję f:X→Y nazywamy ciągłą w UX gdy jest ciągła w każdym punkcie zbioru U -Niech (X,dx)(Y,dy)(Z,dz) przestrzenie metryczne oraz f:X→Y, g:Y→ Wtedy jeśli f jest ciągła w punkcie x0X oraz g jest ciągła w punkcie y0=f(x0) to gf: X→Z jest ciągła w punkcie x0 -Niech f ma postać f: Ux = (x1,x2...xn)→f(x)=f(x1),f(x2)...f(xn)R^m Oznaczenie fi: U→R i=1...n nazywamy wtedy i-tą składową funkcji f -Niech f:URn→Rm oraz x0U^d Wtedy lim (x→x0) f(x)=q=(q1,q2...qm)R^m  Vi=1...m lim (x→x0) fi(x)=qi -Mówimy że f: DfR→R ma granice lewostronną (prawostronną) w punkcie x0(Df(-,x0)) (x0(Df(x0,+)) równą qR{-,+} V{xn}Df i VnN xn<x0 (xn>x0) i lim(n→) xn=x0  lim (n→) f(xn)=q i piszemy wtedy lim (x→x0^-) f(x)=q ((x→x0^+) f(x)=q) -Mówimy że f:(a,+)R→R (f:(-,a)R→R ) ma granice w + (-) równa qR{+,-} V{xn}(a,+) i lim (n→) xn=+ (V{xn} (-,a) i lim (n→) xn= -lim (n→) f(xn)=q i piszemy lim(x→+) f(x)=q (lim(x→ ) f(x)=q) -Proste o równaniu x=x0 nazywamy asymptotą pionową lewostronną (prawostronną) funkcji f:(a,x0)(x0,b)→R(a<x0<b) gdy lim (x→x0^-) f(x)= ((x→x0^+) f(x)= -Proste o równaniu y=y0 nazywamy asymptotą poziomą funkcji f(-,a)R→R ( f(a,+)R→R) w - (+ jeżeli lim (x→-) f(x)= y0 (lim (x→+) f(x)=y0) -proste o równaniu y=ax+b nazywamy asymptotą ukośną funkcji f(-,a)→R (f(a,+)→R) w - (+) jeżeli lim (x→) (f(x)-(ax+b))=0 POCHODNE -Niech f:UR→R, U otwarty. Wtedy funkcja f nazywamy różniczkowalną w punkcie x0U  x0R: f(x) -f(x0)=Ax0(x-x0)+r(x0x) gdzie r(x0,):U→R spełnia warunki lim (x→x0) (r(x0-x))/(x-x0)=0 (lim (h→0) (f(h+x0)-f(x0))/h)) -interpretacja geometryczna pochodnej tg=lim (h→0) (f(h+x0)-f(x0))/h) czyli współczynnik kierunkowy stycznej l do funkcji f w punkcie (x0,f(x0)) jest równy f '(x0)=tg i wtedy l: y-f(x0)=f '(x0)(x-x0) -(Tw La 'Grangea) Niech f:<a,b>→R fC^0(<a,b>)i f różnowartościowa w (a,b) to x0(a,b) że f '(x0)=(f(b)-f(a))/(b-a)) -(Tw Taylora) niech f:<a,b>→R i f^(n-1) różnowartościowa w (a,b) oraz x0,x<a,b> x0x wtedy c(a,b) zawarty między x0,x taki że f(x)=f(x0)+(f '(x0)/1!)(x-x0)+(f '(x0)/2!)(x-x0)^2+...+(f '^n(x0)/n!)/(x-x0)^n(gdzie (f '^n(x0)/n!)/(x-x0)^nto n-te rozwinięcie wzoru Taylora) -Niech (X,d) przestrzeń metryczna i f:X→R Mówimy ze f ma maksimum (minimum) lokalne (globalne) w punkcie x0X gdy r>0 VxK(x0,r)/{x0} f(x0)>f(x) (f(x0)<f(x)) -Niech f:(a,b)→R, fC^n((a,b)) Wtedy jeśli w punkcie x0(a,b) f '(x0)=...=f^(n-1) '(x0)=0 oraz f^n '(x0)0 to 1 jeżeli n parzysta wtedy f ma w punkcie x0 ekstremum i jest to maksimum gdy f^n ' (x0)<0 a minimum gdy f^n ' (x0)>0 2 Jeżeli n nieparzyste to f nie ma ekstremum w punkcie x0 f(x)> f '(x0)(x-x0)+ f(x0) - wklęsła f(x)< f '(x0)(x-x0)+ f(x0) - wypukła -Niech f:(a,b)→R i x0(a,b) i r>0 że f różnowartościowa w (x0-r,x0+r)(a,b) wtedy punkt (x0,f(x0))nazywamy punktem przegięcia funkcji f jeżeli funkcja f jest wklęsła (wypukła) V(x0-r,x0) i wypukła (wklęsła) Vx(x0,x0+r) -Niech f:(a,b)→R, f ' różnowartościowa w (a,b) i Vx(a,b) f ' '(x)>0 (f ' '(x)<0) to funkcja f jest wklęsła (wypukła) w (a,b) -Niech f:(a,b)→R i r>0 że fc^2((x0-r,x0+r)) wtedy jeżeli f ma punkt przegięcia w punkcie x0(a,b) to f ' '(x)=0 -Niech f:(a,b)→R f różnowartościowa w x0(a,b) oraz r>0 że f ' jest różnowartościowa w (x0-r,x0)(x0,x0+r) i V x(x0-r,x0) f ' '(x)<0 oraz Vx(x0,x0+r) f ' '(x)>0 punkty (x0,f(x0)) jest punktem przegięcia f. Jeżeli f ' ' ma stały znak w (x0-r,x0)(x0,x0+r) to x0 nie jest punktem przegięcia f. -(reguła De L 'Hospitala) Niech f,g: U→R oraz VU 1 (a,x0) -a<x0 2 (a,x0) -x0 <a 3 (a,x0)(x0,b) -a<x0 <b oraz f i g są różnowartościowa w V i g '(x)0 VxX Ponadto niech lim(x→x0) f(x)=lim(x→x0) g(x)=0 lub lim(x→x0) f(x)= i lim(x→x0) g(x)= wtedy jeśli  lim(x→x0)(f '(x)/g '(x))=qR{+,} to lim(x→x0)(f(x)/g(x))=q CAŁKI -całkowanie przez podstawienie niech U,VR przedziały, fC^0(V) g:U→V gC^2(U) wtedy VxU f '(g(x))g '(x)dx=f(g(x))+C -Całkowanie przez zamianę zmiennej f(x)dx=f(g(t))g '(t) x=g(t) -całkowanie przez części niech f,gC^1(U)wtedy f '(x)g(x)=f(x)g(x)-f(x)g '(x)

---