Wzory 11

WZORY 11: minimalna liczebność próby, jaka zapewnia, że długość przedziału ufności nie przekroczy ustalonej wartości 2d: przedziały ufności Jerzego Spławy-Neymana zbudowane dla parametrów szacowanych z użyciem estymatorów metody największej wiarogodności (MNW) oraz z użyciem innych estymatorów, ale o asymptotycznym rozkładzie normalnym

Literą d oznaczamy połowę długości przedziału ufności, zatem 2d jest długością przedziału ufności danego wzorem (11.a):

(11.a) P [Tn - uα D(Tn) < θ < Tn + uα D(Tn)] = 1 - α.

Długość przedziału ufności (11.a) jako różnicę między górną i dolną granicą przedziału ufności określa wzór (11.b):

(11.b) 2d = Tn + uα D(Tn) - [Tn - uα D(Tn)] = 2uα D(Tn).

Połowa długości przedziału ufności d [gdzie d = uα D(Tn)], jest nazywana maksymalnym lub statystycznym błędem szacunku parametru θ. Ustalając współczynnika ufności 1 - α na określonym poziomie, najczęściej z przedziału liczbowego <0,9; 1), odczytujemy z tablic rozkładu normalnego standardowego wartość uα tak, aby . Następnie po ustaleniu długości przedziału ufności na poziomie 2d pytamy o liczebność (n) losowej próby, która zapewnia, że maksymalny (statystyczny) błąd szacunku parametru θ nie przekroczy ustalonej wartości d:

(11.1) uα D(Tn) ≤ d

Wzór (11.1) nazywamy warunkiem ogólnym wyznaczającym minimalną liczebności (nmin) losowej próby.

Minimalna liczebność próby dla przedziałów ufności określonych wzorami (10.2) - (10.13)

Część I

(11.1) uα D(Tn) ≤ d

Do lewej strony warunku ogólnego (11.1) podstawiamy maksymalny (statystyczny) błąd szacunku parametru m określony we wzorze przedziału ufności (10.2) otrzymując:

Po rozwiązaniu tej nierówności względem n otrzymujemy nierówność (11.2), stąd wzór określający minimalną liczebność próby.

(11.2) , czyli .

Do lewej strony warunku ogólnego (11.1) podstawiamy maksymalny (statystyczny) błąd szacunku parametru m określony we wzorze przedziału ufności (10.3) i otrzymujemy:

,

Po rozwiązaniu tej nierówności względem n otrzymujemy nierówność (11.3), a stąd wzór określający minimalną liczebność próby.

(11.3) , czyli .

Do lewej strony warunku ogólnego (11.1) podstawiamy maksymalny (statystyczny) błąd szacunku parametru m1 - m2 określony we wzorze przedziału ufności (10.4) i otrzymujemy:

(11.4) .

Aby rozwiązać tę nierówność względem dwóch niewiadomych n1 i n2, należy przyjąć założenia upraszczające:

Założenie 11.1) Jeżeli , to prawdziwy jest wzór (11.4*).

(11.4*) , czyli ,

Założenie 11.2) Jeżeli n1 = n2 = n, to prawdziwy jest wzór (11.4**).

(11.4**) , czyli .

Do lewej strony warunku ogólnego (11.1) podstawiamy maksymalny (statystyczny) błąd szacunku parametru m1 - m2 określony we wzorze przedziału ufności (10.5) i otrzymujemy:

(11.5)

Aby rozwiązać tę nierówność względem dwóch niewiadomych n1 i n2, należy przyjąć założenia upraszczające:

Założenie 11.3) Jeżeli , to prawdziwy jest wzór (11.5*).

(11.5*) , czyli .

Założenie 11.4) Jeżeli n1 = n2 = n to prawdziwy jest wzór (11.5**)

(11.5**) , czyli .

Część II

Do lewej strony warunku ogólnego (11.1) podstawiamy maksymalny (statystyczny) błąd szacunku parametru p określony we wzorze przedziału ufności (10.6) i otrzymujemy:

,

Po rozwiązaniu tej nierówności względem n otrzymujemy nierówność (11.6), a stąd wzór określający minimalną liczebność próby.

(11.6) , czyli .

Jeżeli brak jest informacji z badania pilotażowego o wartości , a tym samym o wartości iloczynu , to należy przyjąć założenie 11.5).

Założenie 11.5) Przyjmujemy  = 0,5, a wówczas  = 0,25, co jest maksymalną wartością tego iloczynu.

Wzór (11.6) przy założeniu 11.5) przyjmuje postać wzoru (11.6*).

(11.6*) , czyli .

Do lewej strony warunku ogólnego (11.1) podstawiamy maksymalny (statystyczny) błąd szacunku parametru p1 - p2 określony we wzorze przedziału ufności (10.7) i otrzymujemy:

(11.7) .

Aby rozwiązać tę nierówność względem dwóch niewiadomych n1 i n2, należy przyjąć założenia upraszczające:

Założenie 11.6) Jeżeli , to prawdziwy jest wzór (11.7*).

(11.7*) , czyli

Założenie 11.7) Jeżeli n1 = n2 = n, to prawdziwy jest wzór (11.7**).

(11.7**) , czyli ,

Jeżeli brak jest informacji z badania pilotażowego o wartościach iloczynów   i  , to można przyjąć założenie 11.8).

Założenie 11.8)    Przyjmujemy  = 0,5, a wówczas  = 0,25, co jest maksymalną wartością tego iloczynu. Przyjmujemy  = 0,5, a wówczas  = 0,25, co jest także maksymalną wartością tego iloczynu.

Z warunku  wynika wzór (11.7***).

(11.7***) , czyli .

Założenie 11.7) i założenie 11.8): Jeżeli n1 = n2 = n oraz  = 0,25 i  = 0,25, to prawdziwy jest wzór (11.7****).

(11.7****) , czyli .

Część III

Do lewej strony warunku ogólnego (11.1) podstawiamy maksymalny (statystyczny) błąd szacunku parametru σ^2 określony we wzorze przedziału ufności (10.9) i otrzymujemy:

Po rozwiązaniu tej nierówności względem n otrzymujemy nierówność (11.8), a stąd wzór określający minimalną liczebność próby.

(11.8) , czyli .

Do lewej strony warunku ogólnego (11.1) podstawiamy maksymalny (statystyczny) błąd szacunku parametru σ określony we wzorze przedziału ufności (10.11) i otrzymujemy:

Po rozwiązaniu tej nierówności względem n otrzymujemy nierówność (11.9), a stąd wzór określający minimalną liczebność próby.

(11.9) , czyli .

Część IV

Do lewej strony warunku ogólnego (11.1) podstawiamy maksymalny (statystyczny) błąd szacunku parametru m określony we wzorze przedziału ufności (10.13) i otrzymujemy:

.

Po rozwiązaniu tej nierówności względem n otrzymujemy nierówność (11.10), a stąd wzór określający minimalną liczebność próby.

(11.10) , czyli .

Źródło: Zestawienie własne na podstawie podręczników: M. Fisz: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, PWN, Warszawa 1969; J. Greń: Statystyka matematyczna, podręcznik programowany, PWN, Warszawa 1987; J. Jóźwiak, J. Podgórski: Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 1998 oraz P. Kuszewski, J. Podgórski: Statystyka, wzory i tablice, Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 1998.

---